Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Автомобиль проехал расстояние между двумя пунктами за 2 ч. За какое время это же расстояние проедет автобус, если его скорость в 1,5 раза меньше?

Данная задача решается на основе понятия обратной пропорциональности между скоростью и временем при движении на одинаковое расстояние. Чем меньше скорость, тем больше времени требуется для преодоления того же пути.

Решение:

Обозначим время движения автомобиля как $t_{авт}$ и его скорость как $v_{авт}$. По условию, $t_{авт} = 2$ часа.

Обозначим время движения автобуса как $t_{бус}$ и его скорость как $v_{бус}$.

Расстояние $S$, которое проехали автомобиль и автобус, одинаково. Оно вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Для автомобиля: $S = v_{авт} \cdot t_{авт}$.

Для автобуса: $S = v_{бус} \cdot t_{бус}$.

Так как расстояние одно и то же, мы можем приравнять эти два выражения:

$v_{авт} \cdot t_{авт} = v_{бус} \cdot t_{бус}$

Из условия задачи известно, что скорость автобуса в 1,5 раза меньше скорости автомобиля. Запишем это в виде формулы:

$v_{бус} = \frac{v_{авт}}{1.5}$

Теперь подставим это выражение для скорости автобуса в наше равенство:

$v_{авт} \cdot t_{авт} = \frac{v_{авт}}{1.5} \cdot t_{бус}$

Мы можем сократить $v_{авт}$ в обеих частях уравнения, так как скорость не равна нулю:

$t_{авт} = \frac{t_{бус}}{1.5}$

Отсюда выразим время движения автобуса $t_{бус}$:

$t_{бус} = t_{авт} \cdot 1.5$

Подставим известное время движения автомобиля ($t_{авт} = 2$ часа) и вычислим результат:

$t_{бус} = 2 \cdot 1.5 = 3$ часа.

Ответ: автобус проедет это же расстояние за 3 часа.

5 Найдите неизвестный член пропорции $\frac{3}{8} = \frac{a}{2,4}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции $\frac{3}{8} = \frac{a}{2,4}$, можно воспользоваться основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

В данной пропорции крайними членами являются числа 3 и 2,4, а средними членами — 8 и $a$.

Запишем равенство на основе этого свойства: $3 \cdot 2,4 = 8 \cdot a$

Вычислим произведение в левой части уравнения: $3 \cdot 2,4 = 7,2$

Теперь наше уравнение выглядит так: $7,2 = 8a$

Чтобы найти $a$, нужно разделить произведение (7,2) на известный множитель (8): $a = \frac{7,2}{8}$

Выполним деление: $a = 0,9$

Проверка:
Подставим найденное значение $a = 0,9$ в исходную пропорцию: $\frac{3}{8} = \frac{0,9}{2,4}$
Преобразуем правую часть, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $\frac{0,9 \cdot 10}{2,4 \cdot 10} = \frac{9}{24}$
Сократим полученную дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{24 \div 3} = \frac{3}{8}$
Так как $\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$, равенство верное.

Ответ: 0,9

6 Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

Задачу можно решить, определив, сколько меди содержится в одной тонне руды, или с помощью пропорции.

Решение методом приведения к единице:

1. Сначала найдем, сколько тонн меди получается из одной тонны руды. Для этого разделим массу полученной меди на массу руды:
$3 \text{ т} \div 15 \text{ т} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$ тонны меди.
Таким образом, в 1 тонне руды содержится 0,2 тонны меди.

2. Теперь вычислим, сколько меди получится из 20 тонн этой руды. Для этого умножим массу руды на количество меди, содержащееся в одной тонне:
$20 \text{ т} \times 0,2 = 4$ тонны меди.

Решение методом пропорции:

Пусть $x$ — это количество тонн меди, которое получится из 20 тонн руды. Составим пропорцию, так как количество получаемой меди прямо пропорционально количеству руды.

15 тонн руды — 3 тонны меди
20 тонн руды — $x$ тонн меди

Запишем соотношение:
$\frac{15}{3} = \frac{20}{x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$15 \cdot x = 20 \cdot 3$
$15x = 60$
$x = \frac{60}{15}$
$x = 4$

Ответ: из 20 тонн руды получится 4 тонны меди.

7 Распределите 3 тыс. рублей пропорционально числам 4, 3 и 8.

Чтобы распределить сумму в 3 тыс. рублей (то есть 3000 рублей) пропорционально числам 4, 3 и 8, нужно найти три числа, которые относятся друг к другу как 4:3:8 и в сумме дают 3000.

1. Найдем общее количество частей. Для этого сложим числа, указанные в пропорции:
$4 + 3 + 8 = 15$
Таким образом, вся сумма делится на 15 равных частей (долей).

2. Определим, сколько рублей приходится на одну часть. Разделим общую сумму на количество частей:
$3000 \div 15 = 200$ рублей.
Это значение является коэффициентом пропорциональности.

3. Рассчитаем каждую из искомых сумм. Умножим количество частей для каждого числа на стоимость одной части:
Первая сумма (пропорциональная 4): $4 \times 200 = 800$ рублей.
Вторая сумма (пропорциональная 3): $3 \times 200 = 600$ рублей.
Третья сумма (пропорциональная 8): $8 \times 200 = 1600$ рублей.

Проверим, что сумма полученных частей равна исходной сумме:
$800 + 600 + 1600 = 3000$ рублей.

Ответ: 800 рублей, 600 рублей и 1600 рублей.

1 Площадь кольца $S$ можно вычислить по формуле $S=\pi(R^2-r^2)$. Найдите площадь кольца, если $R=6$ см, $r=4$ см $(\pi \approx 3,14)$.

Для вычисления площади кольца $S$ используется формула $S = \pi(R^2 - r^2)$.
В условии даны следующие значения: внешний радиус $R = 6$ см, внутренний радиус $r = 4$ см и значение числа $\pi \approx 3,14$.
Подставим эти значения в формулу:
$S \approx 3,14 \cdot (6^2 - 4^2)$
Первым шагом вычислим выражение в скобках. Для этого сначала возведем радиусы в квадрат:
$R^2 = 6^2 = 36$
$r^2 = 4^2 = 16$
Теперь найдем их разность:
$R^2 - r^2 = 36 - 16 = 20$
Подставим полученный результат обратно в формулу для площади:
$S \approx 3,14 \cdot 20$
Выполним умножение:
$S = 62,8$
Таким образом, площадь кольца равна $62,8$ квадратных сантиметров.
Ответ: $S = 62,8 \text{ см}^2$.

2 Клиент банка внёс $x$ рублей на вклад, по которому вложенная сумма увеличивается на 5% за год, и $y$ рублей на вклад, по которому начисляется 8% годовых. Через год его доход по двум вкладам составил $C$ рублей. Какая формула выражает зависимость $C$ от $x$ и $y$?

1) $C = 0,13(x + y)$

2) $C = 0,05x + 0,08y$

3) $C = 0,5x + 0,8y$

4) $C = 5x + 8y$

Чтобы найти формулу, выражающую зависимость общего дохода C от сумм вкладов x и y, необходимо вычислить доход по каждому вкладу отдельно и затем сложить полученные значения.

1. Доход по первому вкладу.

Сумма вклада составляет x рублей, а процентная ставка — 5% годовых. Доход по этому вкладу — это 5% от суммы x. Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на это число.

Переведем 5% в десятичную дробь: $5\% = \frac{5}{100} = 0,05$.

Следовательно, доход по первому вкладу равен: $0,05 \cdot x = 0,05x$ рублей.

2. Доход по второму вкладу.

Сумма вклада составляет y рублей, а процентная ставка — 8% годовых. Доход по этому вкладу — это 8% от суммы y.

Переведем 8% в десятичную дробь: $8\% = \frac{8}{100} = 0,08$.

Следовательно, доход по второму вкладу равен: $0,08 \cdot y = 0,08y$ рублей.

3. Общий доход.

Общий доход C равен сумме доходов по двум вкладам:

$C = (\text{доход по первому вкладу}) + (\text{доход по второму вкладу})$

Подставляем полученные выражения:

$C = 0,05x + 0,08y$

Эта формула соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $C = 0,05x + 0,08y$

3 Из геометрической формулы $S = \frac{ah}{2}$ выразите переменную $h$.

Чтобы выразить переменную $h$ из геометрической формулы $S = \frac{ah}{2}$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований, чтобы изолировать $h$ в одной части равенства.

1. Исходная формула:

$S = \frac{ah}{2}$

2. Чтобы избавиться от знаменателя 2, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot S = \frac{ah}{2} \cdot 2$

В результате получаем:

$2S = ah$

3. Теперь, чтобы выразить $h$, разделим обе части уравнения на $a$. В контексте геометрии длина основания $a$ не может быть равна нулю, поэтому данное действие является корректным.

$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$

4. Сократив $a$ в правой части уравнения, получаем окончательное выражение для $h$:

$h = \frac{2S}{a}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$

4 Междугородний автобус проезжает 1 км по шоссе за 50 с. Найдите скорость автобуса в километрах в час.

Для того чтобы найти скорость автобуса в километрах в час, нам необходимо определить, какое расстояние он проедет за 1 час.
По условию задачи, автобус проезжает 1 километр за 50 секунд.
Сначала определим, сколько секунд в одном часе. В 1 часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд.
$1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд} = 3600 \text{ секунд}$.
Теперь узнаем, сколько 50-секундных интервалов содержится в одном часе (3600 секунд), чтобы понять, сколько раз автобус проедет по 1 км.
$3600 \text{ с} \div 50 \text{ с} = \frac{3600}{50} = \frac{360}{5} = 72$.
Таким образом, в одном часе содержится 72 интервала по 50 секунд. Поскольку за каждый такой интервал автобус проезжает 1 км, то за 1 час он проедет:
$72 \times 1 \text{ км} = 72 \text{ км}$.
Это означает, что скорость автобуса составляет 72 километра в час.

Ответ: 72 км/ч.

5 Формула $P = pt$ связывает три величины: объём выполненной работы $P$, производительность $p$ и время выполнения работы $t$. Какие из следующих утверждений являются верными?

А. Объём выполненной работы при постоянной производительности пропорционален времени работы.

Б. Время работы при постоянном её объёме пропорционально производительности.

В. Объём выполненной работы при постоянном времени работы пропорционален производительности.

А. Объём выполненной работы при постоянной производительности пропорционален времени работы.
Исходная формула: $P = pt$. Если производительность $p$ постоянна (является константой, $p = k$), то формула принимает вид $P = kt$. Это является классическим определением прямой пропорциональности, где $P$ прямо пропорционально $t$ с коэффициентом пропорциональности $k$. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: утверждение верное.

Б. Время работы при постоянном её объёме пропорционально производительности.
Из исходной формулы $P = pt$ выразим время $t$: $t = \frac{P}{p}$. Если объём работы $P$ постоянен (является константой, $P = C$), то формула принимает вид $t = \frac{C}{p}$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью: время $t$ обратно пропорционально производительности $p$. С увеличением производительности время, необходимое для выполнения фиксированного объёма работы, уменьшается. Следовательно, утверждение неверное.
Ответ: утверждение неверное.

В. Объём выполненной работы при постоянном времени работы пропорционален производительности.
Исходная формула: $P = pt$. Если время $t$ постоянно (является константой, $t = k$), то формула принимает вид $P = pk$ или $P = kp$. Это является определением прямой пропорциональности, где $P$ прямо пропорционально $p$ с коэффициентом пропорциональности $k$. С увеличением производительности объём работы, выполненный за фиксированное время, увеличивается. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: утверждение верное.

6 Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, за определённое время проехал $\frac{1}{3}$ всего расстояния до пункта назначения. Какую часть этого расстояния можно было бы проехать за это же время со скоростью, в 1,2 раза большей?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой для равномерного движения: расстояние равно произведению скорости на время ($s = v \cdot t$).

Введем обозначения:

• $S$ – всё расстояние до пункта назначения.
• $v_1$ – начальная постоянная скорость автомобиля.
• $t$ – определённое время, за которое автомобиль двигался.

По условию, за время $t$ автомобиль со скоростью $v_1$ проехал расстояние $s_1$, равное $\frac{1}{3}$ всего расстояния $S$. Математически это можно записать так:

$s_1 = v_1 \cdot t = \frac{1}{3}S$

Теперь рассмотрим гипотетическую ситуацию. Скорость автомобиля увеличилась в 1,2 раза. Обозначим новую скорость как $v_2$:

$v_2 = 1,2 \cdot v_1$

Время движения осталось прежним – $t$. Нам нужно найти, какое расстояние $s_2$ проедет автомобиль за это время с новой скоростью, и какую часть от всего расстояния $S$ оно составит.

Запишем формулу для нового расстояния $s_2$:

$s_2 = v_2 \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для $v_2$:

$s_2 = (1,2 \cdot v_1) \cdot t = 1,2 \cdot (v_1 \cdot t)$

Из первого условия мы знаем, что произведение $v_1 \cdot t$ равно $\frac{1}{3}S$. Подставим это значение в полученное выражение для $s_2$:

$s_2 = 1,2 \cdot \left(\frac{1}{3}S\right)$

Чтобы найти долю от $S$, нам нужно перемножить $1,2$ и $\frac{1}{3}$. Для удобства представим десятичную дробь 1,2 в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Теперь выполним умножение:

$s_2 = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot S = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 3} S = \frac{6}{15} S$

Сократим полученную дробь $\frac{6}{15}$ на 3:

$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Таким образом, за то же время со скоростью, в 1,2 раза большей, автомобиль проехал бы $\frac{2}{5}$ всего расстояния.

Ответ: $\frac{2}{5}$