Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте правило преобразования суммы (фрагмент 2). Из каких законов оно следует?

Правило преобразования суммы заключается в том, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым удобным способом. Значение суммы от этого не изменится.

Это правило используется для упрощения устных и письменных вычислений. Например, в сумме $139 + 54 + 61$ удобнее сначала сложить крайние числа, так как они дают "круглое" число:

$139 + 54 + 61 = (139 + 61) + 54 = 200 + 54 = 254$

Данное правило следует из двух основных законов сложения:

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения. Он гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В буквенном виде это записывается так:
$a + b = b + a$

2. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Он позволяет группировать слагаемые произвольным образом. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. В буквенном виде это записывается так:
$(a + b) + c = a + (b + c)$

Именно совместное действие этих двух законов позволяет нам преобразовывать сумму, произвольно меняя порядок слагаемых и заключая их в скобки для определения порядка действий.

Ответ: Правило преобразования суммы гласит, что её слагаемые можно произвольно переставлять и группировать, при этом результат не изменится. Это правило является следствием переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного) законов сложения.

Пользуясь примером 1 как образцом, упростите сумму $m - n + m + n$. Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг.

Чтобы упростить сумму $m - n + m + n$, необходимо выполнить последовательные преобразования, объясняя каждый шаг.

1. Исходное выражение

Нам дано алгебраическое выражение: $m - n + m + n$.

2. Применение переместительного свойства сложения

Переместительное (коммутативное) свойство сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Мы можем переставить слагаемые так, чтобы подобные члены (слагаемые с одинаковой буквенной частью) оказались рядом. Это упростит дальнейшие вычисления.

$m - n + m + n = m + m - n + n$

3. Применение сочетательного свойства сложения и приведение подобных слагаемых

Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения позволяет нам группировать слагаемые в любом порядке ($(a + b) + c = a + (b + c)$). Сгруппируем подобные слагаемые в скобки. Отметим, что вычитание $n$ можно представить как сложение с числом $-n$.

$m + m - n + n = (m + m) + (-n + n)$

Теперь выполним действия в каждой скобке:

• В первой скобке складываем $m$ и $m$: $m + m = 2m$.
• Во второй скобке складываем $-n$ и $n$. Это два противоположных числа, их сумма всегда равна нулю: $-n + n = 0$.

4. Завершение упрощения

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(m + m) + (-n + n) = 2m + 0$

Прибавление нуля не меняет значение выражения, поэтому мы получаем окончательный результат.

$2m + 0 = 2m$

Таким образом, полная цепочка преобразований выглядит следующим образом:
$m - n + m + n = m + m - n + n = (m + m) + (-n + n) = 2m + 0 = 2m$.

Ответ: $2m$

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3). Из каких законов оно следует?

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3).

Правило преобразования произведения, в частности, при умножении одного многочлена на другой, формулируется следующим образом: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные произведения.

Например, для умножения двучлена $(a+b)$ на двучлен $(c+d)$ применяется формула: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Это результат последовательного умножения члена $a$ на $c$ и $d$, а затем члена $b$ на $c$ и $d$, с последующим сложением результатов. Если в результате умножения появляются подобные слагаемые, их следует привести (сложить или вычесть).

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Из каких законов оно следует?

Данное правило является прямым следствием основных законов алгебры. Главным законом, на котором базируется это правило, является распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Также в процессе преобразований используются коммутативный (переместительный) и ассоциативный (сочетательный) законы.

Покажем, как это правило выводится из законов на примере умножения $(a+b)(c+d)$. Сначала, рассматривая $(a+b)$ как единое целое и применяя распределительный закон ($m(n+p) = mn+mp$), получаем: $(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d$. Затем, снова применяя распределительный закон к каждому из слагаемых в правой части, имеем: $ac+bc$ и $ad+bd$. Сложив их, получаем $(ac+bc) + (ad+bd)$. Наконец, используя ассоциативный и коммутативный законы сложения, мы можем убрать скобки и записать окончательный результат в стандартном виде: $ac+ad+bc+bd$.

Таким образом, правило преобразования произведения многочленов следует из:

• Распределительного закона умножения относительно сложения.
• Ассоциативного закона (сочетательного) для сложения и умножения.
• Коммутативного закона (переместительного) для сложения и умножения.

Ответ: Правило следует из распределительного, коммутативного и ассоциативного законов.

Пользуясь примером 2 как образцом, упростите произведение $2a \cdot (-3c)$. Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг.

Для того чтобы упростить произведение $2a \cdot (-3c)$, необходимо выполнить последовательность действий, основанных на свойствах умножения.

Шаг 1: Представление одночленов в виде произведения множителей.
Исходное выражение — это произведение двух одночленов: $2a$ и $-3c$. Каждый из этих одночленов можно представить как произведение числового коэффициента и переменной (или переменных).
$2a = 2 \cdot a$
$-3c = -3 \cdot c$
Таким образом, исходное выражение можно переписать как:
$2a \cdot (-3c) = (2 \cdot a) \cdot (-3 \cdot c)$

Шаг 2: Перегруппировка множителей.
Используя переместительное (от перемены мест множителей произведение не меняется) и сочетательное (порядок действий при умножении не важен) свойства умножения, мы можем перегруппировать все множители. Соберем вместе числовые коэффициенты и отдельно — переменные.
$(2 \cdot a) \cdot (-3 \cdot c) = (2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c)$

Шаг 3: Умножение числовых коэффициентов.
Вычислим произведение числовых коэффициентов:
$2 \cdot (-3) = -6$

Шаг 4: Умножение переменных.
Вычислим произведение переменных:
$a \cdot c = ac$

Шаг 5: Запись конечного результата.
Теперь объединим полученные результаты. Произведение коэффициентов $(-6)$ становится коэффициентом итогового одночлена, а произведение переменных $(ac)$ — его буквенной частью.
$-6 \cdot ac = -6ac$

Таким образом, полная цепочка преобразований выглядит так:
$2a \cdot (-3c) = (2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c) = -6ac$

Ответ: $-6ac$

Чему равен коэффициент произведения $\frac{1}{3} abc$; $-0.2xy$? Как принято записывать произведение, у которого коэффициент равен 1; равен -1?

Чему равен коэффициент произведения $\frac{1}{3}abc$ и $-0,2xy$?

Коэффициент — это числовой множитель в алгебраическом выражении. Чтобы найти коэффициент произведения двух или нескольких выражений (одночленов), нужно перемножить их коэффициенты.

В выражении $\frac{1}{3}abc$ коэффициент равен $\frac{1}{3}$.

В выражении $-0,2xy$ коэффициент равен $-0,2$.

Найдем произведение этих коэффициентов. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $-0,2$ в обыкновенную:

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Теперь перемножим коэффициенты:

$\frac{1}{3} \cdot (-0,2) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 5} = -\frac{1}{15}$

Ответ: $-\frac{1}{15}$.

Как принято записывать произведение, у которого коэффициент равен 1?

Если коэффициент буквенного выражения равен 1, то по принятому соглашению его не пишут. Считается, что множитель 1 уже подразумевается, так как умножение на 1 не изменяет значение выражения. Например, вместо $1 \cdot xy$ пишут просто $xy$.

Ответ: Произведение, у которого коэффициент равен 1, принято записывать без этого коэффициента, оставляя только буквенную часть.

Как принято записывать произведение, у которого коэффициент равен -1?

Если коэффициент буквенного выражения равен -1, то при записи принято опускать цифру 1, но обязательно сохранять знак «минус» перед буквенной частью. Знак «минус» показывает, что выражение умножается на -1. Например, вместо $-1 \cdot ab$ пишут просто $-ab$.

Ответ: Произведение, у которого коэффициент равен -1, принято записывать со знаком «минус» перед буквенной частью, опуская при этом цифру 1.

Упростите выражение: $5a \cdot \frac{1}{2}b$; $6x \cdot \left(-\frac{1}{6}y\right)$.

$5a \cdot \frac{1}{2}b$

Чтобы упростить это выражение, необходимо перемножить числовые коэффициенты и буквенные множители. Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать их.

$5a \cdot \frac{1}{2}b = (5 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a \cdot b)$

Сначала вычислим произведение числовых коэффициентов:
$5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Затем перемножим буквенные множители:
$a \cdot b = ab$

Теперь объединим результаты. Полученное выражение является произведением числового коэффициента $2\frac{1}{2}$ и буквенной части $ab$.
$2\frac{1}{2}ab$

Ответ: $2\frac{1}{2}ab$

$6x \cdot (-\frac{1}{6}y)$

Упростим второе выражение аналогичным образом. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$6x \cdot (-\frac{1}{6}y) = (6 \cdot (-\frac{1}{6})) \cdot (x \cdot y)$

Вычислим произведение коэффициентов. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно:
$6 \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{6 \cdot 1}{6} = -1$

Произведение переменных:
$x \cdot y = xy$

Объединим результаты. В алгебре коэффициент $-1$ перед буквенным выражением обычно не пишется, оставляют только знак «минус»:
$-1 \cdot xy = -xy$

Ответ: $-xy$

3.17 Назовите слагаемые алгебраической суммы:

а) $a$, $-b$, $c$, $-d$

б) $-x$, $-y$, $-z$, $-10$

в) $3a$, $-5b$, $6c$, $-2d$, $-1$

г) $-2x$, $-3y$, $-10z$, $t$

д) $ab$, $ac$, $-bc$, $-4$

е) $2xyz$, $-3xy$, $xz$, $-y$

а) В алгебраической сумме $a - b + c - d$ каждое вычитание можно заменить сложением с противоположным числом. Таким образом, выражение можно записать в виде $a + (-b) + c + (-d)$. Слагаемыми являются члены этой суммы.

Ответ: слагаемые: $a$, $-b$, $c$, $-d$.

б) Алгебраическую сумму $-x - y - z - 10$ можно представить в виде суммы слагаемых: $(-x) + (-y) + (-z) + (-10)$.

Ответ: слагаемые: $-x$, $-y$, $-z$, $-10$.

в) Алгебраическую сумму $3a - 5b + 6c - 2d - 1$ можно представить в виде суммы слагаемых: $3a + (-5b) + 6c + (-2d) + (-1)$.

Ответ: слагаемые: $3a$, $-5b$, $6c$, $-2d$, $-1$.

г) Алгебраическую сумму $-2x - 3y - 10z + t$ можно представить в виде суммы слагаемых: $(-2x) + (-3y) + (-10z) + t$.

Ответ: слагаемые: $-2x$, $-3y$, $-10z$, $t$.

д) Алгебраическую сумму $ab + ac - bc - 4$ можно представить в виде суммы слагаемых: $ab + ac + (-bc) + (-4)$.

Ответ: слагаемые: $ab$, $ac$, $-bc$, $-4$.

е) Алгебраическую сумму $2xyz - 3xy + xz - y$ можно представить в виде суммы слагаемых: $2xyz + (-3xy) + xz + (-y)$.

Ответ: слагаемые: $2xyz$, $-3xy$, $xz$, $-y$.

3.18 Составьте алгебраическую сумму из следующих слагаемых:

а) $-x, -y, a, -b;$

б) $a, -b, -c, d;$

в) $2a, -2b, 4c, -3d;$

г) $-p, 12q, -2m, -3n, 5;$

д) $2xy, -3xz, yz, -2;$

е) $-abc, -2ac, bc, 4ab.$

а) Чтобы составить алгебраическую сумму из слагаемых $-x, -y, a, -b$, необходимо записать их последовательно, соединив знаком сложения.
Запись суммы в исходном виде: $(-x) + (-y) + a + (-b)$.
При сложении с отрицательным числом знак плюс меняется на минус. Таким образом, убрав скобки, мы получим следующее выражение:
$-x - y + a - b$.
Для удобства чтения слагаемые можно переставить, начав с положительных: $a - b - x - y$.
Ответ: $-x - y + a - b$

б) Данные слагаемые: $a, -b, -c, d$.
Алгебраическая сумма этих слагаемых записывается следующим образом:
$a + (-b) + (-c) + d$.
Упростим выражение, раскрыв скобки. Сложение отрицательных слагаемых $-b$ и $-c$ заменяется на вычитание:
$a - b - c + d$.
Ответ: $a - b - c + d$

в) Данные слагаемые: $2a, -2b, 4c, -3d$.
Составляем алгебраическую сумму:
$2a + (-2b) + 4c + (-3d)$.
Раскрываем скобки, заменяя операцию сложения с отрицательными слагаемыми на вычитание:
$2a - 2b + 4c - 3d$.
Ответ: $2a - 2b + 4c - 3d$

г) Данные слагаемые: $-p, 12q, -2m, -3n, 5$.
Записываем сумму этих слагаемых:
$(-p) + 12q + (-2m) + (-3n) + 5$.
После упрощения, убирая скобки, получаем:
$-p + 12q - 2m - 3n + 5$.
Можно переставить слагаемые для удобства, например, начав с положительного: $12q + 5 - p - 2m - 3n$.
Ответ: $-p + 12q - 2m - 3n + 5$

д) Данные слагаемые: $2xy, -3xz, yz, -2$.
Алгебраическая сумма будет выглядеть так:
$2xy + (-3xz) + yz + (-2)$.
Упрощаем выражение, раскрывая скобки:
$2xy - 3xz + yz - 2$.
Ответ: $2xy - 3xz + yz - 2$

е) Данные слагаемые: $-abc, -2ac, bc, 4ab$.
Составляем из них алгебраическую сумму:
$(-abc) + (-2ac) + bc + 4ab$.
Упрощенное выражение после раскрытия скобок:
$-abc - 2ac + bc + 4ab$.
Часто для упорядочивания слагаемые располагают в алфавитном порядке или по другому принципу, например: $4ab - abc + bc - 2ac$.
Ответ: $-abc - 2ac + bc + 4ab$

3.19 Выражение $x+(-y)+(-2z)$ можно записать в виде алгебраической суммы, опустив знаки сложения перед скобками:

$x+(-y)+(-2z)=x-y-2z.$

Воспользовавшись этим образцом, преобразуйте выражение:

а) $5a+(-b)+(-3c);$

б) $4x+y+(-6z);$

в) $-m+(-n)+p;$

г) $-m+(-n)+(-p).$

а) Чтобы преобразовать выражение $5a + (-b) + (-3c)$ в алгебраическую сумму, необходимо опустить знаки сложения перед скобками. Правило гласит, что прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного числа. Таким образом, $+(-b)$ заменяется на $-b$, а $+(-3c)$ заменяется на $-3c$.

Выполним преобразование: $5a + (-b) + (-3c) = 5a - b - 3c$.

Ответ: $5a - b - 3c$.

б) В выражении $4x + y + (-6z)$ также применяется правило опускания скобок. Слагаемое $+(-6z)$ преобразуется в $-6z$, так как сложение с отрицательным числом является вычитанием.

Выполним преобразование: $4x + y + (-6z) = 4x + y - 6z$.

Ответ: $4x + y - 6z$.

в) Рассмотрим выражение $-m + (-n) + p$. Слагаемое $+(-n)$ упрощается до $-n$. Слагаемое $p$ уже записано без скобок, поэтому остается без изменений.

Выполним преобразование: $-m + (-n) + p = -m - n + p$.

Ответ: $-m - n + p$.

г) В выражении $-m + (-n) + (-p)$ оба слагаемых в скобках являются отрицательными. Применяя то же правило, что и в предыдущих пунктах, мы заменяем сложение с отрицательными числами на вычитание.

Выполним преобразование: $-m + (-n) + (-p) = -m - n - p$.

Ответ: $-m - n - p$.