Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.49 На рисунке 2.10 фигура $A_1B_1C_1D_1E_1$ является копией фигуры $ABCDE$, полученной с помощью копировальной машины, которая уменьшает все размеры в одно и то же число раз.

а) Найдите неизвестные длины сторон.

б) Дополните равенства так, чтобы получились пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...} , \frac{AB}{BC} = \frac{...}{B_1C_1} , \frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$

в) Найдите отношение периметров этих фигур.

Рис. 2.10

Поскольку фигура $A_1B_1C_1D_1E_1$ является уменьшенной копией фигуры $ABCDE$, эти две фигуры подобны. Это означает, что отношение длин соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия, который мы обозначим как $k$.

Найдем коэффициент подобия, используя известные длины соответствующих сторон $AE$ и $A_1E_1$. Коэффициент подобия — это отношение длины стороны большей фигуры к длине соответствующей стороны меньшей фигуры.

$k = \frac{AE}{A_1E_1} = \frac{2,5 \text{ см}}{1,5 \text{ см}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$.

Это означает, что каждая сторона фигуры $ABCDE$ в $\frac{5}{3}$ раза больше соответствующей стороны фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$. И наоборот, каждая сторона фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равна $\frac{3}{5}$ от длины соответствующей стороны фигуры $ABCDE$.

Используя коэффициент подобия $k = \frac{5}{3}$, мы можем найти неизвестные длины сторон.

• Длина стороны $BC$:

  $BC = B_1C_1 \cdot k = 1,8 \text{ см} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1,8 \cdot 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ см.

• Длина стороны $CD$:

  $CD = C_1D_1 \cdot k = 2,4 \text{ см} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2,4 \cdot 5}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.

• Длина стороны $A_1B_1$:

  $A_1B_1 = \frac{AB}{k} = AB \cdot \frac{3}{5} = 3 \text{ см} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ см.

• Длина стороны $E_1D_1$:

  $E_1D_1 = \frac{ED}{k} = ED \cdot \frac{3}{5} = 2 \text{ см} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$ см.

Ответ: $BC = 3$ см, $CD = 4$ см, $A_1B_1 = 1,8$ см, $E_1D_1 = 1,2$ см.

Для подобных фигур отношения соответствующих сторон равны. Также равны отношения между сторонами внутри каждой фигуры.

• $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{...}$

  В этой пропорции сравниваются отношения соответствующих сторон. Стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $AE$ соответствует сторона $A_1E_1$. Следовательно, недостающий элемент — $A_1E_1$.

  $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$

• $\frac{AB}{BC} = \frac{...}{B_1C_1}$

  Здесь сравнивается отношение двух сторон в одной фигуре с отношением соответствующих сторон в другой. Отношение $\frac{AB}{BC}$ в фигуре $ABCDE$ должно быть равно отношению $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ в фигуре $A_1B_1C_1D_1E_1$. Значит, недостающий элемент — $A_1B_1$.

  $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

• $\frac{...}{CD} = \frac{D_1E_1}{...}$

  Аналогично предыдущему пункту, это пропорция, сравнивающая отношения сторон внутри фигур. Отношение сторон $\frac{DE}{CD}$ в большой фигуре должно быть равно отношению соответствующих сторон $\frac{D_1E_1}{C_1D_1}$ в малой фигуре. Следовательно, недостающие элементы — $DE$ и $C_1D_1$.

  $\frac{DE}{CD} = \frac{D_1E_1}{C_1D_1}$

Ответ: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AE}{A_1E_1}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$, $\frac{DE}{CD} = \frac{D_1E_1}{C_1D_1}$.

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Мы можем найти это отношение, вычислив периметры обеих фигур.

Периметр фигуры $ABCDE$ (обозначим $P$):

$P = AB + BC + CD + DE + EA = 3 + 3 + 4 + 2 + 2,5 = 14,5$ см.

Периметр фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ (обозначим $P_1$):

$P_1 = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + D_1E_1 + E_1A_1 = 1,8 + 1,8 + 2,4 + 1,2 + 1,5 = 8,7$ см.

Найдем отношение периметра большей фигуры к периметру меньшей:

$\frac{P}{P_1} = \frac{14,5}{8,7} = \frac{145}{87} = \frac{5 \cdot 29}{3 \cdot 29} = \frac{5}{3}$.

Это отношение равно коэффициенту подобия $k$, как и ожидалось.

Ответ: Отношение периметра фигуры $ABCDE$ к периметру фигуры $A_1B_1C_1D_1E_1$ равно $\frac{5}{3}$.

2.50 a) На участке железнодорожного пути старые 8-метровые рельсы меняют на новые 12-метровые. Снято 180 старых рельсов. На сколько меньше потребуется новых рельсов, чтобы заменить старые?

б) Двигаясь со скоростью 50 км/ч, электропоезд прошёл перегон за 12 мин. На сколько надо увеличить скорость, чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин?

а)
Сначала найдем общую длину участка, на котором меняют рельсы. Для этого умножим количество старых 8-метровых рельсов на их длину:
$180 \cdot 8 = 1440$ метров.
Теперь, зная общую длину участка, найдем, сколько потребуется новых 12-метровых рельсов. Для этого разделим общую длину на длину одного нового рельса:
$N_{новые} = \frac{1440}{12} = 120$ рельсов.
Наконец, чтобы узнать, на сколько меньше потребуется новых рельсов по сравнению со старыми, вычтем количество новых рельсов из количества старых:
$180 - 120 = 60$ рельсов.
Ответ: потребуется на 60 новых рельсов меньше.

б)
Сначала найдем расстояние перегона. Для этого нужно перевести время из минут в часы и умножить его на скорость.
Время в пути: $t_1 = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = 0.2$ ч.
Расстояние перегона: $S = v_1 \cdot t_1 = 50 \text{ км/ч} \cdot 0.2 \text{ ч} = 10$ км.
Теперь определим новое время прохождения этого же перегона. По условию, его нужно сократить на 2 минуты:
$t_2 = 12 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 10$ мин.
Переведем новое время в часы:
$t_2 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ ч.
Найдем новую скорость, необходимую для прохождения того же расстояния за новое, сокращенное время:
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{10 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 10 \cdot 6 = 60$ км/ч.
Чтобы найти, на сколько нужно увеличить скорость, вычтем из новой скорости старую:
$\Delta v = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 10$ км/ч.
Ответ: скорость надо увеличить на 10 км/ч.