Номер 2.50, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.50 a) На участке железнодорожного пути старые 8-метровые рельсы меняют на новые 12-метровые. Снято 180 старых рельсов. На сколько меньше потребуется новых рельсов, чтобы заменить старые?

б) Двигаясь со скоростью 50 км/ч, электропоезд прошёл перегон за 12 мин. На сколько надо увеличить скорость, чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин?

а)
Сначала найдем общую длину участка, на котором меняют рельсы. Для этого умножим количество старых 8-метровых рельсов на их длину:
$180 \cdot 8 = 1440$ метров.
Теперь, зная общую длину участка, найдем, сколько потребуется новых 12-метровых рельсов. Для этого разделим общую длину на длину одного нового рельса:
$N_{новые} = \frac{1440}{12} = 120$ рельсов.
Наконец, чтобы узнать, на сколько меньше потребуется новых рельсов по сравнению со старыми, вычтем количество новых рельсов из количества старых:
$180 - 120 = 60$ рельсов.
Ответ: потребуется на 60 новых рельсов меньше.

б)
Сначала найдем расстояние перегона. Для этого нужно перевести время из минут в часы и умножить его на скорость.
Время в пути: $t_1 = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = 0.2$ ч.
Расстояние перегона: $S = v_1 \cdot t_1 = 50 \text{ км/ч} \cdot 0.2 \text{ ч} = 10$ км.
Теперь определим новое время прохождения этого же перегона. По условию, его нужно сократить на 2 минуты:
$t_2 = 12 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 10$ мин.
Переведем новое время в часы:
$t_2 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ ч.
Найдем новую скорость, необходимую для прохождения того же расстояния за новое, сокращенное время:
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{10 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 10 \cdot 6 = 60$ км/ч.
Чтобы найти, на сколько нужно увеличить скорость, вычтем из новой скорости старую:
$\Delta v = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 10$ км/ч.
Ответ: скорость надо увеличить на 10 км/ч.