Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вода поступает в бассейн через трубу с постоянной скоростью $p = 25$ л/мин. Пользуясь формулой $V = pt$, где $V$ — объём воды в бассейне, $t$ — время работы трубы, заполните таблицу.

Объясните, почему зависимость объёма воды в бассейне от времени работы трубы при постоянной скорости поступления воды является прямой пропорциональностью. Чему равно отношение объёма воды ко времени её поступления?

Заполнение таблицы

Для заполнения таблицы используется формула $V = pt$, где объём $V$ зависит от времени $t$ и постоянной скорости $p$. По условию, скорость поступления воды $p = 25$ л/мин. Таким образом, формула для расчёта объёма принимает вид $V = 25t$.

Вычислим значения объёма $V$ для каждого указанного в таблице значения времени $t$:

• При $t = 10$ мин, объём $V = 25 \times 10 = 250$ л.
• При $t = 20$ мин, объём $V = 25 \times 20 = 500$ л.
• При $t = 30$ мин, объём $V = 25 \times 30 = 750$ л.
• При $t = 40$ мин, объём $V = 25 \times 40 = 1000$ л.
• При $t = 50$ мин, объём $V = 25 \times 50 = 1250$ л.
• При $t = 60$ мин, объём $V = 25 \times 60 = 1500$ л.

Ответ: Заполненная таблица:

Объяснение, почему зависимость является прямой пропорциональностью

Зависимость между двумя величинами называется прямой пропорциональностью, если она может быть выражена формулой вида $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. В данной задаче зависимость объёма воды $V$ от времени $t$ описывается формулой $V = pt$. Поскольку скорость $p$ является постоянной величиной ($p=25$), то формула $V = 25t$ полностью соответствует виду $y=kx$, где $y=V$, $x=t$, а коэффициент пропорциональности $k=p=25$.

Ответ: Зависимость объёма воды от времени является прямой пропорциональностью, так как она описывается формулой $V = kt$, где $k$ — постоянный коэффициент (скорость поступления воды, $k=25$).

Нахождение отношения объёма воды ко времени её поступления

Отношение объёма воды ко времени её поступления выражается как $\frac{V}{t}$. Чтобы найти это отношение, можно преобразовать исходную формулу $V = pt$, разделив обе её части на время $t$ (при $t \neq 0$):

$\frac{V}{t} = \frac{pt}{t}$

$\frac{V}{t} = p$

Так как по условию $p = 25$ л/мин, то искомое отношение постоянно и равно 25.

Ответ: Отношение объёма воды ко времени её поступления равно 25.

На 200 р. надо купить яблок одного сорта. Пользуясь формулой $m = \frac{C}{c}$, где $C$ — стоимость покупки, $c$ — цена одного килограмма яблок, $m$ — масса купленных яблок, заполните таблицу.

a) Объясните, почему зависимость массы купленных яблок $m$ от их цены $c$ является обратной пропорциональностью. Чему равно произведение цены яблок на их массу?

б) В какой зависимости находится цена яблок $c$ от массы купленных яблок $m$ при постоянной стоимости покупки?

Сначала заполним таблицу. По условию, общая стоимость покупки $C = 200$ р. Масса купленных яблок $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{C}{c}$, где $c$ — цена за один килограмм.

Рассчитаем массу $m$ для каждого значения цены $c$ из таблицы:
Если цена $c = 50$ р., то масса $m = \frac{200}{50} = 4$ кг.
Если цена $c = 40$ р., то масса $m = \frac{200}{40} = 5$ кг.
Если цена $c = 25$ р., то масса $m = \frac{200}{25} = 8$ кг.
Если цена $c = 20$ р., то масса $m = \frac{200}{20} = 10$ кг.
Если цена $c = 10$ р., то масса $m = \frac{200}{10} = 20$ кг.

Заполненная таблица:

а)

Две величины называют обратно пропорциональными, если их зависимость можно выразить формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянное число (коэффициент пропорциональности), а $x$ и $y$ — переменные величины. В нашем случае зависимость массы $m$ от цены $c$ выражается формулой $m = \frac{C}{c}$. Здесь $m$ играет роль $y$, $c$ играет роль $x$, а постоянная стоимость $C=200$ играет роль коэффициента $k$. Таким образом, зависимость массы купленных яблок $m$ от их цены $c$ является обратной пропорциональностью.

Другое свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение постоянно: $x \cdot y = k$. Если мы преобразуем нашу формулу $m = \frac{C}{c}$, то получим $m \cdot c = C$. Так как стоимость $C$ — постоянная величина ($C=200$), то произведение массы на цену также является постоянным. Это подтверждает, что зависимость является обратной пропорциональностью.

Произведение цены яблок на их массу равно общей стоимости покупки $C$, то есть 200.

Ответ: Зависимость массы купленных яблок $m$ от их цены $c$ является обратной пропорциональностью, потому что она описывается формулой вида $y=\frac{k}{x}$ ($m=\frac{200}{c}$), или, что эквивалентно, их произведение $m \cdot c$ является постоянным числом. Произведение цены яблок на их массу равно 200.

б)

При постоянной стоимости покупки $C$ цена яблок $c$ и масса купленных яблок $m$ связаны формулой $m \cdot c = C$. Из этой формулы можно выразить цену через массу: $c = \frac{C}{m}$. Эта формула также показывает зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, где теперь $y=c$, $x=m$, а $k=C$. Следовательно, цена яблок $c$ находится в обратно пропорциональной зависимости от массы купленных яблок $m$. Это означает, что во сколько раз увеличивается масса яблок, которые можно купить, во столько же раз уменьшается их цена за килограмм, и наоборот.

Ответ: Цена яблок $c$ находится в обратно пропорциональной зависимости от массы купленных яблок $m$.

2.17 Мотоциклист за некоторое время проехал расстояние, равное 30 км.

a) Какое расстояние проедет за это же время автомобиль, если его скорость в 2 раза больше; в 3 раза больше?

б) Какое расстояние проедет за это же время велосипедист, если его скорость в 2 раза меньше; в 3 раза меньше?

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей расстояние ($s$), скорость ($v$) и время ($t$): $s = v \cdot t$.

Из условия следует, что время движения $t$ постоянно для всех случаев. При постоянном времени расстояние прямо пропорционально скорости. Это означает, что если скорость увеличивается (или уменьшается) в несколько раз, то и расстояние, пройденное за то же время, увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Изначально мотоциклист проехал расстояние, равное 30 км.

а)

Найдем расстояние, которое проедет автомобиль.

- Если скорость автомобиля в 2 раза больше скорости мотоциклиста, то и расстояние, которое он проедет за то же время, будет в 2 раза больше:
$s_{авто} = 30 \text{ км} \cdot 2 = 60 \text{ км}$.

- Если скорость автомобиля в 3 раза больше скорости мотоциклиста, то и расстояние будет в 3 раза больше:
$s_{авто} = 30 \text{ км} \cdot 3 = 90 \text{ км}$.

Ответ: автомобиль проедет 60 км, если его скорость в 2 раза больше, и 90 км, если его скорость в 3 раза больше.

б)

Найдем расстояние, которое проедет велосипедист.

- Если скорость велосипедиста в 2 раза меньше скорости мотоциклиста, то и расстояние, которое он проедет за то же время, будет в 2 раза меньше:
$s_{вело} = 30 \text{ км} / 2 = 15 \text{ км}$.

- Если скорость велосипедиста в 3 раза меньше скорости мотоциклиста, то и расстояние будет в 3 раза меньше:
$s_{вело} = 30 \text{ км} / 3 = 10 \text{ км}$.

Ответ: велосипедист проедет 15 км, если его скорость в 2 раза меньше, и 10 км, если его скорость в 3 раза меньше.

2.18 С помощью электромотора за $7 \text{ с}$ можно накачать в бак $20 \text{ л}$ воды.

a) За какое время можно наполнить бак, вмещающий $200 \text{ л}$ воды; $120 \text{ л}$ воды?

б) Сколько воды можно накачать в бак за $14 \text{ с}$; за $35 \text{ с}$?

Для решения задачи сначала определим производительность (скорость) электромотора. Известно, что он накачивает 20 литров воды за 7 секунд. Производительность $P$ — это объем $V$, деленный на время $t$.

$P = \frac{V}{t} = \frac{20 \text{ л}}{7 \text{ с}} = \frac{20}{7}$ л/с.

а) За какое время можно наполнить бак, вмещающий 200 л воды; 120 л воды?

Время $t$, необходимое для заполнения бака, можно найти, разделив требуемый объем $V$ на производительность мотора $P$: $t = \frac{V}{P}$.

• Для бака объемом 200 л:

  $t = \frac{200 \text{ л}}{\frac{20}{7} \text{ л/с}} = 200 \cdot \frac{7}{20} \text{ с} = 10 \cdot 7 \text{ с} = 70$ с.

• Для бака объемом 120 л:

  $t = \frac{120 \text{ л}}{\frac{20}{7} \text{ л/с}} = 120 \cdot \frac{7}{20} \text{ с} = 6 \cdot 7 \text{ с} = 42$ с.

Ответ: бак на 200 л можно наполнить за 70 секунд, а бак на 120 л — за 42 секунды.

б) Сколько воды можно накачать в бак за 14 с; за 35 с?

Объем воды $V$, который можно накачать за заданное время $t$, можно найти, умножив производительность мотора $P$ на время $t$: $V = P \cdot t$.

• За 14 секунд:

  $V = \frac{20}{7} \text{ л/с} \cdot 14 \text{ с} = 20 \cdot \frac{14}{7} \text{ л} = 20 \cdot 2 \text{ л} = 40$ л.

• За 35 секунд:

  $V = \frac{20}{7} \text{ л/с} \cdot 35 \text{ с} = 20 \cdot \frac{35}{7} \text{ л} = 20 \cdot 5 \text{ л} = 100$ л.

Ответ: за 14 секунд можно накачать 40 л воды, а за 35 секунд — 100 л воды.

2.19 Среди зависимостей, заданных формулой, определите те, которые являются прямой пропорциональностью, и объясните смысл коэффициента пропорциональности:

а) $C = 5t$, где $C$ — стоимость междугороднего телефонного разговора (в р.), $t$ — время разговора (в мин);

б) $N = 30n + 20$, где $N$ — стоимость проката велосипеда, $n$ — число дней, на которые был взят велосипед;

в) $C = \pi d$, где $C$ — длина окружности, $d$ — диаметр окружности;

г) $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь круга, $r$ — радиус круга.

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их отношение остается постоянным. Эта зависимость выражается формулой $y = kx$, где $y$ и $x$ — переменные величины, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю.

а) Зависимость $C = 5t$ является прямой пропорциональностью, так как она соответствует виду $y = kx$. Здесь $C$ выступает в роли $y$, $t$ — в роли $x$, а коэффициент пропорциональности $k = 5$.
Смысл коэффициента пропорциональности: поскольку $C$ — это стоимость разговора в рублях, а $t$ — время в минутах, то коэффициент $k=5$ показывает, сколько стоит одна минута разговора. То есть, стоимость одной минуты разговора составляет 5 рублей.
Ответ: зависимость является прямой пропорциональностью; коэффициент пропорциональности 5 означает стоимость одной минуты разговора в рублях.

б) Зависимость $N = 30n + 20$ не является прямой пропорциональностью. Она имеет вид $y = kx + b$, где $b \neq 0$. Это линейная зависимость, но не прямая пропорциональность. При прямой пропорциональности, если одна величина равна нулю (в данном случае, если $n=0$), то и другая должна быть равна нулю. Однако, здесь при $n=0$, $N=20$, что нарушает условие прямой пропорциональности. Отношение $N/n$ не является постоянным.
Ответ: зависимость не является прямой пропорциональностью.

в) Зависимость $C = \pi d$ является прямой пропорциональностью. Она соответствует виду $y = kx$, где $C$ — это $y$, $d$ — это $x$, а коэффициент пропорциональности $k = \pi$.
Смысл коэффициента пропорциональности: коэффициент $\pi$ (число пи) — это математическая константа, которая показывает постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру.
Ответ: зависимость является прямой пропорциональностью; коэффициент пропорциональности $\pi$ — это отношение длины окружности к её диаметру.

г) Зависимость $S = \pi r^2$ не является прямой пропорциональностью. В этой формуле площадь $S$ зависит от квадрата радиуса $r^2$, а не от самого радиуса $r$ в первой степени. Это квадратичная зависимость. При увеличении радиуса $r$ в несколько раз, площадь $S$ увеличивается в квадрат этого числа раз, а не в то же самое число раз, как требуется для прямой пропорциональности.
Ответ: зависимость не является прямой пропорциональностью.