Страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Назовите свойства сложения и умножения чисел и запишите соответствующие буквенные равенства.

Основные свойства сложения и умножения чисел для любых чисел a, b и c:

Переместительное свойство сложения (коммутативность): от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Ответ: $a + b = b + a$

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Свойство сложения с нулём: если к любому числу прибавить ноль, то получится само это число. Ноль является нейтральным элементом для сложения.
Ответ: $a + 0 = a$

Переместительное свойство умножения (коммутативность): от перестановки мест множителей произведение не меняется.
Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность): чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивность): чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Свойство умножения на единицу: если любое число умножить на единицу, то получится само это число. Единица является нейтральным элементом для умножения.
Ответ: $a \cdot 1 = a$

Свойство умножения на ноль: если любое число умножить на ноль, в произведении получится ноль.
Ответ: $a \cdot 0 = 0$

Какие вычислительные приёмы рассмотрены в примерах 1 и 2? Назовите их и запишите соответствующие равенства с помощью букв.

Поскольку сами примеры 1 и 2 не предоставлены, приведём два распространённых вычислительных приёма, которые часто изучаются в рамках школьной программы по математике и могли быть в этих примерах.

В примере 1

Вероятно, рассмотрен приём умножения суммы на число. Этот приём основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Он гласит: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Соответствующее равенство с помощью букв выглядит так:

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Этот приём удобен для устных вычислений. Например, $23 \cdot 4 = (20 + 3) \cdot 4 = 20 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 80 + 12 = 92$.

Ответ: Рассмотрен приём умножения суммы на число (распределительное свойство умножения). Соответствующее равенство: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

В примере 2

Возможно, был рассмотрен приём вычитания суммы из числа. Правило звучит так: чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа последовательно вычесть каждое слагаемое.

Соответствующее равенство с помощью букв:

$a - (b + c) = a - b - c$

Этот приём также помогает упростить вычисления. Например, $100 - (48 + 22) = 100 - 48 - 22 = 52 - 22 = 30$.

Ответ: Рассмотрен приём вычитания суммы из числа. Соответствующее равенство: $a - (b + c) = a - b - c$.

Два вычислительных приёма записаны в буквенном виде:

$a + (b - c) = a + b - c;$ $(a - b) \cdot c = ac - bc.$

Назовите и сформулируйте каждый из них; приведите иллюстрирующие их числовые примеры.

$a + (b - c) = a + b - c$

Это правило называется правилом прибавления разности к числу.

Формулировка: чтобы к числу прибавить разность двух чисел, можно к этому числу прибавить уменьшаемое и из полученного результата вычесть вычитаемое.

Иллюстрирующий числовой пример: Пусть $a = 15$, $b = 10$, $c = 4$.

Проверим равенство:

Левая часть: $15 + (10 - 4) = 15 + 6 = 21$.

Правая часть: $15 + 10 - 4 = 25 - 4 = 21$.

Так как $21 = 21$, равенство верно.

Ответ: Это правило прибавления разности к числу. Чтобы прибавить разность к числу, можно к нему прибавить уменьшаемое и из результата вычесть вычитаемое. Пример: $15 + (10 - 4) = 15 + 10 - 4 = 21$.

$(a - b) \cdot c = ac - bc$

Это правило называется распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Формулировка: чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Иллюстрирующий числовой пример: Пусть $a = 20$, $b = 8$, $c = 5$.

Проверим равенство:

Левая часть: $(20 - 8) \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$.

Правая часть: $20 \cdot 5 - 8 \cdot 5 = 100 - 40 = 60$.

Так как $60 = 60$, равенство верно.

Ответ: Это распределительное свойство умножения относительно вычитания. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого результата вычесть второй. Пример: $(20 - 8) \cdot 5 = 20 \cdot 5 - 8 \cdot 5 = 60$.