Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Вычислите:

а) $\frac{0,7 \cdot 0,02}{0,21}$

б) $7,5 : 1,25 \cdot 0,015$

а) Решим выражение $\frac{0.7 \cdot 0.02}{0.21}$.
Первым шагом вычислим произведение в числителе:
$0.7 \cdot 0.02 = 0.014$.
Теперь выражение принимает вид:
$\frac{0.014}{0.21}$.
Чтобы упростить деление, избавимся от десятичных дробей. Для этого умножим числитель и знаменатель на 1000 (по максимальному количеству знаков после запятой в дробях):
$\frac{0.014 \cdot 1000}{0.21 \cdot 1000} = \frac{14}{210}$.
Теперь сократим полученную дробь $\frac{14}{210}$. Оба числа, 14 и 210, делятся на 14:
$14 \div 14 = 1$
$210 \div 14 = 15$
В результате получаем:
$\frac{14}{210} = \frac{1}{15}$.
Ответ: $\frac{1}{15}$.

б) Решим выражение $7.5 : 1.25 \cdot 0.015$.
Согласно порядку действий, операции деления и умножения выполняются последовательно слева направо.
1. Сначала выполним деление: $7.5 : 1.25$.
Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:
$7.5 \cdot 100 = 750$
$1.25 \cdot 100 = 125$
Теперь выполним деление целых чисел:
$750 \div 125 = 6$.
2. Далее умножим результат первого действия на $0.015$:
$6 \cdot 0.015$.
Чтобы перемножить эти числа, сначала умножим их без учета запятой: $6 \cdot 15 = 90$.
В числе $0.015$ три знака после запятой, поэтому в итоговом числе нужно отделить запятой три знака справа: $0.090$.
Конечный ноль в десятичной дроби можно отбросить, поэтому результат равен $0.09$.
$6 \cdot 0.015 = 0.09$.
Ответ: $0.09$.

6 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{x+y}{z} $ при $ x = 0,75 $, $ y = -2,25 $, $ z = -0,6 $;

б) $ \frac{a-x}{ax} $ при $ a = 1,2 $, $ x = -0,3 $.

а) Для нахождения значения выражения $\frac{x+y}{z}$ необходимо подставить в него значения $x = 0,75$, $y = -2,25$ и $z = -0,6$.

1. Выполним сложение в числителе:
$x + y = 0,75 + (-2,25) = 0,75 - 2,25 = -1,5$

2. Подставим полученное значение числителя и значение знаменателя в исходное выражение:
$\frac{-1,5}{-0,6}$

3. Выполним деление. Так как мы делим отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным:
$\frac{-1,5}{-0,6} = \frac{1,5}{0,6} = \frac{15}{6} = 2,5$

Ответ: 2,5.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{a-x}{ax}$ необходимо подставить в него значения $a = 1,2$ и $x = -0,3$.

1. Вычислим значение числителя:
$a - x = 1,2 - (-0,3) = 1,2 + 0,3 = 1,5$

2. Вычислим значение знаменателя:
$a \times x = 1,2 \times (-0,3) = -0,36$

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{1,5}{-0,36}$

4. Чтобы упростить вычисление, избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{1,5 \times 100}{-0,36 \times 100} = -\frac{150}{36}$

5. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 150 и 36 это 6:
$-\frac{150 \div 6}{36 \div 6} = -\frac{25}{6}$

Данную неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $-4\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{25}{6}$.

7 Найдите значение степени:

a) $(-2)^5$;

б) $\left(\frac{3}{5}\right)^3$;

в) $(-0,1)^6$.

а) Чтобы найти значение степени $(-2)^5$, необходимо возвести число -2 в пятую степень. Это означает, что число -2 нужно умножить само на себя 5 раз.
Поскольку основание степени (-2) — отрицательное число, а показатель степени (5) — нечетное число, то результат будет отрицательным.
Вычисление выглядит следующим образом:
$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) = 4$
$4 \cdot (-2) = -8$
$-8 \cdot (-2) = 16$
$16 \cdot (-2) = -32$
Таким образом, $(-2)^5 = -32$.
Ответ: -32.

б) Чтобы найти значение степени $(\frac{3}{5})^3$, необходимо возвести дробь $\frac{3}{5}$ в третью степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.
$(\frac{3}{5})^3 = \frac{3^3}{5^3}$
Вычислим значение для числителя:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
Вычислим значение для знаменателя:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
В результате получаем дробь:
$(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125}$
Ответ: $\frac{27}{125}$.

в) Чтобы найти значение степени $(-0,1)^6$, необходимо возвести число -0,1 в шестую степень.
Поскольку основание степени (-0,1) — отрицательное число, а показатель степени (6) — четное число, то результат будет положительным.
$(-0,1)^6 = (0,1)^6 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1$
При умножении десятичных дробей количество знаков после запятой в произведении равно сумме знаков после запятой у множителей. В нашем случае мы 6 раз умножаем число с одним знаком после запятой, значит в результате будет 6 знаков после запятой.
$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Следовательно, $(0,1)^6 = 0,000001$.
Ответ: 0,000001.

8 Вычислите:

а) $-5 \cdot 3^3;$

б) $0,01 \cdot (-3)^4;$

в) $1 - 5 \cdot 0,4^2;$

г) $10 \cdot (0,7 - 1,2)^3.$

а) $-5 \cdot 3^3$

Для вычисления данного выражения необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возведем число 3 в 3-ю степень:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

2. Теперь умножим результат на -5:
$-5 \cdot 27 = -135$

Ответ: -135.

б) $0,01 \cdot (-3)^4$

Здесь также сначала выполняется возведение в степень, а после этого — умножение.

1. Возведем число -3 в 4-ю степень. Так как показатель степени (4) является четным числом, результат будет положительным:
$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$

2. Теперь умножим 0,01 на полученный результат:
$0,01 \cdot 81 = 0,81$

Ответ: 0,81.

в) $1 - 5 \cdot 0,4^2$

Порядок действий в этом выражении следующий: возведение в степень, умножение, вычитание.

1. Возведем 0,4 во 2-ю степень:
$0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$

2. Умножим 5 на результат возведения в степень:
$5 \cdot 0,16 = 0,8$

3. Выполним вычитание:
$1 - 0,8 = 0,2$

Ответ: 0,2.

г) $10 \cdot (0,7 - 1,2)^3$

В этом выражении сначала выполняется действие в скобках, затем возведение в степень и, наконец, умножение.

1. Вычислим разность в скобках:
$0,7 - 1,2 = -0,5$

2. Возведем полученный результат в 3-ю степень. Так как показатель степени (3) является нечетным числом, результат будет отрицательным:
$(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$

3. Умножим 10 на полученное значение:
$10 \cdot (-0,125) = -1,25$

Ответ: -1,25.

9 Объем треугольной призмы, в основании которой равнобедренный прямоугольный тре-угольник (рис. 1.14), вычисляется по формуле

$V = \frac{a^2h}{2}$

. Найдите объем призмы, если $a = 8$ см,

$h = 15$ см.

Рис. 1.14

Для нахождения объёма треугольной призмы используется формула, указанная в условии задачи:

$V = \frac{a^2h}{2}$

где $a$ — это длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы, а $h$ — это высота призмы.

По условию нам даны следующие значения:

$a = 8$ см
$h = 15$ см

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления объёма:

$V = \frac{8^2 \cdot 15}{2}$

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведём 8 в квадрат:

$V = \frac{64 \cdot 15}{2}$

Теперь можно сначала разделить 64 на 2, а затем умножить на 15, или наоборот. Удобнее сначала разделить:

$V = 32 \cdot 15$

Умножим 32 на 15:

$V = 480$

Так как исходные величины были даны в сантиметрах (см), то объём будет измеряться в кубических сантиметрах (см³).

Ответ: $480$ см³.

10 Выразите в процентах десятичные дроби: 0,7; 0,15; 0,06; 0,075; 0,005.

Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить к результату знак процента (%).

0,7

Для перевода десятичной дроби 0,7 в проценты, умножаем ее на 100.

$0,7 \times 100\% = 70\%$

Ответ: 70%

0,15

Для перевода десятичной дроби 0,15 в проценты, умножаем ее на 100.

$0,15 \times 100\% = 15\%$

Ответ: 15%

0,06

Для перевода десятичной дроби 0,06 в проценты, умножаем ее на 100.

$0,06 \times 100\% = 6\%$

Ответ: 6%

0,075

Для перевода десятичной дроби 0,075 в проценты, умножаем ее на 100.

$0,075 \times 100\% = 7,5\%$

Ответ: 7,5%

0,005

Для перевода десятичной дроби 0,005 в проценты, умножаем ее на 100.

$0,005 \times 100\% = 0,5\%$

Ответ: 0,5%

11 Выразите десятичной дробью: $42\%$, $30\%$, $8\%$, $19,3\%$, $0,7\%$.

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо числовое значение процента разделить на 100. Это действие равносильно переносу десятичной запятой на две позиции влево.

42%
Для перевода 42% в десятичную дробь, нужно разделить 42 на 100.
$42\% = \frac{42}{100} = 0,42$
Ответ: 0,42.

30%
Для перевода 30% в десятичную дробь, разделим 30 на 100.
$30\% = \frac{30}{100} = 0,3$
Ответ: 0,3.

8%
Для перевода 8% в десятичную дробь, разделим 8 на 100.
$8\% = \frac{8}{100} = 0,08$
Ответ: 0,08.

19,3%
Для перевода 19,3% в десятичную дробь, разделим 19,3 на 100.
$19,3\% = \frac{19,3}{100} = 0,193$
Ответ: 0,193.

0,7%
Для перевода 0,7% в десятичную дробь, разделим 0,7 на 100.
$0,7\% = \frac{0,7}{100} = 0,007$
Ответ: 0,007.

12 Цена товара 1200 р. Сколько заплатит покупатель за этот товар, если он продаётся со скидкой 3,5%?

Чтобы определить, сколько заплатит покупатель, необходимо сначала рассчитать размер скидки, а затем вычесть его из первоначальной цены товара. Решение можно разбить на два шага.

Шаг 1: Найти сумму скидки.

Первоначальная цена товара составляет 1200 рублей. Размер скидки — 3,5%. Чтобы найти сумму скидки в рублях, нужно умножить первоначальную цену на процент скидки, представленный в виде десятичной дроби.

Сначала переведём проценты в десятичную дробь:

$3,5\% = \frac{3,5}{100} = 0,035$

Теперь рассчитаем сумму скидки:

$1200 \text{ р.} \cdot 0,035 = 42 \text{ р.}$

Шаг 2: Найти итоговую цену.

Чтобы узнать, сколько заплатит покупатель, вычтем сумму скидки из первоначальной цены:

$1200 \text{ р.} - 42 \text{ р.} = 1158 \text{ р.}$

Таким образом, с учётом скидки покупатель заплатит за товар 1158 рублей.

Ответ: 1158 р.

13 На первый курс медицинского училища может быть зачислено 60 учащихся. Поданные заявления составили 160% от этого числа. На «отлично» все экзамены сдали 25% поступающих. Сколько человек сдали экзамены на «отлично»?

Для решения данной задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти общее количество человек, подавших заявления, а затем из этого числа вычислить тех, кто сдал экзамены на «отлично».

1. Найдем общее количество поступающих.
Из условия известно, что на курс может быть зачислено 60 учащихся, и это число составляет 100%. Количество поданных заявлений составило 160% от этого числа. Чтобы найти, сколько всего было поступающих, нужно найти 160% от 60.
Для этого можно составить пропорцию или перевести проценты в десятичную дробь и умножить на число.
Переведем 160% в десятичную дробь: $160\% = \frac{160}{100} = 1.6$.
Теперь вычислим общее число поступающих:
$60 \times 1.6 = 96$ (человек).
Таким образом, заявления подали 96 человек.

2. Найдем количество человек, сдавших экзамены на «отлично».
По условию, 25% от общего числа поступающих (которое мы нашли в первом шаге) сдали экзамены на «отлично». Теперь нам нужно вычислить 25% от 96.
Переведем 25% в десятичную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.
Вычислим количество человек, сдавших экзамены на «отлично»:
$96 \times 0.25 = 24$ (человека).

Ответ: 24.

14 В прошлом году в школе училось 600 учащихся, а в этом году их стало 660. На сколько процентов увеличилось число учащихся школы?

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число учащихся, сначала нужно определить абсолютный прирост. Для этого вычтем из числа учащихся в этом году (660) число учащихся в прошлом году (600):
$660 - 600 = 60$ (учащихся).
Таким образом, количество учащихся увеличилось на 60 человек.

Далее, чтобы найти процентное увеличение, необходимо разделить абсолютный прирост на первоначальное количество учащихся и умножить результат на 100%. Первоначальное количество (600 учащихся) принимается за базовое значение, то есть за 100%.
Расчет выглядит следующим образом:
$\frac{\text{абсолютный прирост}}{\text{первоначальное количество}} \times 100\% = \frac{60}{600} \times 100\%$

Выполним вычисления:
$\frac{60}{600} \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Альтернативный способ (через пропорцию):
Можно составить пропорцию, где 600 учащихся — это 100%, а прирост в 60 учащихся — это $x$ процентов.
600 учащихся — 100%
60 учащихся — $x$%
Решаем пропорцию относительно $x$:
$x = \frac{60 \times 100}{600} = \frac{6000}{600} = 10\%$

Ответ: число учащихся школы увеличилось на 10%.

1 Какое из данных чисел наименьшее?

1) 0,44

2) 0,8

3) $\frac{2}{5}$

4) $\frac{4}{9}$

Для того чтобы определить, какое из данных чисел наименьшее, необходимо привести их все к одному виду. Удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби и затем сравнить их.

1) 0,44

Это число уже представлено в виде десятичной дроби.

2) 0,8

Это число также является десятичной дробью.

3) $\frac{2}{5}$

Переведем обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$2 \div 5 = 0,4$

4) $\frac{4}{9}$

Переведем дробь $\frac{4}{9}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$4 \div 9 = 0,444... = 0,(4)$

Это бесконечная периодическая десятичная дробь.

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $0,44$; $0,8$; $0,4$; $0,444...$.

Сравнение дробей производят по разрядам, начиная со старшего (слева направо).

Целые части у всех чисел равны 0. Сравниваем десятые доли:

• У $0,44$ десятая доля равна 4.
• У $0,8$ десятая доля равна 8.
• У $0,4$ десятая доля равна 4.
• У $0,444...$ десятая доля равна 4.

Так как $8 > 4$, число $0,8$ является наибольшим.

Теперь сравним оставшиеся числа: $0,4$; $0,44$; $0,444...$. Их десятые доли равны. Сравним сотые доли. Для удобства запишем $0,4$ как $0,40$.

• У $0,40$ сотая доля равна 0.
• У $0,44$ сотая доля равна 4.
• У $0,444...$ сотая доля равна 4.

Так как $0 < 4$, число $0,40$ (или $0,4$) является наименьшим из этих трех.

Таким образом, расположив все числа в порядке возрастания, получаем: $0,4 < 0,44 < 0,444... < 0,8$.

Следовательно, наименьшее число — это $0,4$, что соответствует исходной дроби $\frac{2}{5}$ под номером 3.

Ответ: 3