Номер 2.30, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 2.30, страница 44.

Условие.

Определите, о какой зависимости идёт речь в задаче, и решите её (2.30–2.32).

2.30 а) Четыре сотрудника отдела, работая с одинаковой скоростью, за 3 дня набрали на клавиатуре компьютера 222 страницы. Сколько страниц могут набрать двое из них за 12 дней?

б) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м. Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

В этой задаче речь идет о прямой пропорциональной зависимости. Количество набранных страниц ($P$) прямо пропорционально количеству сотрудников ($N$) и количеству дней работы ($T$). Эту зависимость можно выразить формулой $P = k \cdot N \cdot T$, где $k$ — постоянный коэффициент, представляющий собой производительность одного сотрудника в день (количество страниц, которое один сотрудник набирает за один день).

Способ 1: Нахождение производительности

1. Найдем производительность одного сотрудника. Из условия известно, что 4 сотрудника за 3 дня набрали 222 страницы. Общий объем работы в человеко-днях составляет $4 \text{ сотрудника} \times 3 \text{ дня} = 12$ человеко-дней.
Производительность одного сотрудника в день ($k$) равна:
$k = \frac{P}{N \cdot T} = \frac{222 \text{ страницы}}{12 \text{ человеко-дней}} = 18.5$ страниц в день на сотрудника.

2. Теперь вычислим, сколько страниц наберут 2 сотрудника за 12 дней, используя найденную производительность.
$P_{новое} = k \cdot N_{новое} \cdot T_{новое} = 18.5 \frac{\text{страниц}}{\text{человеко-день}} \cdot (2 \text{ сотрудника} \cdot 12 \text{ дней}) = 18.5 \cdot 24 = 444$ страницы.

Способ 2: Использование пропорции

Так как зависимость прямая, отношение количества страниц к произведению числа сотрудников на число дней является постоянной величиной:
$\frac{P_1}{N_1 \cdot T_1} = \frac{P_2}{N_2 \cdot T_2}$
Подставим известные значения:
$\frac{222}{4 \cdot 3} = \frac{P_2}{2 \cdot 12}$
$\frac{222}{12} = \frac{P_2}{24}$
Отсюда выразим и найдем $P_2$:
$P_2 = \frac{222 \cdot 24}{12} = 222 \cdot 2 = 444$ страницы.

Ответ: 444 страницы.

б)

В данной задаче речь идет о прямой пропорциональной зависимости. Количество шерсти ($M$), необходимое для вязания шарфа, прямо пропорционально площади шарфа ($S$). Площадь, в свою очередь, является произведением его длины ($L$) на ширину ($W$). Таким образом, $M = k \cdot S = k \cdot L \cdot W$, где $k$ — расход шерсти на единицу площади.

1. Для удобства вычислений приведем все единицы измерения к одной системе. Переведем метры в сантиметры.
Размеры первого шарфа: ширина $W_1 = 12$ см, длина $L_1 = 2$ м = $200$ см.
Размеры второго шарфа: ширина $W_2 = 36$ см, длина $L_2 = 1$ м = $100$ см.

2. Вычислим площади обоих шарфов.
Площадь первого шарфа: $S_1 = W_1 \cdot L_1 = 12 \text{ см} \cdot 200 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2$.
Площадь второго шарфа: $S_2 = W_2 \cdot L_2 = 36 \text{ см} \cdot 100 \text{ см} = 3600 \text{ см}^2$.

3. Поскольку масса шерсти прямо пропорциональна площади, мы можем составить пропорцию, чтобы найти искомую массу шерсти $M_2$. Масса для первого шарфа $M_1 = 180$ г.
$\frac{M_1}{S_1} = \frac{M_2}{S_2}$
Подставим значения и решим относительно $M_2$:
$\frac{180 \text{ г}}{2400 \text{ см}^2} = \frac{M_2}{3600 \text{ см}^2}$
$M_2 = \frac{180 \text{ г} \cdot 3600 \text{ см}^2}{2400 \text{ см}^2} = 180 \cdot \frac{36}{24} = 180 \cdot \frac{3}{2} = 90 \cdot 3 = 270$ г.

Ответ: 270 г.