Номер 2.31, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 2.31, страница 44.

Условие.

2.31 а) На облицовку плиткой подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность труда на 20%?

б) Отчёт группы исследователей был распечатан на принтере за 30 мин. За какое время можно распечатать этот отчёт на принтере, производительность которого на 50% меньше?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Данная задача является задачей на обратную пропорциональность: чем выше производительность, тем меньше времени требуется для выполнения того же объема работы.

Пусть $P_1$ — первоначальная производительность труда, а $T_1 = 18$ дней — время выполнения работы. Объем работы $A$ можно выразить как $A = P_1 \cdot T_1$.

Новая производительность труда $P_2$ на 20% выше первоначальной. Выразим ее через $P_1$: $P_2 = P_1 + 0,2 \cdot P_1 = 1,2 \cdot P_1$.

Найдем новое время $T_2$, необходимое для выполнения того же объема работы $A$ с новой производительностью $P_2$. Так как объем работы не меняется, $P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2$.

Подставим известные значения в формулу: $P_1 \cdot 18 = (1,2 \cdot P_1) \cdot T_2$.

Мы можем сократить $P_1$ в обеих частях уравнения, так как производительность не равна нулю: $18 = 1,2 \cdot T_2$.

Отсюда находим $T_2$: $T_2 = \frac{18}{1,2} = \frac{180}{12} = 15$ (дней).

Ответ: 15 дней.

б)

Эта задача также описывает обратно пропорциональную зависимость между производительностью и временем.

Пусть $P_1$ — производительность первого принтера, а $T_1 = 30$ минут — время печати отчета. Объем работы (количество страниц в отчете) $A$ равен $A = P_1 \cdot T_1$.

Производительность второго принтера $P_2$ на 50% меньше, чем у первого. Это значит, что она составляет $100\% - 50\% = 50\%$ от производительности первого. $P_2 = P_1 - 0,5 \cdot P_1 = 0,5 \cdot P_1$.

Найдем время $T_2$, которое потребуется второму принтеру для печати того же отчета. Поскольку объем работы $A$ одинаков, верно равенство: $P_1 \cdot T_1 = P_2 \cdot T_2$.

Подставим известные значения: $P_1 \cdot 30 = (0,5 \cdot P_1) \cdot T_2$.

Сокращаем $P_1$: $30 = 0,5 \cdot T_2$.

Находим $T_2$: $T_2 = \frac{30}{0,5} = 60$ (минут).

Ответ: 60 минут.