Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.27 За 12 с участник школьных соревнований пробежал 60 м.

а) Если он будет бежать с той же скоростью, то за сколько секунд он пробежит 40 м; 100 м?

б) За какое время пробежит 200 м спортсмен, скорость которого в 2 раза больше?

Для решения задачи в первую очередь определим скорость участника соревнований. Известно, что он пробежал расстояние $s_1 = 60$ метров за время $t_1 = 12$ секунд.

Скорость $v$ находится по формуле: $v = \frac{s}{t}$

Подставим известные значения, чтобы найти начальную скорость $v_1$: $v_1 = \frac{60 \text{ м}}{12 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

а)

В данном пункте требуется найти время, за которое участник пробежит 40 м и 100 м, двигаясь с той же скоростью $v_1 = 5 \text{ м/с}$. Время можно найти, выразив его из формулы скорости: $t = \frac{s}{v}$

1. Рассчитаем время для расстояния 40 м: $t_{40} = \frac{40 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 8 \text{ с}$

2. Рассчитаем время для расстояния 100 м: $t_{100} = \frac{100 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 20 \text{ с}$

Ответ: 40 м участник пробежит за 8 секунд, а 100 м — за 20 секунд.

б)

Здесь нужно найти время, за которое пробежит 200 м другой спортсмен, скорость которого в 2 раза больше. Сначала найдем скорость этого спортсмена, обозначим ее $v_2$: $v_2 = v_1 \times 2 = 5 \text{ м/с} \times 2 = 10 \text{ м/с}$

Теперь, зная скорость второго спортсмена ($v_2 = 10 \text{ м/с}$) и расстояние ($s_2 = 200$ м), рассчитаем время $t_2$: $t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{200 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 20 \text{ с}$

Ответ: спортсмен, скорость которого в 2 раза больше, пробежит 200 м за 20 секунд.

2.28 Задайте формулой указанную зависимость и определите, прямой или обратной пропорциональностью она является:

а) зависимость числа $m$ одинаковых учебников, размещаемых на полке длиной 90 см, от толщины учебника $l$ (в см);

б) зависимость израсходованного бензина $V$ (в л) от пройденного автомобилем пути $s$ (в км) при расходе 0,08 л бензина на 1 км пути;

в) зависимость времени $t$ (в мин), за которое на принтере можно распечатать 200 страниц, от скорости печати принтера $v$ (в с./мин);

г) зависимость стоимости $Z$ (в р.) рулона ткани от длины $l$ (в м) этого рулона при цене одного метра 300 р.

а) Пусть $m$ — количество учебников, а $l$ (в см) — толщина одного учебника. Общая длина, которую займут все учебники, равна произведению их количества на толщину одного учебника, то есть $m \cdot l$. По условию, эта длина равна длине полки, то есть 90 см. Таким образом, получаем равенство: $m \cdot l = 90$.

Чтобы выразить зависимость числа учебников $m$ от толщины $l$, разделим обе части уравнения на $l$: $m = \frac{90}{l}$.

Эта формула имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k=90$. Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. С увеличением толщины учебника $l$, количество учебников $m$, которые можно разместить на полке, уменьшается.

Ответ: формула зависимости $m = \frac{90}{l}$, это обратная пропорциональность.

б) Пусть $V$ (в л) — количество израсходованного бензина, а $s$ (в км) — пройденный автомобилем путь. По условию, расход бензина составляет 0,08 литра на 1 километр пути. Чтобы найти общее количество израсходованного бензина, нужно расход на 1 км умножить на общее количество километров.

Таким образом, формула зависимости имеет вид: $V = 0.08 \cdot s$.

Эта формула имеет вид $y = kx$, где $k=0.08$. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью. С увеличением пройденного пути $s$, количество израсходованного бензина $V$ также увеличивается.

Ответ: формула зависимости $V = 0.08s$, это прямая пропорциональность.

в) Пусть $t$ (в мин) — время печати, а $v$ (в стр./мин) — скорость печати принтера. Общее количество страниц, которое можно напечатать, равно произведению скорости печати на время работы, то есть $v \cdot t$. По условию, общее количество страниц равно 200. Таким образом, получаем равенство: $v \cdot t = 200$.

Чтобы выразить зависимость времени $t$ от скорости $v$, разделим обе части уравнения на $v$: $t = \frac{200}{v}$.

Эта формула имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k=200$. Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. С увеличением скорости печати $v$, время $t$, необходимое для печати 200 страниц, уменьшается.

Ответ: формула зависимости $t = \frac{200}{v}$, это обратная пропорциональность.

г) Пусть $Z$ (в р.) — стоимость рулона ткани, а $l$ (в м) — длина этого рулона. По условию, цена одного метра ткани составляет 300 рублей. Чтобы найти общую стоимость рулона, нужно цену одного метра умножить на количество метров в рулоне.

Таким образом, формула зависимости имеет вид: $Z = 300 \cdot l$.

Эта формула имеет вид $y = kx$, где $k=300$. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью. С увеличением длины ткани $l$, её общая стоимость $Z$ также увеличивается.

Ответ: формула зависимости $Z = 300l$, это прямая пропорциональность.

2.29 Определите, является прямой или обратной пропорциональностью зависимость:

а) периметра квадрата от длины его стороны;

б) площади квадрата от длины его стороны;

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Для определения типа зависимости между двумя величинами $y$ и $x$ нужно проанализировать их взаимосвязь.
- Прямая пропорциональность: зависимость вида $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент. При увеличении (уменьшении) $x$ в несколько раз, $y$ увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Отношение $\frac{y}{x} = k$ постоянно.
- Обратная пропорциональность: зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент. При увеличении (уменьшении) $x$ в несколько раз, $y$ уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Произведение $x \cdot y = k$ постоянно.
- Если зависимость не соответствует ни одной из этих форм, она не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

а) периметра квадрата от длины его стороны;
Пусть $P$ — периметр квадрата, а $a$ — длина его стороны. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.
Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y = P$, $x = a$ и коэффициент пропорциональности $k = 4$ является константой.
Если мы увеличим сторону квадрата, например, в 2 раза, то и периметр увеличится в 2 раза: $P' = 4 \cdot (2a) = 2 \cdot (4a) = 2P$.
Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

б) площади квадрата от длины его стороны;
Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.
Проверим, является ли эта зависимость прямой пропорциональностью. Для этого найдем отношение $\frac{S}{a} = \frac{a^2}{a} = a$. Это отношение не является постоянным числом, оно зависит от $a$. Значит, это не прямая пропорциональность.
Проверим, является ли она обратной пропорциональностью. Найдем произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Это произведение также не является постоянным. Значит, это не обратная пропорциональность.
Зависимость является квадратичной. Если увеличить сторону в 2 раза, площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза: $S' = (2a)^2 = 4a^2 = 4S$.
Ответ: ни прямая, ни обратная пропорциональность.

в) величины одного из смежных углов от величины другого;
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — величины смежных углов. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, их зависимость выражается формулой $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Выразим одну величину через другую: $\alpha = 180^\circ - \beta$.
Эта зависимость не является прямой пропорциональностью (формула не вида $\alpha = k\beta$) и не является обратной пропорциональностью (формула не вида $\alpha = \frac{k}{\beta}$).
Например, если $\beta = 60^\circ$, то $\alpha = 120^\circ$. Если увеличить $\beta$ в 2 раза до $120^\circ$, то $\alpha$ станет $60^\circ$. Величина $\beta$ увеличилась в 2 раза, а величина $\alpha$ уменьшилась в 2 раза, но это частный случай. Возьмем $\beta = 30^\circ$, тогда $\alpha = 150^\circ$. Увеличим $\beta$ в 2 раза до $60^\circ$, тогда $\alpha = 120^\circ$. Величина $\alpha$ не уменьшилась в 2 раза ($150 / 2 = 75 \ne 120$).
Ответ: ни прямая, ни обратная пропорциональность.

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.
Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $S$ — его площадь. По условию, площадь $S$ является данной, то есть постоянной величиной ($S = \text{const}$).
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.
Выразим зависимость длины одной стороны, например $a$, от длины другой стороны $b$: $a = \frac{S}{b}$.
Эта зависимость имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $y = a$, $x = b$ и коэффициент $k = S$ является константой.
Если мы увеличим одну сторону, например, в 3 раза, то другая сторона должна уменьшиться в 3 раза, чтобы их произведение (площадь) осталось неизменным: $a' = \frac{S}{3b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{b} = \frac{1}{3}a$.
Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

Определите, о какой зависимости идёт речь в задаче, и решите её (2.30–2.32).

2.30 а) Четыре сотрудника отдела, работая с одинаковой скоростью, за 3 дня набрали на клавиатуре компьютера 222 страницы. Сколько страниц могут набрать двое из них за 12 дней?

б) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м. Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м?

а)

В этой задаче речь идет о прямой пропорциональной зависимости. Количество набранных страниц ($P$) прямо пропорционально количеству сотрудников ($N$) и количеству дней работы ($T$). Эту зависимость можно выразить формулой $P = k \cdot N \cdot T$, где $k$ — постоянный коэффициент, представляющий собой производительность одного сотрудника в день (количество страниц, которое один сотрудник набирает за один день).

Способ 1: Нахождение производительности

1. Найдем производительность одного сотрудника. Из условия известно, что 4 сотрудника за 3 дня набрали 222 страницы. Общий объем работы в человеко-днях составляет $4 \text{ сотрудника} \times 3 \text{ дня} = 12$ человеко-дней.
Производительность одного сотрудника в день ($k$) равна:
$k = \frac{P}{N \cdot T} = \frac{222 \text{ страницы}}{12 \text{ человеко-дней}} = 18.5$ страниц в день на сотрудника.

2. Теперь вычислим, сколько страниц наберут 2 сотрудника за 12 дней, используя найденную производительность.
$P_{новое} = k \cdot N_{новое} \cdot T_{новое} = 18.5 \frac{\text{страниц}}{\text{человеко-день}} \cdot (2 \text{ сотрудника} \cdot 12 \text{ дней}) = 18.5 \cdot 24 = 444$ страницы.

Способ 2: Использование пропорции

Так как зависимость прямая, отношение количества страниц к произведению числа сотрудников на число дней является постоянной величиной:
$\frac{P_1}{N_1 \cdot T_1} = \frac{P_2}{N_2 \cdot T_2}$
Подставим известные значения:
$\frac{222}{4 \cdot 3} = \frac{P_2}{2 \cdot 12}$
$\frac{222}{12} = \frac{P_2}{24}$
Отсюда выразим и найдем $P_2$:
$P_2 = \frac{222 \cdot 24}{12} = 222 \cdot 2 = 444$ страницы.

Ответ: 444 страницы.

б)

В данной задаче речь идет о прямой пропорциональной зависимости. Количество шерсти ($M$), необходимое для вязания шарфа, прямо пропорционально площади шарфа ($S$). Площадь, в свою очередь, является произведением его длины ($L$) на ширину ($W$). Таким образом, $M = k \cdot S = k \cdot L \cdot W$, где $k$ — расход шерсти на единицу площади.

1. Для удобства вычислений приведем все единицы измерения к одной системе. Переведем метры в сантиметры.
Размеры первого шарфа: ширина $W_1 = 12$ см, длина $L_1 = 2$ м = $200$ см.
Размеры второго шарфа: ширина $W_2 = 36$ см, длина $L_2 = 1$ м = $100$ см.

2. Вычислим площади обоих шарфов.
Площадь первого шарфа: $S_1 = W_1 \cdot L_1 = 12 \text{ см} \cdot 200 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2$.
Площадь второго шарфа: $S_2 = W_2 \cdot L_2 = 36 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 3600 \text{ см}^2$.

3. Поскольку масса шерсти прямо пропорциональна площади, мы можем составить пропорцию, чтобы найти искомую массу шерсти $M_2$. Масса для первого шарфа $M_1 = 180$ г.
$\frac{M_1}{S_1} = \frac{M_2}{S_2}$
Подставим значения и решим относительно $M_2$:
$\frac{180 \text{ г}}{2400 \text{ см}^2} = \frac{M_2}{3600 \text{ см}^2}$
$M_2 = \frac{180 \text{ г} \cdot 3600 \text{ см}^2}{2400 \text{ см}^2} = 180 \cdot \frac{36}{24} = 180 \cdot \frac{3}{2} = 90 \cdot 3 = 270$ г.

Ответ: 270 г.

2.31 а) На облицовку плиткой подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность труда на 20%?

б) Отчёт группы исследователей был распечатан на принтере за 30 мин. За какое время можно распечатать этот отчёт на принтере, производительность которого на 50% меньше?

а)

Данная задача является задачей на обратную пропорциональность: чем выше производительность, тем меньше времени требуется для выполнения того же объема работы.

Пусть $P_1$ — первоначальная производительность труда, а $T_1 = 18$ дней — время выполнения работы. Объем работы $A$ можно выразить как $A = P_1 \cdot T_1$.

Новая производительность труда $P_2$ на 20% выше первоначальной. Выразим ее через $P_1$: $P_2 = P_1 + 0,2 \cdot P_1 = 1,2 \cdot P_1$.

Найдем новое время $T_2$, необходимое для выполнения того же объема работы $A$ с новой производительностью $P_2$. Так как объем работы не меняется, $P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2$.

Подставим известные значения в формулу: $P_1 \cdot 18 = (1,2 \cdot P_1) \cdot T_2$.

Мы можем сократить $P_1$ в обеих частях уравнения, так как производительность не равна нулю: $18 = 1,2 \cdot T_2$.

Отсюда находим $T_2$: $T_2 = \frac{18}{1,2} = \frac{180}{12} = 15$ (дней).

Ответ: 15 дней.

б)

Эта задача также описывает обратно пропорциональную зависимость между производительностью и временем.

Пусть $P_1$ — производительность первого принтера, а $T_1 = 30$ минут — время печати отчета. Объем работы (количество страниц в отчете) $A$ равен $A = P_1 \cdot T_1$.

Производительность второго принтера $P_2$ на 50% меньше, чем у первого. Это значит, что она составляет $100\% - 50\% = 50\%$ от производительности первого. $P_2 = P_1 - 0,5 \cdot P_1 = 0,5 \cdot P_1$.

Найдем время $T_2$, которое потребуется второму принтеру для печати того же отчета. Поскольку объем работы $A$ одинаков, верно равенство: $P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2$.

Подставим известные значения: $P_1 \cdot 30 = (0,5 \cdot P_1) \cdot T_2$.

Сокращаем $P_1$: $30 = 0,5 \cdot T_2$.

Находим $T_2$: $T_2 = \frac{30}{0,5} = 60$ (минут).

Ответ: 60 минут.