Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.11 Смешанная дробь записана в виде суммы $a + \frac{b}{c}$, где буквами $a$, $b$ и $c$ обозначены некоторые натуральные числа. Запишите с помощью букв правило обращения смешанной дроби в неправильную дробь.

Смешанная дробь представляет собой сумму целой части и правильной дроби. В данном случае целая часть — это $a$, а дробная часть — это $\frac{b}{c}$. Чтобы записать эту сумму в виде одной, неправильной, дроби, необходимо привести целую часть к общему знаменателю с дробной частью.

1. Общий знаменатель для $a$ и $\frac{b}{c}$ равен $c$.

2. Представим целую часть $a$ в виде дроби со знаменателем $c$. Для этого умножим $a$ на $c$ и запишем результат в числитель, а знаменатель оставим равным $c$:
$a = \frac{a \cdot c}{c}$

3. Теперь сложим полученную дробь с дробной частью:
$a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c}{c} + \frac{b}{c}$

4. Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:
$\frac{a \cdot c + b}{c}$

Таким образом, правило обращения смешанной дроби в неправильную можно сформулировать так: чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, нужно умножить ее целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части, а результат записать в числитель новой дроби. Знаменатель при этом остается прежним.

Ответ: $a + \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

3.12 Найдите площадь фигуры (рис. 3.3) сначала вычитанием площадей, а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство.

$a$

$b$

$c$

$d$

Рис. 3.3

Сначала вычитанием площадей

Чтобы найти площадь фигуры методом вычитания, мысленно достроим её до большого прямоугольника. Высота этого прямоугольника равна b, а его ширина равна сумме длин a и c, то есть a + c. Площадь большого прямоугольника $S_{большого}$ составляет:
$S_{большого} = b(a+c)$.

Из этого большого прямоугольника «вырезан» маленький прямоугольник в правом верхнем углу. Ширина этого вырезанного прямоугольника равна c, а его высота равна разности полной высоты b и высоты правой части фигуры d, то есть b - d. Площадь вырезанного прямоугольника $S_{вырезанного}$ равна:
$S_{вырезанного} = c(b-d)$.

Площадь исходной фигуры S равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников:
$S = S_{большого} - S_{вырезанного} = b(a+c) - c(b-d)$.

Ответ: $S = b(a+c) - c(b-d)$.

А потом сложением площадей

Чтобы найти площадь фигуры методом сложения, разделим её на два меньших прямоугольника. Это можно сделать, проведя воображаемую вертикальную линию от внутреннего угла фигуры вниз. В результате фигура разобьется на два прямоугольника:
1. Левый прямоугольник со сторонами a и b.
2. Правый прямоугольник со сторонами c и d.

Площадь левого прямоугольника, $S_1$, равна $a \cdot b$.
Площадь правого прямоугольника, $S_2$, равна $c \cdot d$.

Общая площадь фигуры S равна сумме площадей этих двух прямоугольников:
$S = S_1 + S_2 = ab + cd$.

Ответ: $S = ab + cd$.

Соответствующее равенство

Поскольку оба метода дают площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравнивая выражения для площади, полученные каждым из методов, получаем искомое равенство. Можно также проверить это равенство, раскрыв скобки в левой части:
$b(a+c) - c(b-d) = ab + bc - (cb - cd) = ab + bc - cb + cd = ab + cd$.
Мы видим, что левая часть тождественно равна правой.

Ответ: $b(a+c) - c(b-d) = ab + cd$.

3.13 Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника (рис. 3.4) и запишите цепочку равенств.

Цепочка равенств:

$(x+y)(c+d) = x(c+d) + y(c+d) = xc + xd + yc + yd$

Рис. 3.4

Площадь большого прямоугольника, изображенного на рисунке, можно вычислить несколькими способами.

Способ 1: Вычисление площади всего прямоугольника.

Найдем общую длину и ширину большого прямоугольника. Его стороны равны суммам длин соответствующих отрезков:

• Длина одной стороны: $c + d$
• Длина другой стороны: $x + y$

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, первое выражение для площади $S$ будет:

$S = (c + d)(x + y)$

Способ 2: Сложение площадей четырех малых прямоугольников.

Большой прямоугольник состоит из четырех меньших. Найдем площадь каждого из них и сложим их:

• Площадь верхнего левого прямоугольника: $c \cdot x$
• Площадь верхнего правого прямоугольника: $d \cdot x$
• Площадь нижнего левого прямоугольника: $c \cdot y$
• Площадь нижнего правого прямоугольника: $d \cdot y$

Общая площадь $S$ равна сумме этих площадей:

$S = cx + dx + cy + dy$

Способ 3: Сложение площадей двух горизонтальных прямоугольников.

Можно представить большой прямоугольник как два прямоугольника, расположенных один над другим.

• Площадь верхнего прямоугольника со сторонами $(c + d)$ и $x$ равна: $x(c + d)$
• Площадь нижнего прямоугольника со сторонами $(c + d)$ и $y$ равна: $y(c + d)$

Общая площадь $S$ равна их сумме:

$S = x(c + d) + y(c + d)$

Способ 4: Сложение площадей двух вертикальных прямоугольников.

Также можно представить большой прямоугольник как два прямоугольника, расположенных рядом.

• Площадь левого прямоугольника со сторонами $c$ и $(x + y)$ равна: $c(x + y)$
• Площадь правого прямоугольника со сторонами $d$ и $(x + y)$ равна: $d(x + y)$

Общая площадь $S$ равна их сумме:

$S = c(x + y) + d(x + y)$

Поскольку все полученные выражения описывают площадь одной и той же фигуры, они равны между собой. Мы можем записать это в виде цепочки равенств.

Ответ: $(c + d)(x + y) = cx + dx + cy + dy = x(c + d) + y(c + d) = c(x + y) + d(x + y)$.

3.14 Запишите без скобок выражение

$a - (b + c + d)$.

Если вам трудно сделать это сразу, то обратитесь к числовому примеру:

$543 - 126 = 543 - (100 + 20 + 6) = ...$

Какое число в этом примере записано вместо буквы $a$; вместо буквы $b$; вместо буквы $c$; вместо буквы $d$?

Запишите без скобок выражение $a - (b + c + d)$.

Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», необходимо этот знак «минус» и сами скобки убрать, а знаки всех слагаемых, которые находились внутри скобок, изменить на противоположные. В выражении $a - (b + c + d)$ внутри скобок находятся слагаемые $b$, $c$ и $d$. Все они имеют знак «плюс» (знак перед $b$ не пишется, но подразумевается). При раскрытии скобок их знаки меняются на «минус».

Таким образом, мы получаем:

$a - (b + c + d) = a - b - c - d$

Это правило также известно как правило вычитания суммы из числа: чтобы из числа вычесть сумму нескольких чисел, можно последовательно вычесть из этого числа каждое слагаемое.

Ответ: $a - b - c - d$

Какое число в этом примере записано вместо буквы $a$; вместо буквы $b$; вместо буквы $c$; вместо буквы $d$?

В задаче приводится числовой пример, иллюстрирующий это правило: $543 - 126 = 543 - (100 + 20 + 6) = ...$ .

Сначала завершим вычисление, чтобы заполнить пропуск. Результат можно найти двумя способами:

1. Сначала вычислить сумму в скобках: $100 + 20 + 6 = 126$. Затем выполнить вычитание: $543 - 126 = 417$.

2. Раскрыть скобки по правилу, описанному выше: $543 - (100 + 20 + 6) = 543 - 100 - 20 - 6$. Выполняем вычитание последовательно: $543 - 100 = 443$; $443 - 20 = 423$; $423 - 6 = 417$.

Итак, $543 - (100 + 20 + 6) = 417$.

Теперь сопоставим общее буквенное выражение $a - (b + c + d)$ с его числовым аналогом из примера $543 - (100 + 20 + 6)$. Сравнивая их, мы можем определить, какому числу соответствует каждая буква:

- Букве $a$ (уменьшаемое) соответствует число 543.
- Букве $b$ (первое слагаемое в вычитаемой сумме) соответствует число 100.
- Букве $c$ (второе слагаемое) соответствует число 20.
- Букве $d$ (третье слагаемое) соответствует число 6.

Ответ: Вместо буквы $a$ записано число 543; вместо буквы $b$ — 100; вместо буквы $c$ — 20; вместо буквы $d$ — 6.

3.15 Запишите с помощью букв приём, используя который можно разделить:

а) сумму трёх чисел на некоторое число;

б) сумму четырёх чисел на некоторое число.

а) Чтобы записать с помощью букв приём для деления суммы трёх чисел на некоторое число, введём переменные. Пусть даны три числа: $a$, $b$ и $c$. Пусть число, на которое необходимо разделить их сумму, будет $d$ (при этом $d$ не должно быть равно нулю, так как на ноль делить нельзя, то есть $d \neq 0$).

Сумма трёх чисел записывается как $a + b + c$.

Деление суммы на число $d$ можно записать как $(a + b + c) : d$.

Приём (правило), который используется для этого, называется распределительным свойством деления относительно сложения. Оно гласит: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты (частные).

В виде формулы это записывается так:
$(a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d$
или, что то же самое, в виде дробей:
$\frac{a + b + c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}$

б) Аналогично предыдущему пункту, запишем приём для деления суммы четырёх чисел на некоторое число. Пусть даны четыре числа: $a$, $b$, $c$ и $d$. Пусть число, на которое мы делим, будет $k$ (используем другую букву, чтобы не было путаницы), при этом $k \neq 0$.

Сумма четырёх чисел записывается как $a + b + c + d$.

Используя тот же приём (распределительное свойство деления), мы должны разделить каждое слагаемое на число $k$ и сложить результаты.

Формула для этого случая выглядит следующим образом:
$(a + b + c + d) : k = a : k + b : k + c : k + d : k$
или в виде дробей:
$\frac{a+b+c+d}{k} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k} + \frac{c}{k} + \frac{d}{k}$

Ответ: $\frac{a+b+c+d}{k} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k} + \frac{c}{k} + \frac{d}{k}$

3.16 Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел. Ответ запишите в виде цепочки равенств.

Для вычисления произведения четырёх чисел, которые мы обозначим буквами $a, b, c$ и $d$, можно использовать сочетательное и переместительное свойства умножения. Эти свойства позволяют менять порядок множителей и по-разному их группировать с помощью скобок, не изменяя конечный результат.

Сочетательное свойство (ассоциативность) позволяет нам определять порядок вычислений. Например, произведение $a \cdot b \cdot c \cdot d$ можно вычислить несколькими способами:

• Последовательно, слева направо: $((a \cdot b) \cdot c) \cdot d$.
• Разбив на пары: $(a \cdot b) \cdot (c \cdot d)$.
• Начав с группировки центральных чисел: $a \cdot ((b \cdot c) \cdot d)$.
• Последовательно, справа налево: $a \cdot (b \cdot (c \cdot d))$.

Переместительное свойство (коммутативность) позволяет менять множители местами, что создает еще больше комбинаций. Например, можно поменять местами $b$ и $c$ и сгруппировать по-новому: $(a \cdot c) \cdot (b \cdot d)$.

Поскольку все эти выражения приводят к одному и тому же результату, их можно записать в виде цепочки равенств.

Ответ: $((a \cdot b) \cdot c) \cdot d = (a \cdot b) \cdot (c \cdot d) = a \cdot (b \cdot (c \cdot d)) = (a \cdot c) \cdot (b \cdot d)$.