Страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.51 Чтобы связать шарф размером $20 \times 100$ см, потребуется $125$ г шерсти. Сколько такой же шерсти нужно, чтобы связать шарф размером $12 \times 80$ см; $24 \times 120$ см?

Для решения этой задачи мы исходим из того, что количество необходимой шерсти прямо пропорционально площади шарфа. Сначала найдем, сколько шерсти уходит на один квадратный сантиметр вязки, используя данные для первого шарфа.

1. Вычислим площадь первого шарфа:

$S_1 = 20 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}^2$

2. Теперь найдем расход шерсти на 1 см²:

$R = \frac{\text{масса шерсти}}{\text{площадь}} = \frac{125 \text{ г}}{2000 \text{ см}^2} = 0.0625 \text{ г/см}^2$

Теперь мы можем рассчитать, сколько шерсти потребуется для шарфов других размеров.

12×80 см

1. Найдем площадь шарфа размером 12×80 см:

$S_2 = 12 \text{ см} \times 80 \text{ см} = 960 \text{ см}^2$

2. Умножим полученную площадь на расход шерсти на 1 см²:

$M_2 = S_2 \times R = 960 \text{ см}^2 \times 0.0625 \text{ г/см}^2 = 60 \text{ г}$

Другой способ — составить пропорцию:

$\frac{125 \text{ г}}{2000 \text{ см}^2} = \frac{x \text{ г}}{960 \text{ см}^2}$

$x = \frac{125 \times 960}{2000} = 60 \text{ г}$

Ответ: 60 г.

24×120 см

1. Найдем площадь шарфа размером 24×120 см:

$S_3 = 24 \text{ см} \times 120 \text{ см} = 2880 \text{ см}^2$

2. Умножим полученную площадь на расход шерсти на 1 см²:

$M_3 = S_3 \times R = 2880 \text{ см}^2 \times 0.0625 \text{ г/см}^2 = 180 \text{ г}$

Решим через пропорцию для проверки:

$\frac{125 \text{ г}}{2000 \text{ см}^2} = \frac{y \text{ г}}{2880 \text{ см}^2}$

$y = \frac{125 \times 2880}{2000} = 180 \text{ г}$

Ответ: 180 г.

2.52 Проехав 40% всего пути за 2,4 ч, водитель автомобиля сделал остановку. Следующую остановку он планирует сделать в пункте, после которого ему останется проехать четверть всего пути. Через какое время он сделает вторую остановку, если будет ехать с той же скоростью?

Обозначим весь путь, который должен проехать автомобиль, как $S$.

Из условия задачи известно, что водитель проехал 40% всего пути, что составляет $0.4S$. На это у него ушло 2,4 часа.

Следующая остановка запланирована в точке, после которой останется проехать четверть ($1/4$) всего пути. Четверть пути — это 25%. Таким образом, к моменту второй остановки водитель проедет $100\% - 25\% = 75\%$ всего пути. В долях от общего пути это составляет $0.75S$.

Теперь вычислим, какую часть пути водителю необходимо проехать между первой и второй остановками. Для этого из общего расстояния, пройденного к моменту второй остановки, вычтем расстояние, пройденное до первой остановки:
$0.75S - 0.4S = 0.35S$.
Это означает, что между остановками нужно проехать 35% всего пути.

Поскольку автомобиль будет ехать с той же скоростью, время, затраченное на прохождение участка пути, прямо пропорционально длине этого участка. Мы можем составить пропорцию, чтобы найти время $t_2$, которое потребуется для проезда участка между остановками.

На проезд 40% пути ($0.4S$) было затрачено 2,4 часа.
На проезд 35% пути ($0.35S$) потребуется $t_2$ часов.

Составим пропорцию:
$\frac{2.4 \text{ часа}}{0.4S} = \frac{t_2}{0.35S}$

Выразим и вычислим $t_2$:
$t_2 = \frac{2.4 \cdot 0.35S}{0.4S} = \frac{2.4 \cdot 0.35}{0.4} = \frac{0.84}{0.4} = 2.1$ часа.

Это время можно также представить в часах и минутах: 2 часа и $0.1 \cdot 60 = 6$ минут.

Ответ: он сделает вторую остановку через 2,1 часа.

2.53 а) Девять рабочих, работая с одинаковой производительностью, могут выполнить работу за 10 ч. Сколько ещё нужно рабочих, чтобы эта работа была выполнена за 6 ч?

б) Через две трубы вода из бассейна выливается за 3 ч. Сколько ещё надо подключить труб, чтобы вода вылилась за 2 ч?

а)

Это задача на обратную пропорциональность. Количество рабочих и время, затраченное на выполнение работы, обратно пропорциональны: чем больше рабочих, тем меньше времени требуется.

1. Найдем общий объем работы в человеко-часах. Для этого умножим количество рабочих на время их работы:

$9 \text{ рабочих} \times 10 \text{ ч} = 90 \text{ человеко-часов}$

Это константа, так как объем работы не меняется.

2. Теперь найдем, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы за 6 часов. Обозначим искомое количество рабочих за $x$:

$x \text{ рабочих} \times 6 \text{ ч} = 90 \text{ человеко-часов}$

$x = \frac{90}{6} = 15 \text{ рабочих}$

Итак, чтобы выполнить работу за 6 часов, необходимо 15 рабочих.

3. Вопрос задачи — "Сколько ещё нужно рабочих?". Изначально было 9 рабочих, а требуется 15. Найдем разницу:

$15 - 9 = 6 \text{ рабочих}$

Ответ: нужно ещё 6 рабочих.

б)

Эта задача также на обратную пропорциональность. Количество труб и время слива воды из бассейна обратно пропорциональны: чем больше труб, тем меньше времени это займет.

1. Найдем "общий объем работы" для слива бассейна. Условно его можно измерить в "трубо-часах".

$2 \text{ трубы} \times 3 \text{ ч} = 6 \text{ трубо-часов}$

Этот "объем" постоянен, так как бассейн один и тот же.

2. Теперь найдем, сколько труб потребуется, чтобы слить воду за 2 часа. Обозначим искомое количество труб за $y$:

$y \text{ труб} \times 2 \text{ ч} = 6 \text{ трубо-часов}$

$y = \frac{6}{2} = 3 \text{ трубы}$

Следовательно, чтобы слить воду за 2 часа, необходимо 3 трубы.

3. Вопрос задачи — "Сколько ещё надо подключить труб?". Изначально было 2 трубы, а требуется 3. Найдем разницу:

$3 - 2 = 1 \text{ труба}$

Ответ: надо подключить ещё 1 трубу.

2.54 a) Одна сотрудница отдела может набрать на компьютере рукопись за $15$ ч, а другая — за $25$ ч. Они вместе набрали эту рукопись, одновременно начав и закончив работу одновременно. Первая набрала $150$ страниц. Сколько страниц набрала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи?

б) Одно и то же расстояние один пешеход проходит за $2$ ч, а другой — за $3$ ч. Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта $A$, второй из пункта $B$, и встретились в $3,6$ км от пункта $A$. Чему равно расстояние между пунктами?

а)

Обозначим производительность (скорость набора) первой сотрудницы как $v_1$, а второй — как $v_2$. Пусть $V$ — это общее количество страниц в рукописи.

Тогда скорость первой сотрудницы: $v_1 = \frac{V}{15}$ страниц/час.

Скорость второй сотрудницы: $v_2 = \frac{V}{25}$ страниц/час.

Сотрудницы работали вместе одно и то же время, обозначим его $t$. Количество страниц, набранных первой сотрудницей, равно $W_1 = v_1 \cdot t$. Количество страниц, набранных второй, — $W_2 = v_2 \cdot t$.

Соотношение объемов выполненной ими работы равно соотношению их скоростей:

$\frac{W_1}{W_2} = \frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{V/15}{V/25} = \frac{V}{15} \cdot \frac{25}{V} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$

Из условия известно, что первая сотрудница набрала 150 страниц, то есть $W_1 = 150$. Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти, сколько страниц набрала вторая сотрудница ($W_2$):

$\frac{150}{W_2} = \frac{5}{3}$

Отсюда находим $W_2$:

$W_2 = \frac{150 \cdot 3}{5} = 30 \cdot 3 = 90$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи равно сумме страниц, набранных обеими сотрудницами:

$V = W_1 + W_2 = 150 + 90 = 240$ страниц.

Ответ: вторая машинистка набрала 90 страниц, а всего в рукописи 240 страниц.

б)

Обозначим искомое расстояние между пунктами A и B как $S$.

Скорость первого пешехода, который проходит расстояние $S$ за 2 часа, равна $v_1 = \frac{S}{2}$ км/ч.

Скорость второго пешехода, который проходит то же расстояние $S$ за 3 часа, равна $v_2 = \frac{S}{3}$ км/ч.

Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и до встречи шли одинаковое время $t$. За это время первый пешеход прошел расстояние $S_1$, а второй — $S_2$.

Поскольку время движения до встречи у них одинаковое, то пройденные ими расстояния относятся так же, как их скорости:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{S/2}{S/3} = \frac{S}{2} \cdot \frac{3}{S} = \frac{3}{2}$

По условию, они встретились в 3,6 км от пункта А. Это означает, что первый пешеход, вышедший из А, прошел расстояние $S_1 = 3.6$ км. Используя эту информацию, найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй пешеход:

$\frac{3.6}{S_2} = \frac{3}{2}$

Отсюда находим $S_2$:

$S_2 = \frac{3.6 \cdot 2}{3} = 1.2 \cdot 2 = 2.4$ км.

Общее расстояние $S$ между пунктами A и B равно сумме расстояний, пройденных обоими пешеходами до момента их встречи:

$S = S_1 + S_2 = 3.6 + 2.4 = 6$ км.

Ответ: расстояние между пунктами равно 6 км.

2.55 Исследуем

а) Дана пропорция 16 : 10 = 24 : 15. Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если:
поменяете местами крайние члены;
поменяете местами средние члены;
замените каждое отношение обратным.

б) Используя пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, запишите три новые пропорции. (Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями.) Сформулируйте соответствующие свойства пропорции.

в) Чему равно отношение а к b, если известно, что
$a : 1,2 = b : 1,5$; $0,9 : b = 2,7 : a?$

а)

Дана пропорция $16 : 10 = 24 : 15$.

Сначала убедимся, что это верная пропорция. Для этого можно проверить равенство отношений или использовать основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних.

Проверка отношений: $16 \div 10 = 1,6$ и $24 \div 15 = 1,6$. Так как $1,6 = 1,6$, это верная пропорция.

Проверка по основному свойству: крайние члены — 16 и 15, средние члены — 10 и 24. $16 \cdot 15 = 240$. $10 \cdot 24 = 240$. Произведения равны, следовательно, пропорция верна.

Теперь выполним указанные преобразования и проверим результат:

• поменяете местами крайние члены;

  Исходные крайние члены — 16 и 15. Меняем их местами и получаем: $15 : 10 = 24 : 16$. Проверим новую пропорцию: $15 \div 10 = 1,5$ и $24 \div 16 = 1,5$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

• поменяете местами средние члены;

  Исходные средние члены — 10 и 24. Меняем их местами и получаем: $16 : 24 = 10 : 15$. Проверим новую пропорцию: $16 \div 24 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ и $10 \div 15 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

• замените каждое отношение обратным.

  Исходные отношения $16:10$ и $24:15$. Заменяем их на обратные: $10:16$ и $15:24$. Получаем пропорцию: $10 : 16 = 15 : 24$. Проверим новую пропорцию: $10 \div 16 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ и $15 \div 24 = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

Ответ: Во всех трех случаях в результате преобразований снова получается верная пропорция.

б)

Дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство этой пропорции заключается в том, что произведение ее крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$): $a \cdot d = b \cdot c$. Основываясь на этом, мы можем получить новые пропорции.

1. Новая пропорция, полученная перестановкой крайних членов:

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Проверка: произведение крайних членов $d \cdot a$ равно произведению средних $b \cdot c$. Равенство $d \cdot a = b \cdot c$ является верным, так как оно совпадает с основным свойством исходной пропорции. Свойство 1: Если в верной пропорции поменять местами крайние члены, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

2. Новая пропорция, полученная перестановкой средних членов:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Проверка: произведение крайних членов $a \cdot d$ равно произведению средних $c \cdot b$. Равенство $a \cdot d = c \cdot b$ является верным. Свойство 2: Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

3. Новая пропорция, полученная заменой каждого отношения обратным:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Проверка: произведение крайних членов $b \cdot c$ равно произведению средних $a \cdot d$. Равенство $b \cdot c = a \cdot d$ является верным. Свойство 3: Если в верной пропорции каждое отношение заменить обратным, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

Ответ: Три новые пропорции: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$, $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$. Соответствующие свойства: 1) В верной пропорции можно поменять местами крайние члены. 2) В верной пропорции можно поменять местами средние члены. 3) В верной пропорции можно каждое отношение заменить на обратное.

в)

Найдем отношение $a$ к $b$ для каждого случая.

1. Дана пропорция $a : 1,2 = b : 1,5$.

Запишем ее в виде равенства дробей:

$\frac{a}{1,2} = \frac{b}{1,5}$

Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, воспользуемся свойством перестановки средних членов (поменяем местами $b$ и $1,2$):

$\frac{a}{b} = \frac{1,2}{1,5}$

Теперь вычислим значение дроби:

$\frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$

Отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$ или $0,8$.

2. Дана пропорция $0,9 : b = 2,7 : a$.

Запишем ее в виде равенства дробей:

$\frac{0,9}{b} = \frac{2,7}{a}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$0,9 \cdot a = 2,7 \cdot b$

Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $b$ (при $b \ne 0$), а затем на $0,9$:

$\frac{a}{b} = \frac{2,7}{0,9}$

Вычислим значение:

$\frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$

Отношение $a$ к $b$ равно $3$.

Ответ: для пропорции $a : 1,2 = b : 1,5$ отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$; для пропорции $0,9 : b = 2,7 : a$ отношение $a$ к $b$ равно $3$.