Номер 2.54, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.3. Пропорции. Решение задач с помощью пропорций. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 2.54, страница 52.

Условие.

2.54 a) Одна сотрудница отдела может набрать на компьютере рукопись за $15$ ч, а другая — за $25$ ч. Они вместе набрали эту рукопись, одновременно начав и закончив работу одновременно. Первая набрала $150$ страниц. Сколько страниц набрала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи?

б) Одно и то же расстояние один пешеход проходит за $2$ ч, а другой — за $3$ ч. Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта $A$, второй из пункта $B$, и встретились в $3,6$ км от пункта $A$. Чему равно расстояние между пунктами?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Обозначим производительность (скорость набора) первой сотрудницы как $v_1$, а второй — как $v_2$. Пусть $V$ — это общее количество страниц в рукописи.

Тогда скорость первой сотрудницы: $v_1 = \frac{V}{15}$ страниц/час.

Скорость второй сотрудницы: $v_2 = \frac{V}{25}$ страниц/час.

Сотрудницы работали вместе одно и то же время, обозначим его $t$. Количество страниц, набранных первой сотрудницей, равно $W_1 = v_1 \cdot t$. Количество страниц, набранных второй, — $W_2 = v_2 \cdot t$.

Соотношение объемов выполненной ими работы равно соотношению их скоростей:

$\frac{W_1}{W_2} = \frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{V/15}{V/25} = \frac{V}{15} \cdot \frac{25}{V} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$

Из условия известно, что первая сотрудница набрала 150 страниц, то есть $W_1 = 150$. Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти, сколько страниц набрала вторая сотрудница ($W_2$):

$\frac{150}{W_2} = \frac{5}{3}$

Отсюда находим $W_2$:

$W_2 = \frac{150 \cdot 3}{5} = 30 \cdot 3 = 90$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи равно сумме страниц, набранных обеими сотрудницами:

$V = W_1 + W_2 = 150 + 90 = 240$ страниц.

Ответ: вторая машинистка набрала 90 страниц, а всего в рукописи 240 страниц.

б)

Обозначим искомое расстояние между пунктами A и B как $S$.

Скорость первого пешехода, который проходит расстояние $S$ за 2 часа, равна $v_1 = \frac{S}{2}$ км/ч.

Скорость второго пешехода, который проходит то же расстояние $S$ за 3 часа, равна $v_2 = \frac{S}{3}$ км/ч.

Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и до встречи шли одинаковое время $t$. За это время первый пешеход прошел расстояние $S_1$, а второй — $S_2$.

Поскольку время движения до встречи у них одинаковое, то пройденные ими расстояния относятся так же, как их скорости:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{S/2}{S/3} = \frac{S}{2} \cdot \frac{3}{S} = \frac{3}{2}$

По условию, они встретились в 3,6 км от пункта А. Это означает, что первый пешеход, вышедший из А, прошел расстояние $S_1 = 3.6$ км. Используя эту информацию, найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй пешеход:

$\frac{3.6}{S_2} = \frac{3}{2}$

Отсюда находим $S_2$:

$S_2 = \frac{3.6 \cdot 2}{3} = 1.2 \cdot 2 = 2.4$ км.

Общее расстояние $S$ между пунктами A и B равно сумме расстояний, пройденных обоими пешеходами до момента их встречи:

$S = S_1 + S_2 = 3.6 + 2.4 = 6$ км.

Ответ: расстояние между пунктами равно 6 км.