Номер 2.46, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.46 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так, чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию:

a) 20, 5, 7;

б) 10, 16, 3.

Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае?

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $a : b = c : d$ или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Для заданной тройки чисел и неизвестного четвертого числа $x$, четыре числа $\{a, b, c, x\}$ могут образовать пропорцию. Это означает, что произведение двух из них будет равно произведению двух других. Рассмотрим все возможные группировки для каждого случая.

Пусть даны числа 20, 5, 7. Искомое четвертое число обозначим через $x$. Существует три возможных случая для составления пропорции:

1. Произведение чисел 20 и $x$ равно произведению 5 и 7. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $20:5=7:x$.
$20 \cdot x = 5 \cdot 7$
$20x = 35$
$x = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1,75$.

2. Произведение чисел 5 и $x$ равно произведению 20 и 7. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $5:7=20:x$.
$5 \cdot x = 20 \cdot 7$
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5} = 28$.

3. Произведение чисел 7 и $x$ равно произведению 20 и 5. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $7:5=20:x$.
$7 \cdot x = 20 \cdot 5$
$7x = 100$
$x = \frac{100}{7}$.

Ответ: В данном случае можно найти 3 таких числа: $1,75$; $28$; $\frac{100}{7}$.

Пусть даны числа 10, 16, 3. Искомое четвертое число обозначим через $x$. Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три возможных случая:

1. Произведение чисел 10 и $x$ равно произведению 16 и 3.
$10 \cdot x = 16 \cdot 3$
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10} = \frac{24}{5} = 4,8$.

2. Произведение чисел 16 и $x$ равно произведению 10 и 3.
$16 \cdot x = 10 \cdot 3$
$16x = 30$
$x = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.

3. Произведение чисел 3 и $x$ равно произведению 10 и 16.
$3 \cdot x = 10 \cdot 16$
$3x = 160$
$x = \frac{160}{3}$.

Ответ: В данном случае можно найти 3 таких числа: $4,8$; $1,875$; $\frac{160}{3}$.