Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.34 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её:

а) $\frac{4xy}{5yz}$;

б) $\frac{15km}{10nm}$;

в) $\frac{8ab}{12abc}$;

г) $\frac{7xyz}{21xz}$;

д) $\frac{6mnk}{9knp}$;

е) $\frac{2x^2}{3x}$;

ж) $\frac{4a}{6a^2}$;

з) $\frac{10c^3}{12c}$.

а) Рассмотрим дробь $\frac{4xy}{5yz}$. Числитель: $4xy$. Знаменатель: $5yz$. Числовые коэффициенты 4 и 5 не имеют общих делителей, кроме 1. Переменные в числителе: $x, y$. Переменные в знаменателе: $y, z$. Общим множителем для числителя и знаменателя является переменная $y$. Сократим дробь: $\frac{4xy}{5yz} = \frac{4x \cdot y}{5z \cdot y} = \frac{4x}{5z}$.
Ответ: общий множитель $y$; $\frac{4x}{5z}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{15km}{10nm}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $15km = 3 \cdot 5 \cdot k \cdot m$. Знаменатель: $10nm = 2 \cdot 5 \cdot n \cdot m$. Общий множитель для числовых коэффициентов 15 и 10 - это 5. Общий множитель для переменных - это $m$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $5m$. Сократим дробь: $\frac{15km}{10nm} = \frac{3 \cdot 5 \cdot k \cdot m}{2 \cdot 5 \cdot n \cdot m} = \frac{3k}{2n}$.
Ответ: общий множитель $5m$; $\frac{3k}{2n}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{8ab}{12abc}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $8ab = 2 \cdot 4 \cdot a \cdot b$. Знаменатель: $12abc = 3 \cdot 4 \cdot a \cdot b \cdot c$. Общий множитель для числовых коэффициентов 8 и 12 - это 4. Общие множители для переменных - это $a$ и $b$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $4ab$. Сократим дробь: $\frac{8ab}{12abc} = \frac{2 \cdot (4ab)}{3c \cdot (4ab)} = \frac{2}{3c}$.
Ответ: общий множитель $4ab$; $\frac{2}{3c}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7xyz}{21xz}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $7xyz = 7 \cdot x \cdot y \cdot z$. Знаменатель: $21xz = 3 \cdot 7 \cdot x \cdot z$. Общий множитель для числовых коэффициентов 7 и 21 - это 7. Общие множители для переменных - это $x$ и $z$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $7xz$. Сократим дробь: $\frac{7xyz}{21xz} = \frac{y \cdot (7xz)}{3 \cdot (7xz)} = \frac{y}{3}$.
Ответ: общий множитель $7xz$; $\frac{y}{3}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{6mnk}{9knp}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $6mnk = 2 \cdot 3 \cdot m \cdot n \cdot k$. Знаменатель: $9knp = 3 \cdot 3 \cdot k \cdot n \cdot p$. Общий множитель для числовых коэффициентов 6 и 9 - это 3. Общие множители для переменных - это $k$ и $n$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $3kn$. Сократим дробь: $\frac{6mnk}{9knp} = \frac{2m \cdot (3nk)}{3p \cdot (3nk)} = \frac{2m}{3p}$.
Ответ: общий множитель $3kn$; $\frac{2m}{3p}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{2x^2}{3x}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $2x^2 = 2 \cdot x \cdot x$. Знаменатель: $3x = 3 \cdot x$. Числовые коэффициенты 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Общий множитель для переменных - это $x$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $x$. Сократим дробь: $\frac{2x^2}{3x} = \frac{2x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2x}{3}$.
Ответ: общий множитель $x$; $\frac{2x}{3}$.

ж) Рассмотрим дробь $\frac{4a}{6a^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $4a = 2 \cdot 2 \cdot a$. Знаменатель: $6a^2 = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot a$. Общий множитель для числовых коэффициентов 4 и 6 - это 2. Общий множитель для переменных - это $a$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $2a$. Сократим дробь: $\frac{4a}{6a^2} = \frac{2 \cdot (2a)}{3a \cdot (2a)} = \frac{2}{3a}$.
Ответ: общий множитель $2a$; $\frac{2}{3a}$.

з) Рассмотрим дробь $\frac{10c^3}{12c}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $10c^3 = 2 \cdot 5 \cdot c \cdot c \cdot c$. Знаменатель: $12c = 2 \cdot 6 \cdot c$. Общий множитель для числовых коэффициентов 10 и 12 - это 2. Общий множитель для переменных - это $c$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $2c$. Сократим дробь: $\frac{10c^3}{12c} = \frac{5c^2 \cdot (2c)}{6 \cdot (2c)} = \frac{5c^2}{6}$.
Ответ: общий множитель $2c$; $\frac{5c^2}{6}$.

3.35 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Ответьте на вопрос, воспользовавшись приведённым образцом:

а) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза, а другую — в 1,5 раза. Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника?

б) Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2, 3 и 4 раза. Во сколько раз увеличился его объём?

в) Длину ребра куба увеличили в 10 раз. Во сколько раз увеличился его объём?

Образец. Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

Обозначим сторону квадрата буквой $a$, тогда его площадь равна $a^2$, а площадь нового квадрата равна $(3a)^2 = 3a \cdot 3a = 9a^2$.

Найдём отношение площадей квадратов: $\frac{9a^2}{a^2} = 9$. Таким образом, площадь увеличилась в 9 раз.

а) Обозначим стороны исходного прямоугольника как $a$ и $b$. Его первоначальная площадь равна $S_1 = a \cdot b$. После увеличения стороны стали равны $2a$ и $1,5b$. Новая площадь $S_2 = (2a) \cdot (1,5b) = 3ab$. Найдём отношение новой площади к первоначальной, чтобы определить, во сколько раз она увеличилась: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{3ab}{ab} = 3$.
Ответ: в 3 раза.

б) Обозначим длины рёбер исходного прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. Его первоначальный объём $V_1 = a \cdot b \cdot c$. После увеличения длины рёбер стали равны $2a$, $3b$ и $4c$. Новый объём $V_2 = (2a) \cdot (3b) \cdot (4c) = 24abc$. Найдём отношение нового объёма к первоначальному: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{24abc}{abc} = 24$.
Ответ: в 24 раза.

в) Обозначим длину ребра исходного куба как $a$. Его первоначальный объём $V_1 = a^3$. После увеличения длина ребра стала равна $10a$. Новый объём $V_2 = (10a)^3 = 1000a^3$. Найдём отношение нового объёма к первоначальному: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000a^3}{a^3} = 1000$.
Ответ: в 1000 раз.

3.36 Известно, что $k$ — нечётное число. Чётным или нечётным является число:

$k + k + k + k$;

$k + k + k + k + 10$;

$(k + k)(k + k)$?

k + k + k + k

Данное выражение представляет собой сумму четырех одинаковых слагаемых, которую можно записать как произведение $4 \cdot k$.

По условию задачи, $k$ — нечетное число. Число 4 является четным. Произведение четного числа на нечетное всегда дает в результате четное число.

Можно рассуждать и по-другому, используя свойства сложения:

• Сумма двух нечетных чисел — четное число: $k + k$ — четное.
• Следовательно, $k + k + k + k = (k + k) + (k + k)$.
• Мы складываем два четных числа, а сумма двух четных чисел всегда является четным числом.

Таким образом, значение выражения $k + k + k + k$ является четным.

Ответ: чётное

k + k + k + k + 10

Рассмотрим выражение $k + k + k + k + 10$. Его можно представить в виде суммы $(k + k + k + k) + 10$.

Из предыдущего пункта мы установили, что результат выражения в скобках, $k + k + k + k$, является четным числом.

Число 10 также является четным.

Сумма двух четных чисел (результата выражения в скобках и числа 10) всегда является четным числом.

Ответ: чётное

(k + k)(k + k + k)

Рассмотрим произведение $(k + k)(k + k + k)$. Чтобы определить его четность, определим четность каждого из множителей.

Первый множитель: $(k + k)$. Так как $k$ — нечетное число, то сумма двух нечетных чисел $k+k$ является четным числом.

Второй множитель: $(k + k + k)$. Это сумма трех нечетных чисел. Сумма $(k+k)$ четная, тогда $(k+k)+k$ — это сумма четного и нечетного чисел, которая всегда является нечетным числом.

Теперь необходимо найти четность произведения четного числа (первый множитель) и нечетного числа (второй множитель). Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным.

Ответ: чётное

3.37 Пусть a — чётное число, а b — нечётное. Чётным или нечётным является число: $(a+a+a+b+b)$; $(a+a+b+b+b)$?

Для решения этой задачи воспользуемся следующими правилами чётности:

• Сумма двух чётных чисел — чётное число: $Чётное + Чётное = Чётное$.
• Сумма двух нечётных чисел — чётное число: $Нечётное + Нечётное = Чётное$.
• Сумма чётного и нечётного числа — нечётное число: $Чётное + Нечётное = Нечётное$.

По условию, число $a$ — чётное (Ч), а число $b$ — нечётное (Н).

$a+a+a+b+b$

Рассмотрим первое выражение. Можно проанализировать его, последовательно складывая числа с учётом их чётности:

Сумма трёх чётных слагаемых: $a+a+a \rightarrow Ч+Ч+Ч = Ч$.

Сумма двух нечётных слагаемых: $b+b \rightarrow Н+Н = Ч$.

Итоговое выражение $(a+a+a)+(b+b)$ является суммой двух чётных чисел ($Ч+Ч$), следовательно, результат будет чётным числом.

Алгебраический способ:
Выражение можно записать как $3a + 2b$.
Поскольку $a$ — чётное, то $a = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $3a = 3(2k) = 2(3k)$, что является чётным числом.
Поскольку $b$ — нечётное, то $b = 2m+1$ для некоторого целого $m$. Тогда $2b = 2(2m+1)$, что является чётным числом.
Сумма двух чётных чисел ($3a+2b$) также является чётным числом.

Ответ: чётное.

$a+a+b+b+b$

Рассмотрим второе выражение. Проанализируем его по частям:

Сумма двух чётных слагаемых: $a+a \rightarrow Ч+Ч = Ч$.

Сумма трёх нечётных слагаемых: $b+b+b \rightarrow (Н+Н)+Н \rightarrow Ч+Н = Н$.

Итоговое выражение $(a+a)+(b+b+b)$ является суммой чётного и нечётного числа ($Ч+Н$), следовательно, результат будет нечётным числом.

Алгебраический способ:
Выражение можно записать как $2a + 3b$.
Поскольку $a$ — чётное ($a=2k$), то $2a = 2(2k) = 4k$, что является чётным числом.
Поскольку $b$ — нечётное ($b=2m+1$), то $3b = 3(2m+1) = 6m+3 = 2(3m+1)+1$, что является нечётным числом.
Сумма чётного ($2a$) и нечётного ($3b$) числа является нечётным числом.

Ответ: нечётное.

3.38 Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел, первое из которых равно $n$?

Задача заключается в нахождении суммы 15 последовательных натуральных чисел. Такую последовательность можно рассматривать как арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (разностью прогрессии). В данном случае, так как числа натуральные и последовательные, разность прогрессии $d$ равна 1.

Определим параметры нашей прогрессии:

• Первый член прогрессии, по условию: $a_1 = n$.

• Разность прогрессии: $d = 1$.

• Количество членов, сумму которых нужно найти: $k = 15$.

Для нахождения суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии можно использовать формулу:

$S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2} \cdot k$

Подставим наши значения в формулу:

$S_{15} = \frac{2 \cdot n + 1 \cdot (15-1)}{2} \cdot 15$

Теперь упростим выражение:

$S_{15} = \frac{2n + 14}{2} \cdot 15$

В числителе дроби можно вынести за скобки общий множитель 2:

$S_{15} = \frac{2(n + 7)}{2} \cdot 15$

Сокращаем на 2:

$S_{15} = (n + 7) \cdot 15$

Это можно записать как $15(n + 7)$. Если раскрыть скобки, получим:

$15(n + 7) = 15n + 15 \cdot 7 = 15n + 105$.

Обе формы записи, $15(n+7)$ и $15n+105$, являются верными.

Ответ: $15(n+7)$ или $15n+105$.

3.39 В первом ряду амфитеатра $a$ мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре, если он состоит:

а) из 5 рядов;

б) из 10 рядов?

В данной задаче количество мест в рядах амфитеатра образует арифметическую прогрессию.

Обозначим:

• $a_1 = a$ – количество мест в первом ряду (первый член прогрессии).
• $d = 2$ – разница в количестве мест между соседними рядами (разность прогрессии).
• $n$ – количество рядов в амфитеатре.

Для нахождения общего количества мест в амфитеатре воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

а) если амфитеатр состоит из 5 рядов

В этом случае $n = 5$. Подставим значения в формулу:

$S_5 = \frac{2a + 2(5-1)}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 2 \cdot 4}{2} \cdot 5$

$S_5 = \frac{2a + 8}{2} \cdot 5$

Сократим дробь на 2:

$S_5 = (a + 4) \cdot 5$

$S_5 = 5a + 20$

Ответ: $5a + 20$

б) если амфитеатр состоит из 10 рядов

В этом случае $n = 10$. Подставим значения в формулу:

$S_{10} = \frac{2a + 2(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{2a + 18}{2} \cdot 10$

Сократим дробь на 2:

$S_{10} = (a + 9) \cdot 10$

$S_{10} = 10a + 90$

Ответ: $10a + 90$

3.40 Упростите произведение:

а) $6a(ab)^2b^3$;

б) $(xy)^2 \cdot (xy)^3$;

в) $a(-ac)^2$;

г) $-c(cd)^2$;

д) $-z(-x^2)(-xz)$;

е) $ab^2(ab)^2$.

а) Чтобы упростить произведение $6a(ab)^2b^3$, сначала возведем в степень выражение в скобках, используя свойство $(xy)^n=x^ny^n$: $(ab)^2 = a^2b^2$. Затем подставим это в исходное выражение: $6a \cdot a^2b^2 \cdot b^3$. Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $6 \cdot (a^1 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^3) = 6a^{1+2}b^{2+3} = 6a^3b^5$.
Ответ: $6a^3b^5$.

б) В выражении $(xy)^2 \cdot (xy)^3$ основания степеней одинаковы и равны $(xy)$. Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $(xy)^{2+3} = (xy)^5$. Раскрыв скобки, получаем $x^5y^5$.
Ответ: $x^5y^5$.

в) Для упрощения $a(-ac)^2$ сначала возведем в степень выражение в скобках. Квадрат отрицательного числа положителен: $(-ac)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 \cdot c^2 = a^2c^2$. Затем умножим результат на $a$: $a \cdot a^2c^2 = a^{1+2}c^2 = a^3c^2$.
Ответ: $a^3c^2$.

г) В выражении $-c(cd)^2$ сначала возведем в степень выражение в скобках: $(cd)^2 = c^2d^2$. Далее умножим на $-c$: $-c \cdot c^2d^2 = -c^{1+2}d^2 = -c^3d^2$.
Ответ: $-c^3d^2$.

д) Чтобы упростить произведение $-z(-x^2)(-xz)$, определим знак результата. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно. Теперь перемножим модули множителей: $z \cdot x^2 \cdot xz$. Сгруппируем переменные: $(x^2 \cdot x) \cdot (z \cdot z) = x^{2+1}z^{1+1} = x^3z^2$. Учитывая знак, получаем $-x^3z^2$.
Ответ: $-x^3z^2$.

е) В выражении $ab^2(ab)^2$ сначала возводим в степень скобку: $(ab)^2 = a^2b^2$. Затем перемножаем полученное с первым множителем: $ab^2 \cdot a^2b^2$. Группируем переменные с одинаковыми основаниями: $(a \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^2) = a^{1+2}b^{2+2} = a^3b^4$.
Ответ: $a^3b^4$.