Номер 3.5, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 3. Введение в алгебру. 3.1. Буквенная запись свойств действий над числами. Упражнения - номер 3.5, страница 63.

Условие.

3.5 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника (рис. 3.2). Определите, какое из приведённых ниже равенств неверно.

1) $a(b + c + d) = ab + ac + ad$

2) $a(b + c + d) = a(b + c) + ad$

3) $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d) - ac$

4) $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d)$

Рис. 3.2

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Проанализируем равенство $a(b + c + d) = ab + ac + ad$. Это равенство выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Левая часть представляет площадь всего прямоугольника (высота $a$ умноженная на общую ширину $b+c+d$). Правая часть представляет сумму площадей трех меньших прямоугольников, из которых состоит большой ($ab + ac + ad$). Эти выражения тождественно равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

2) Проанализируем равенство $a(b + c + d) = a(b + c) + ad$. Это равенство также верно. Геометрически, оно представляет площадь большого прямоугольника как сумму площадей двух частей: прямоугольника со сторонами $a$ и $(b+c)$ и прямоугольника со сторонами $a$ и $d$. Алгебраически, раскрыв скобки в правой части, получаем $a(b+c) + ad = ab + ac + ad$, что равно левой части.

Ответ: Верно.

3) Проанализируем равенство $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d) - ac$. Это равенство верно. Преобразуем правую часть. Выражение $a(b+c)$ равно сумме площадей первого и второго прямоугольников ($ab+ac$). Выражение $a(c+d)$ равно сумме площадей второго и третьего прямоугольников ($ac+ad$). Их сумма равна $(ab+ac) + (ac+ad) = ab + 2ac + ad$. Так как площадь среднего прямоугольника ($ac$) была учтена дважды, ее вычитают один раз: $ab + 2ac + ad - ac = ab + ac + ad$. Правая часть тождественно равна левой.

Ответ: Верно.

4) Проанализируем равенство $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d)$. Это равенство неверно. Как было показано в предыдущем пункте, правая часть этого равенства после преобразования равна $ab + 2ac + ad$. Сравним это с левой частью, $ab + ac + ad$. Равенство $ab + ac + ad = ab + 2ac + ad$ справедливо, только если $ac = 2ac$, что выполняется лишь при $a=0$ или $c=0$. Поскольку $a$ и $c$ являются длинами сторон прямоугольников, они не могут быть равны нулю. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Неверно.