Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4 Если автомобиль едет со скоростью $v$ км/ч, то его тормозной путь в метрах можно приближённо вычислить по формуле $s = 0,2v + 0,005v^2$ (тормозной путь автомобиля — это расстояние, которое он проезжает после того, как водитель нажал на тормоз).

а) Вычислите тормозной путь автомобиля, который едет со скоростью 60 км/ч; 100 км/ч.

б) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км/ч, чем при скорости 40 км/ч?

$S=ah$

а) Вычислите тормозной путь автомобиля, который едет со скоростью 60 км/ч; 100 км/ч.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления тормозного пути $s$ в метрах: $s = 0.2v + 0.005v^2$, где $v$ — это скорость автомобиля в км/ч.

1. Рассчитаем тормозной путь для скорости $v = 60$ км/ч. Для этого подставим значение скорости в формулу:
$s_{60} = 0.2 \cdot 60 + 0.005 \cdot 60^2 = 12 + 0.005 \cdot 3600 = 12 + 18 = 30$ м.

2. Рассчитаем тормозной путь для скорости $v = 100$ км/ч. Аналогично подставим значение в формулу:
$s_{100} = 0.2 \cdot 100 + 0.005 \cdot 100^2 = 20 + 0.005 \cdot 10000 = 20 + 50 = 70$ м.

Ответ: при скорости 60 км/ч тормозной путь составляет 30 м, а при скорости 100 км/ч — 70 м.

б) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км/ч, чем при скорости 40 км/ч?

Для ответа на этот вопрос сначала вычислим тормозной путь для каждой из указанных скоростей.

1. Тормозной путь при скорости $v = 80$ км/ч:
$s_{80} = 0.2 \cdot 80 + 0.005 \cdot 80^2 = 16 + 0.005 \cdot 6400 = 16 + 32 = 48$ м.

2. Тормозной путь при скорости $v = 40$ км/ч:
$s_{40} = 0.2 \cdot 40 + 0.005 \cdot 40^2 = 8 + 0.005 \cdot 1600 = 8 + 8 = 16$ м.

3. Теперь найдем отношение тормозного пути при скорости 80 км/ч к тормозному пути при 40 км/ч:
$\frac{s_{80}}{s_{40}} = \frac{48}{16} = 3$.

Ответ: тормозной путь при скорости 80 км/ч в 3 раза больше, чем при скорости 40 км/ч.

2.5 Формула $F = 1.8C + 32$ выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта (°F) и температурой в градусах Цельсия (°C). В России нормальной температурой тела человека считается $36.6^{\circ}\text{C}$, а в странах, использующих шкалу Фаренгейта, $98.8^{\circ}\text{F}$. Где в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека?

Чтобы определить, где нормальная температура тела человека принята за более высокое значение, необходимо сравнить два показателя, приведя их к одной единице измерения. Для этого переведем нормальную температуру, принятую в России ($36.6^\circ C$), в градусы Фаренгейта, используя данную формулу $F = 1.8C + 32$.

Подставим значение температуры в градусах Цельсия в формулу:

$C = 36.6$

$F = 1.8 \times 36.6 + 32$

Выполним вычисления:

$F = 65.88 + 32$

$F = 97.88$

Таким образом, температура $36.6^\circ C$ соответствует $97.88^\circ F$.

Теперь сравним это значение с температурой, считающейся нормальной в странах, использующих шкалу Фаренгейта ($98.8^\circ F$):

$97.88^\circ F < 98.8^\circ F$

Следовательно, нормальная температура тела, принятая в странах со шкалой Фаренгейта, является более высокой.

Ответ: В странах, использующих шкалу Фаренгейта, в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека.

2.6 Решите задачу, пользуясь формулой $s = vt$:

а) Скорость автомобиля, движущегося по шоссе, 80 км/ч. За сколько секунд он проезжает расстояние между соседними километровыми столбами?

б) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость электропоезда, выразив её в километрах в час.

а)

Для решения задачи воспользуемся формулой $s = vt$, где $s$ – расстояние, $v$ – скорость, $t$ – время. Из условия известно, что скорость автомобиля $v = 80$ км/ч. Расстояние между соседними километровыми столбами равно $s = 1$ км. Нам нужно найти время $t$ в секундах.

Выразим время из формулы: $t = \frac{s}{v}$.

Подставим известные значения, чтобы найти время в часах: $t = \frac{1 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = \frac{1}{80}$ часа.

Теперь переведем время из часов в секунды. В одном часе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд, следовательно, в одном часе $60 \times 60 = 3600$ секунд.

$t = \frac{1}{80} \times 3600 \text{ с} = \frac{3600}{80} \text{ с} = 45$ с.

Ответ: 45 секунд.

б)

В этой задаче нам нужно найти скорость электропоезда $v$ в км/ч. Известно, что расстояние между соседними километровыми столбами $s = 1$ км. Время, за которое электропоезд проходит это расстояние, $t = 1$ мин 12 с.

Для использования формулы $v = \frac{s}{t}$ необходимо, чтобы все величины были в соответствующих единицах измерения. Поскольку скорость нужно выразить в км/ч, переведем время в часы.

Сначала выразим время в секундах: $t = 1 \text{ мин } 12 \text{ с} = 60 \text{ с} + 12 \text{ с} = 72$ с.

Теперь переведем секунды в часы, зная, что в одном часе 3600 секунд: $t = \frac{72}{3600}$ часа. Сократим эту дробь: $t = \frac{1}{50}$ часа.

Теперь мы можем рассчитать скорость электропоезда: $v = \frac{s}{t} = \frac{1 \text{ км}}{\frac{1}{50} \text{ ч}} = 1 \times 50 \text{ км/ч} = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

2.7 Выразите высоту $h$ из формулы:

а) площади параллелограмма

$S = ah$ (рис. 2.4);

б) объёма цилиндра

$V = Sh$ (рис. 2.5).

$S = ah$

Рис. 2.4

$V = Sh$

$S$ – площадь основания

Рис. 2.5

а) Дана формула площади параллелограмма $S = ah$, где $S$ - это площадь, $a$ - длина стороны (основания), а $h$ - высота, проведенная к этой стороне. Чтобы выразить высоту $h$ из этой формулы, нам нужно изолировать $h$ в одной части уравнения. Для этого разделим обе части равенства на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что для реального параллелограмма всегда верно):

$\frac{S}{a} = \frac{ah}{a}$

Сократив $a$ в правой части, получаем выражение для высоты $h$:

$h = \frac{S}{a}$

Ответ: $h = \frac{S}{a}$

б) Дана формула объёма цилиндра $V = Sh$, где $V$ - это объём, $S$ - площадь основания, а $h$ - высота цилиндра. Чтобы выразить высоту $h$ из этой формулы, необходимо выполнить аналогичные действия, как и в предыдущем пункте. Разделим обе части равенства на площадь основания $S$ (при условии, что $S \neq 0$, что для реального цилиндра всегда верно):

$\frac{V}{S} = \frac{Sh}{S}$

Сократив $S$ в правой части, получаем выражение для высоты $h$:

$h = \frac{V}{S}$

Ответ: $h = \frac{V}{S}$

2.8 а) Из формулы площади треугольника $S = \frac{ah}{2}$ (рис. 2.6) выразите $h$ и $a$.

Рис. 2.6

б) Из формулы объёма пирамиды $V = \frac{Sh}{3}$ (рис. 2.7) выразите $h$ и $S$.

S – площадь основания

Рис. 2.7

а) Дана формула площади треугольника $S = \frac{ah}{2}$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Чтобы выразить высоту $h$, преобразуем исходное уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{ah}{2}$

$2S = ah$

Теперь, чтобы найти $h$, разделим обе части получившегося уравнения на $a$ (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$

$h = \frac{2S}{a}$

Чтобы выразить основание $a$, вернемся к уравнению $2S = ah$. Разделим обе части на $h$ (при условии, что $h \ne 0$):

$\frac{2S}{h} = \frac{ah}{h}$

$a = \frac{2S}{h}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$, $a = \frac{2S}{h}$.

б) Дана формула объёма пирамиды $V = \frac{Sh}{3}$, где $S$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

Чтобы выразить высоту $h$, преобразуем исходное уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{Sh}{3}$

$3V = Sh$

Теперь, чтобы найти $h$, разделим обе части получившегося уравнения на $S$ (при условии, что $S \ne 0$):

$\frac{3V}{S} = \frac{Sh}{S}$

$h = \frac{3V}{S}$

Чтобы выразить площадь основания $S$, вернемся к уравнению $3V = Sh$. Разделим обе части на $h$ (при условии, что $h \ne 0$):

$\frac{3V}{h} = \frac{Sh}{h}$

$S = \frac{3V}{h}$

Ответ: $h = \frac{3V}{S}$, $S = \frac{3V}{h}$.