Номер 13, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Чему вы научились. Глава 1. Дроби и проценты - номер 13, страница 32.

Условие.

13. На сколько процентов площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$?

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение квадратов $AKLM$ и $ABCD$, для однозначного решения необходимо сделать разумное предположение. Вершина $A$ является общей для обоих квадратов. Наиболее логичным предположением, которое согласуется с именами вершин, является то, что вершина $L$ квадрата $AKLM$ совпадает с центром квадрата $ABCD$.

Пусть сторона большего квадрата $ABCD$ равна $a$. Его площадь $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = a^2$

В соответствии с нашим предположением, вершина $L$ квадрата $AKLM$ является центром квадрата $ABCD$. Если вершины $A, K, L, M$ заданы в такой последовательности, то отрезок $AL$ является диагональю квадрата $AKLM$.

Длина диагонали квадрата $ABCD$ (например, $AC$) находится по теореме Пифагора:

$d_{ABCD} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Расстояние от вершины квадрата до его центра равно половине длины диагонали. Таким образом, длина отрезка $AL$, который является диагональю квадрата $AKLM$, равна:

$d_{AKLM} = AL = \frac{1}{2} d_{ABCD} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Площадь квадрата можно найти через его диагональ $d$ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$. Следовательно, площадь квадрата $AKLM$ равна:

$S_{AKLM} = \frac{(d_{AKLM})^2}{2} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2} = \frac{\frac{a^2 \cdot 2}{4}}{2} = \frac{\frac{a^2}{2}}{2} = \frac{a^2}{4}$

Теперь найдем разницу между площадями двух квадратов:

$\Delta S = S_{ABCD} - S_{AKLM} = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$

Чтобы определить, на сколько процентов площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$, нужно найти отношение разницы площадей к площади большего квадрата и умножить на 100%:

$\frac{\Delta S}{S_{ABCD}} \times 100\% = \frac{\frac{3}{4}a^2}{a^2} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$

Ответ: Площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$ на $75\%$.