Номер 2.29, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 2.29, страница 44.

Условие.

2.29 Определите, является прямой или обратной пропорциональностью зависимость:

а) периметра квадрата от длины его стороны;

б) площади квадрата от длины его стороны;

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для определения типа зависимости между двумя величинами $y$ и $x$ нужно проанализировать их взаимосвязь.
- Прямая пропорциональность: зависимость вида $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент. При увеличении (уменьшении) $x$ в несколько раз, $y$ увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Отношение $\frac{y}{x} = k$ постоянно.
- Обратная пропорциональность: зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент. При увеличении (уменьшении) $x$ в несколько раз, $y$ уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Произведение $x \cdot y = k$ постоянно.
- Если зависимость не соответствует ни одной из этих форм, она не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

а) периметра квадрата от длины его стороны;
Пусть $P$ — периметр квадрата, а $a$ — длина его стороны. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.
Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y = P$, $x = a$ и коэффициент пропорциональности $k = 4$ является константой.
Если мы увеличим сторону квадрата, например, в 2 раза, то и периметр увеличится в 2 раза: $P' = 4 \cdot (2a) = 2 \cdot (4a) = 2P$.
Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

б) площади квадрата от длины его стороны;
Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.
Проверим, является ли эта зависимость прямой пропорциональностью. Для этого найдем отношение $\frac{S}{a} = \frac{a^2}{a} = a$. Это отношение не является постоянным числом, оно зависит от $a$. Значит, это не прямая пропорциональность.
Проверим, является ли она обратной пропорциональностью. Найдем произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Это произведение также не является постоянным. Значит, это не обратная пропорциональность.
Зависимость является квадратичной. Если увеличить сторону в 2 раза, площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза: $S' = (2a)^2 = 4a^2 = 4S$.
Ответ: ни прямая, ни обратная пропорциональность.

в) величины одного из смежных углов от величины другого;
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — величины смежных углов. По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, их зависимость выражается формулой $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Выразим одну величину через другую: $\alpha = 180^\circ - \beta$.
Эта зависимость не является прямой пропорциональностью (формула не вида $\alpha = k\beta$) и не является обратной пропорциональностью (формула не вида $\alpha = \frac{k}{\beta}$).
Например, если $\beta = 60^\circ$, то $\alpha = 120^\circ$. Если увеличить $\beta$ в 2 раза до $120^\circ$, то $\alpha$ станет $60^\circ$. Величина $\beta$ увеличилась в 2 раза, а величина $\alpha$ уменьшилась в 2 раза, но это частный случай. Возьмем $\beta = 30^\circ$, тогда $\alpha = 150^\circ$. Увеличим $\beta$ в 2 раза до $60^\circ$, тогда $\alpha = 120^\circ$. Величина $\alpha$ не уменьшилась в 2 раза ($150 / 2 = 75 \ne 120$).
Ответ: ни прямая, ни обратная пропорциональность.

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.
Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $S$ — его площадь. По условию, площадь $S$ является данной, то есть постоянной величиной ($S = \text{const}$).
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.
Выразим зависимость длины одной стороны, например $a$, от длины другой стороны $b$: $a = \frac{S}{b}$.
Эта зависимость имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $y = a$, $x = b$ и коэффициент $k = S$ является константой.
Если мы увеличим одну сторону, например, в 3 раза, то другая сторона должна уменьшиться в 3 раза, чтобы их произведение (площадь) осталось неизменным: $a' = \frac{S}{3b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{b} = \frac{1}{3}a$.
Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.