Страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1 РАССУЖДАЕМ С помощью какого приёма удобно найти значение данного выражения? Запишите соответствующую цепочку числовых равенств, а потом опишите используемый приём с помощью букв:

а) $256 + 98$;

б) $138 + 106$;

в) $87 - 49$;

г) $94 - 61$.

Для решения данных выражений удобно использовать приём округления одного из компонентов (слагаемого или вычитаемого) до ближайшего "круглого" числа (например, 100, 50, 60) и последующей компенсации.

а) 256 + 98

Для упрощения сложения удобно использовать приём округления. Число 98 близко к 100, поэтому можно представить его как разность $100 - 2$.

Соответствующая цепочка числовых равенств:

$256 + 98 = 256 + (100 - 2) = (256 + 100) - 2 = 356 - 2 = 354$

Используемый приём описывается свойством прибавления разности к числу. С помощью букв это можно записать так: $a + (b - c) = (a + b) - c$.

Ответ: 354.

б) 138 + 106

Здесь удобно использовать приём сложения по частям. Представим слагаемое 106 в виде суммы "круглого" числа и остатка: $100 + 6$.

Соответствующая цепочка числовых равенств:

$138 + 106 = 138 + (100 + 6) = (138 + 100) + 6 = 238 + 6 = 244$

Используемый приём основан на сочетательном свойстве сложения. С помощью букв это можно записать так: $a + (b + c) = (a + b) + c$.

Ответ: 244.

в) 87 - 49

В этом случае удобно использовать приём округления вычитаемого. Число 49 близко к 50. Представим его как разность $50 - 1$.

Соответствующая цепочка числовых равенств:

$87 - 49 = 87 - (50 - 1) = (87 - 50) + 1 = 37 + 1 = 38$

Используемый приём описывается свойством вычитания разности из числа. С помощью букв это можно записать так: $a - (b - c) = a - b + c$.

Ответ: 38.

г) 94 - 61

Здесь удобно использовать приём вычитания по частям. Представим вычитаемое 61 в виде суммы "круглого" числа и остатка: $60 + 1$.

Соответствующая цепочка числовых равенств:

$94 - 61 = 94 - (60 + 1) = (94 - 60) - 1 = 34 - 1 = 33$

Используемый приём описывается свойством вычитания суммы из числа. С помощью букв это можно записать так: $a - (b + c) = a - b - c$.

Ответ: 33.

3.2 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ

Подберите соответствующее буквенное равенство из предыдущего упражнения и, используя его, запишите без скобок следующее выражение:

а) $x - (y - z)$;

б) $y + (a - c)$;

в) $m + (p + n)$;

г) $r - (s + t)$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся правилами раскрытия скобок. Правило зависит от знака, стоящего непосредственно перед скобкой.

• Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки можно просто опустить, сохранив знаки всех слагаемых внутри скобок.
• Если перед скобкой стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри скобок нужно изменить на противоположные.

а) В выражении $x - (y - z)$ перед скобкой стоит знак «-». Это означает, что для раскрытия скобок мы должны поменять знаки у каждого члена внутри них.

Член $y$ внутри скобок имеет знак «+» (который не пишется), он изменится на «-».

Член $-z$ имеет знак «-», он изменится на «+».

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$x - (y - z) = x - y + z$

Этому действию соответствует буквенное равенство для вычитания разности из числа: $a - (b - c) = a - b + c$.

Ответ: $x - y + z$

б) В выражении $y + (a - c)$ перед скобкой стоит знак «+». Это означает, что мы можем просто убрать скобки, не меняя знаки членов внутри них.

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$y + (a - c) = y + a - c$

Этому действию соответствует буквенное равенство для прибавления разности к числу: $k + (b - c) = k + b - c$.

Ответ: $y + a - c$

в) В выражении $m + (p + n)$ перед скобкой стоит знак «+». Как и в предыдущем пункте, мы можем просто убрать скобки, сохранив знаки всех членов.

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$m + (p + n) = m + p + n$

Этому действию соответствует буквенное равенство для прибавления суммы к числу (сочетательный закон сложения): $a + (b + c) = a + b + c$.

Ответ: $m + p + n$

г) В выражении $r - (s + t)$ перед скобкой стоит знак «-». Мы должны поменять знаки у каждого члена внутри скобок на противоположные.

Член $s$ имеет знак «+», он изменится на «-».

Член $t$ имеет знак «+», он также изменится на «-».

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$r - (s + t) = r - s - t$

Этому действию соответствует буквенное равенство для вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$.

Ответ: $r - s - t$

3.3 Рассмотрите рисунок 3.1, а. Для вычисления площади прямоугольника, изображённого на этом рисунке, можно составить выражение $a(b + c)$ или выражение $ab + ac$. Числовое значение будет одно и то же: $a(b + c) = ab + ac$.

a) $a$ $b$ $c$ $ab$ $ac$

б) $d$ $c$ $b$ ?

Рис. 3.1

Составьте два разных выражения для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника на рисунке 3.1, б и запишите соответствующее равенство.

Для того чтобы найти площадь заштрихованной части прямоугольника на рисунке 3.1, б, можно использовать два разных подхода, которые приведут к двум разным, но равным по значению выражениям.

Первый способ
Можно найти площадь заштрихованной части как разность площади всего большого прямоугольника и площади его незаштрихованной части. Весь большой прямоугольник имеет стороны длиной $b$ и $d$, следовательно, его общая площадь равна произведению этих сторон: $bd$. Незаштрихованная (правая) часть представляет собой прямоугольник со сторонами $c$ и $d$, и её площадь равна $cd$. Вычитая из площади всего прямоугольника площадь незаштрихованной части, получаем первое выражение для площади заштрихованной части: $bd - cd$.

Второй способ
Можно вычислить площадь заштрихованного прямоугольника напрямую, найдя его собственные стороны. Высота заштрихованного прямоугольника совпадает с высотой всего большого прямоугольника и равна $d$. Ширина заштрихованного прямоугольника равна разности общей ширины $b$ и ширины незаштрихованной части $c$, то есть $b - c$. Перемножив стороны заштрихованного прямоугольника, получаем второе выражение для его площади: $d(b - c)$.

Поскольку оба выражения описывают площадь одной и той же фигуры, их можно приравнять, чтобы составить искомое равенство.

Ответ: $d(b - c) = bd - cd$

3.4 В магазине продаются орехи, расфасованные в пакеты по $x$ граммов. Продали $a$ пакетов с грецкими орехами, $b$ пакетов с арахисом и $c$ пакетов с фундуком. Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства.

Для решения задачи введем переменные согласно условию:

• $x$ — масса одного пакета орехов в граммах.
• $a$ — количество проданных пакетов с грецкими орехами.
• $b$ — количество проданных пакетов с арахисом.
• $c$ — количество проданных пакетов с фундуком.

Задача просит составить различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов. Это можно сделать двумя основными способами.

Первое выражение (через сумму масс каждого вида орехов)

Мы можем найти массу каждого вида проданных орехов по отдельности, а затем сложить полученные значения.

• Масса всех проданных грецких орехов: $a \cdot x$ граммов.
• Масса всего проданного арахиса: $b \cdot x$ граммов.
• Масса всего проданного фундука: $c \cdot x$ граммов.

Чтобы найти общую массу, нужно сложить массы орехов каждого вида. Таким образом, первое выражение для общей массы:

$$ax + bx + cx$$

Ответ: $ax + bx + cx$.

Второе выражение (через общее количество пакетов)

Мы можем сначала найти общее количество всех проданных пакетов, а затем умножить это количество на массу одного пакета.

• Общее количество проданных пакетов: $a + b + c$.

Так как масса каждого пакета равна $x$ граммов, общая масса всех проданных орехов равна произведению общего количества пакетов на массу одного пакета. Таким образом, второе выражение для общей массы:

$$(a + b + c)x$$

Ответ: $(a + b + c)x$.

Соответствующие равенства

Поскольку оба выражения, которые мы составили, предназначены для вычисления одной и той же величины (общей массы всех проданных орехов), они равны между собой. Записав это равенство, мы получим математическую иллюстрацию распределительного свойства умножения относительно сложения.

$$ax + bx + cx = (a + b + c)x$$

Ответ: $ax + bx + cx = (a + b + c)x$.

3.5 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Ученик записал различные способы вычисления площади прямоугольника (рис. 3.2). Определите, какое из приведённых ниже равенств неверно.

1) $a(b + c + d) = ab + ac + ad$

2) $a(b + c + d) = a(b + c) + ad$

3) $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d) - ac$

4) $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d)$

Рис. 3.2

1) Проанализируем равенство $a(b + c + d) = ab + ac + ad$. Это равенство выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Левая часть представляет площадь всего прямоугольника (высота $a$ умноженная на общую ширину $b+c+d$). Правая часть представляет сумму площадей трех меньших прямоугольников, из которых состоит большой ($ab + ac + ad$). Эти выражения тождественно равны, следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

2) Проанализируем равенство $a(b + c + d) = a(b + c) + ad$. Это равенство также верно. Геометрически, оно представляет площадь большого прямоугольника как сумму площадей двух частей: прямоугольника со сторонами $a$ и $(b+c)$ и прямоугольника со сторонами $a$ и $d$. Алгебраически, раскрыв скобки в правой части, получаем $a(b+c) + ad = ab + ac + ad$, что равно левой части.

Ответ: Верно.

3) Проанализируем равенство $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d) - ac$. Это равенство верно. Преобразуем правую часть. Выражение $a(b+c)$ равно сумме площадей первого и второго прямоугольников ($ab+ac$). Выражение $a(c+d)$ равно сумме площадей второго и третьего прямоугольников ($ac+ad$). Их сумма равна $(ab+ac) + (ac+ad) = ab + 2ac + ad$. Так как площадь среднего прямоугольника ($ac$) была учтена дважды, ее вычитают один раз: $ab + 2ac + ad - ac = ab + ac + ad$. Правая часть тождественно равна левой.

Ответ: Верно.

4) Проанализируем равенство $ab + ac + ad = a(b + c) + a(c + d)$. Это равенство неверно. Как было показано в предыдущем пункте, правая часть этого равенства после преобразования равна $ab + 2ac + ad$. Сравним это с левой частью, $ab + ac + ad$. Равенство $ab + ac + ad = ab + 2ac + ad$ справедливо, только если $ac = 2ac$, что выполняется лишь при $a=0$ или $c=0$. Поскольку $a$ и $c$ являются длинами сторон прямоугольников, они не могут быть равны нулю. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Неверно.