Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

10 Найдите значение выражения $ -((-1)^{10} - (-1)^{11})^2 $.

1) -4

2) -2

3) 0

4) 4

Для того чтобы найти значение выражения, выполним действия в соответствии с порядком операций: сначала вычисления в скобках, затем возведение в степень и, наконец, унарный минус.

1. Вычисление степеней.

Отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат. Поэтому:

$(-1)^{10} = 1$

Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, дает отрицательный результат. Поэтому:

$(-1)^{11} = -1$

2. Вычисление выражения в скобках.

Подставим полученные значения в выражение, находящееся внутри внешних скобок: $(-1)^{10} - (-1)^{11}$.

$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. Возведение в степень и применение унарного минуса.

Теперь исходное выражение можно записать как $-(2)^2$.

Сначала возводим число 2 в квадрат:

$2^2 = 4$

Затем применяем знак минуса, стоящий перед скобками:

$-(4) = -4$

Полный расчет выглядит так:

$-((-1)^{10} - (-1)^{11})^2 = -(1 - (-1))^2 = -(1 + 1)^2 = -(2)^2 = -4$

Ответ: -4.

11 Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.

Дроби: А) $\frac{3}{5}$ Б) $\frac{3}{10}$ В) 0,07 Г) 0,7

Проценты: 1) 7% 2) 60% 3) 70% 4) 30%

Чтобы соотнести дроби с соответствующими им процентами, необходимо каждую дробь преобразовать в проценты. Для этого значение дроби нужно умножить на 100%.

А)

Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{5}$ в проценты. Сначала можно перевести ее в десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель, а затем умножить на 100.

$\frac{3}{5} = 3 \div 5 = 0,6$

Теперь умножаем полученное значение на 100%:

$0,6 \cdot 100\% = 60\%$

Это соответствует варианту ответа 2) 60%.

Ответ: 2

Б)

Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{10}$ в проценты.

$\frac{3}{10} = 0,3$

Умножаем на 100%:

$0,3 \cdot 100\% = 30\%$

Это соответствует варианту ответа 4) 30%.

Ответ: 4

В)

Преобразуем десятичную дробь 0,07 в проценты, умножив ее на 100%.

$0,07 \cdot 100\% = 7\%$

Это соответствует варианту ответа 1) 7%.

Ответ: 1

Г)

Преобразуем десятичную дробь 0,7 в проценты.

$0,7 \cdot 100\% = 70\%$

Это соответствует варианту ответа 3) 70%.

Ответ: 3

Итоговые соответствия:

• А → 2
• Б → 4
• В → 1
• Г → 3

12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM?

Для решения этой задачи необходимо определить соотношение между сторонами квадратов ABCD и AKLM. Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок, мы будем исходить из наиболее распространенного в подобных задачах предположения: меньший квадрат AKLM расположен в углу большего квадрата ABCD, и его вершины K и M являются серединами сторон AB и AD соответственно.

1. Обозначим длину стороны большего квадрата ABCD как $a$. Его площадь $S_{ABCD}$ будет равна:

$S_{ABCD} = a^2$

2. Согласно нашему предположению, точка K — середина стороны AB, а M — середина стороны AD. Это означает, что сторона квадрата AKLM равна половине стороны квадрата ABCD:

$AK = AM = \frac{a}{2}$

3. Вычислим площадь меньшего квадрата AKLM:

$S_{AKLM} = (AK)^2 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$

4. Теперь найдем, на сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM. Для этого нужно найти разницу площадей и разделить ее на площадь меньшего квадрата (которая принимается за 100%), а затем умножить результат на 100%.

Формула для расчета процентного увеличения выглядит так:

$\text{Процентное увеличение} = \frac{S_{ABCD} - S_{AKLM}}{S_{AKLM}} \times 100\%$

5. Подставим найденные значения площадей в формулу:

$\frac{a^2 - \frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{4a^2 - a^2}{4}}{\frac{a^2}{4}} \times 100\% = \frac{\frac{3a^2}{4}}{\frac{a^2}{4}} \times 100\%$

6. Упростим выражение, сократив $\frac{a^2}{4}$ в числителе и знаменателе:

$3 \times 100\% = 300\%$

Таким образом, площадь квадрата ABCD на 300% больше площади квадрата AKLM.

Ответ: на 300%.

13. На сколько процентов площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$?

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение квадратов $AKLM$ и $ABCD$, для однозначного решения необходимо сделать разумное предположение. Вершина $A$ является общей для обоих квадратов. Наиболее логичным предположением, которое согласуется с именами вершин, является то, что вершина $L$ квадрата $AKLM$ совпадает с центром квадрата $ABCD$.

Пусть сторона большего квадрата $ABCD$ равна $a$. Его площадь $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = a^2$

В соответствии с нашим предположением, вершина $L$ квадрата $AKLM$ является центром квадрата $ABCD$. Если вершины $A, K, L, M$ заданы в такой последовательности, то отрезок $AL$ является диагональю квадрата $AKLM$.

Длина диагонали квадрата $ABCD$ (например, $AC$) находится по теореме Пифагора:

$d_{ABCD} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Расстояние от вершины квадрата до его центра равно половине длины диагонали. Таким образом, длина отрезка $AL$, который является диагональю квадрата $AKLM$, равна:

$d_{AKLM} = AL = \frac{1}{2} d_{ABCD} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Площадь квадрата можно найти через его диагональ $d$ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$. Следовательно, площадь квадрата $AKLM$ равна:

$S_{AKLM} = \frac{(d_{AKLM})^2}{2} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2} = \frac{\frac{a^2 \cdot 2}{4}}{2} = \frac{\frac{a^2}{2}}{2} = \frac{a^2}{4}$

Теперь найдем разницу между площадями двух квадратов:

$\Delta S = S_{ABCD} - S_{AKLM} = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$

Чтобы определить, на сколько процентов площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$, нужно найти отношение разницы площадей к площади большего квадрата и умножить на 100%:

$\frac{\Delta S}{S_{ABCD}} \times 100\% = \frac{\frac{3}{4}a^2}{a^2} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$

Ответ: Площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$ на $75\%$.

квадрата ABCD?

14 Издательство выпустило 10 наименований книг для взрослых и 40 наименований книг для детей. Сколько процентов всех книг составляют книги для взрослых?

1) 10%

2) 15%

3) 20%

4) 25%

B C L K A M D

Для того чтобы найти, какой процент от общего числа книг составляют книги для взрослых, нужно выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем общее количество наименований книг, выпущенных издательством. Для этого сложим количество книг для взрослых и количество книг для детей:
$10 \text{ (для взрослых)} + 40 \text{ (для детей)} = 50 \text{ (всего книг)}$

2. Теперь, когда мы знаем общее количество книг (50), мы можем найти долю, которую составляют книги для взрослых. Для этого разделим количество книг для взрослых на общее количество книг:
$\frac{10}{50}$

3. Чтобы выразить эту долю в процентах, необходимо умножить полученное значение на 100%.
$\frac{10}{50} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$

Таким образом, книги для взрослых составляют 20% от всех выпущенных книг.

Ответ: 20%.

15 Цена акции за неделю понизилась на $10\%$ и стала равной 3 р. 60 к. Сколько стоила акция неделю назад?

1) 4 р.

2) 3 р. 96 к.

3) 3 р. 24 к.

4) 36 р.

Пусть $x$ — это первоначальная цена акции (цена неделю назад). Согласно условию задачи, цена акции понизилась на 10%. Это означает, что новая цена составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной цены.

Новая цена акции равна 3 рубля 60 копеек. Для удобства вычислений переведем эту сумму полностью в копейки, зная, что в 1 рубле 100 копеек:

$3 \text{ р. } 60 \text{ к.} = 3 \times 100 + 60 = 360 \text{ копеек}$.

Теперь мы можем составить уравнение. 90% от первоначальной цены $x$ равно 360 копеек. Выразим 90% в виде десятичной дроби: $90\% = 0,9$.

$0,9 \cdot x = 360$

Чтобы найти первоначальную цену $x$, разделим новую цену на долю, которую она составляет:

$x = \frac{360}{0,9}$

Для выполнения деления можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$x = \frac{3600}{9}$

$x = 400$ копеек.

Переведем полученное значение обратно в рубли:

$400 \text{ копеек} = 4 \text{ рубля}$.

Таким образом, первоначальная цена акции составляла 4 рубля.

Ответ: 1) 4 р.