Страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения. $S = v \cdot t$. Вычислите по этой формуле расстояние, которое автомобиль, движущийся по шоссе со скоростью 75 км/ч, проехал за 30 с.

Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения

Формула, выражающая зависимость длины пройденного пути от скорости и времени, является основной формулой кинематики для равномерного прямолинейного движения. Она гласит, что пройденный путь равен произведению скорости на время движения.

Обозначим:
$S$ — пройденный путь (расстояние),
$v$ — скорость движения,
$t$ — время движения.

Тогда формула имеет вид:
$S = v \cdot t$

Ответ: $S = v \cdot t$.

Вычислите по этой формуле расстояние, которое автомобиль, движущийся по шоссе со скоростью 75 км/ч, проехал за 30 с

Для проведения вычислений необходимо привести все данные к единой системе единиц. Скорость дана в километрах в час (км/ч), а время — в секундах (с). Выполним перевод единиц.

Способ 1. Перевод времени в часы.
Скорость $v = 75$ км/ч.
Время $t = 30$ с.
В одном часе содержится $60 \cdot 60 = 3600$ секунд. Чтобы перевести секунды в часы, нужно разделить количество секунд на 3600.
$t = \frac{30}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{120} \text{ ч}$
Теперь можем вычислить расстояние, подставив значения в формулу:
$S = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{1}{120} \text{ ч} = \frac{75}{120} \text{ км}$
Сократим полученную дробь на 15:
$S = \frac{75 \div 15}{120 \div 15} = \frac{5}{8} \text{ км}$
Переведем в десятичную дробь: $S = 0,625$ км.

Способ 2. Перевод скорости в метры в секунду (м/с).
Переведем скорость из км/ч в м/с. В 1 км — 1000 м, в 1 ч — 3600 с.
$v = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 75 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{75000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{750}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{125}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Время движения $t = 30$ с.
Вычислим расстояние в метрах:
$S = \frac{125}{6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 30 \text{ с} = \frac{125 \cdot 30}{6} \text{ м} = 125 \cdot 5 \text{ м} = 625 \text{ м}$

Оба способа дают одинаковый результат: $0,625 \text{ км} = 625 \text{ м}$.

Ответ: 625 м.

2.1 а) Тетрадь стоит $x$ рублей, а альбом стоит $y$ рублей. Составьте формулу для вычисления стоимости покупки $C$, если куплено $m$ тетрадей и $n$ альбомов. Какие значения могут принимать переменные $m$ и $n$?

б) Вода в бассейн наливается через две трубы. Через первую поступает $a$ литров воды в минуту, а через вторую — $b$ литров воды в минуту. Составьте формулу для определения количества воды в бассейне $V$ через $t$ минут после открытия кранов. Какие значения могут принимать переменные $a$ и $b$?

а) Для того чтобы найти общую стоимость покупки $C$, необходимо сложить стоимость всех купленных тетрадей и стоимость всех купленных альбомов.
Стоимость одной тетради равна $x$ рублей. Если куплено $m$ тетрадей, то их общая стоимость составит $m \cdot x$ рублей.
Стоимость одного альбома равна $y$ рублей. Если куплено $n$ альбомов, то их общая стоимость составит $n \cdot y$ рублей.
Таким образом, общая стоимость покупки $C$ вычисляется как сумма стоимости тетрадей и стоимости альбомов. Формула имеет вид:
$C = m \cdot x + n \cdot y$

Переменные $m$ и $n$ представляют собой количество купленных товаров (тетрадей и альбомов). Количество предметов не может быть отрицательным или дробным числом, так как мы не можем купить, например, полторы тетради или минус три альбома. Однако можно не купить ни одной тетради ($m=0$) или ни одного альбома ($n=0$). Следовательно, переменные $m$ и $n$ могут принимать любые целые неотрицательные значения ($0, 1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: Формула для вычисления стоимости покупки: $C = mx + ny$. Переменные $m$ и $n$ могут принимать любые целые неотрицательные значения.

б) Для того чтобы найти общее количество воды $V$ в бассейне, нужно определить, сколько воды поступает в него каждую минуту через обе трубы, и умножить это количество на время $t$.
Через первую трубу поступает $a$ литров в минуту.
Через вторую трубу поступает $b$ литров в минуту.
Если обе трубы открыты, то их общая производительность (скорость наполнения) будет равна сумме производительностей каждой трубы: $(a + b)$ литров в минуту.
Чтобы найти объем воды $V$, который нальется в бассейн за время $t$ минут, нужно общую производительность умножить на время:
$V = (a + b) \cdot t$

Переменные $a$ и $b$ представляют собой скорость потока воды. Так как в условии сказано, что вода наливается в бассейн, скорость потока не может быть отрицательной. Она может быть равна нулю (если соответствующая труба перекрыта) или принимать любое положительное значение, в том числе и дробное (например, 5.5 литров в минуту). Следовательно, переменные $a$ и $b$ могут принимать любые неотрицательные значения ($a \ge 0$, $b \ge 0$).

Ответ: Формула для определения количества воды в бассейне: $V = (a+b)t$. Переменные $a$ и $b$ могут принимать любые неотрицательные значения.

2.2 a) В России каждый работающий человек платит со своего заработка подоходный налог, составляющий 13%. Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от величины заработка.

Пусть $Z$ – величина заработка, $N$ – размер подоходного налога.

$N = 0.13 \cdot Z$

б) Сотрудники некоторого предприятия отчисляют в пенсионный фонд 4% от заработной платы. Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы.

Пусть $ZP$ – величина заработной платы, $P$ – размер пенсионных отчислений.

$P = 0.04 \cdot ZP$

а) Для того чтобы записать формулу зависимости, необходимо сначала ввести переменные. Пусть $S$ — это величина заработка, а $N$ — это размер подоходного налога.
Согласно условию, подоходный налог составляет 13% от заработка. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число.
$13\% = \frac{13}{100} = 0.13$
Таким образом, чтобы найти размер налога ($N$), нужно величину заработка ($S$) умножить на 0.13. Формула зависимости будет выглядеть следующим образом:
$N = 0.13 \cdot S$
Ответ: $N = 0.13 \cdot S$, где $S$ — величина заработка, $N$ — размер подоходного налога.

б) Аналогично предыдущему пункту, введем переменные. Пусть $S$ — это величина заработной платы, а $P$ — размер пенсионных отчислений.
Пенсионные отчисления составляют 4% от заработной платы. Переведем проценты в десятичную дробь:
$4\% = \frac{4}{100} = 0.04$
Теперь запишем формулу зависимости размера пенсионных отчислений ($P$) от величины заработной платы ($S$). Для этого нужно умножить заработную плату на 0.04.
$P = 0.04 \cdot S$
Ответ: $P = 0.04 \cdot S$, где $S$ — величина заработной платы, $P$ — размер пенсионных отчислений.

2.3 а) Объем тетраэдра — треугольной пирамиды, все ребра которой равны (рис. 2.1), можно вычислить по приближенной формуле $V \approx \frac{7a^3}{60}$, где $a$ — длина ребра. Найдите объем тетраэдра, если $a = 6$ см; $a = 12$ см.

б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.2) вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a$, $b$ и $c$ — измерения параллелепипеда. Найдите площадь поверхности, если $a = 5$ см, $b = 7$ см, $c = 9$ см.

в) Объём усечённой пирамиды, у которой квадратные основания (рис. 2.3), вычисляется по формуле $V = \frac{h}{3}(a^2 + b^2 + ab)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды. Найдите объём, если $h = 15$ см, $a = 20$ см, $b = 10$ см.

а) Объём тетраэдра вычисляется по приближённой формуле $V \approx \frac{7a^3}{60}$, где $a$ — длина ребра.

1. Для $a = 6$ см:

$V \approx \frac{7 \cdot 6^3}{60} = \frac{7 \cdot 216}{60} = \frac{1512}{60} = 25,2$ см³.

2. Для $a = 12$ см:

$V \approx \frac{7 \cdot 12^3}{60} = \frac{7 \cdot 1728}{60} = \frac{12096}{60} = 201,6$ см³.

Ответ: при $a = 6$ см объём тетраэдра равен 25,2 см³; при $a = 12$ см объём равен 201,6 см³.

б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a, b$ и $c$ — измерения параллелепипеда.

Подставим заданные значения $a = 5$ см, $b = 7$ см, $c = 9$ см в формулу:

$S = 2(5 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 9) = 2(35 + 45 + 63) = 2 \cdot 143 = 286$ см².

Ответ: 286 см².

в) Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле $V = \frac{h}{3}(a^2 + b^2 + ab)$, где $h$ — высота, $a$ и $b$ — стороны оснований.

Подставим заданные значения $h = 15$ см, $a = 20$ см, $b = 10$ см в формулу:

$V = \frac{15}{3}(20^2 + 10^2 + 20 \cdot 10) = 5(400 + 100 + 200) = 5 \cdot 700 = 3500$ см³.

Ответ: 3500 см³.