Номер 3.12, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.1. Буквенная запись свойств действий над числами. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.12, страница 65.

Условие.

3.12 Найдите площадь фигуры (рис. 3.3) сначала вычитанием площадей, а потом сложением площадей и запишите соответствующее равенство.

$a$

$b$

$c$

$d$

Рис. 3.3

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Сначала вычитанием площадей

Чтобы найти площадь фигуры методом вычитания, мысленно достроим её до большого прямоугольника. Высота этого прямоугольника равна b, а его ширина равна сумме длин a и c, то есть a + c. Площадь большого прямоугольника $S_{большого}$ составляет:
$S_{большого} = b(a+c)$.

Из этого большого прямоугольника «вырезан» маленький прямоугольник в правом верхнем углу. Ширина этого вырезанного прямоугольника равна c, а его высота равна разности полной высоты b и высоты правой части фигуры d, то есть b - d. Площадь вырезанного прямоугольника $S_{вырезанного}$ равна:
$S_{вырезанного} = c(b-d)$.

Площадь исходной фигуры S равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников:
$S = S_{большого} - S_{вырезанного} = b(a+c) - c(b-d)$.

Ответ: $S = b(a+c) - c(b-d)$.

А потом сложением площадей

Чтобы найти площадь фигуры методом сложения, разделим её на два меньших прямоугольника. Это можно сделать, проведя воображаемую вертикальную линию от внутреннего угла фигуры вниз. В результате фигура разобьется на два прямоугольника:
1. Левый прямоугольник со сторонами a и b.
2. Правый прямоугольник со сторонами c и d.

Площадь левого прямоугольника, $S_1$, равна $a \cdot b$.
Площадь правого прямоугольника, $S_2$, равна $c \cdot d$.

Общая площадь фигуры S равна сумме площадей этих двух прямоугольников:
$S = S_1 + S_2 = ab + cd$.

Ответ: $S = ab + cd$.

Соответствующее равенство

Поскольку оба метода дают площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравнивая выражения для площади, полученные каждым из методов, получаем искомое равенство. Можно также проверить это равенство, раскрыв скобки в левой части:
$b(a+c) - c(b-d) = ab + bc - (cb - cd) = ab + bc - cb + cd = ab + cd$.
Мы видим, что левая часть тождественно равна правой.

Ответ: $b(a+c) - c(b-d) = ab + cd$.