Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие слагаемые называют подобными? Подчеркните подобные слагаемые в каждом из выражений:

$4x + 4 - x + 0.2x;$

$2ab + 3ac - ab + 6a.$

Какие слагаемые называют подобными?
Подобными слагаемыми (или подобными членами) называют слагаемые в алгебраическом выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть. Это означает, что у них должны быть одни и те же переменные, возведенные в одинаковые степени. Подобные слагаемые могут отличаться только своими числовыми коэффициентами. Слагаемые, не содержащие переменных (числа, или свободные члены), также считаются подобными друг другу.
Например, в выражении $5a^2b - 7 + 2a^2b$ слагаемые $5a^2b$ и $2a^2b$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2b$.
Ответ: Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Подчеркните подобные слагаемые в каждом из выражений:
1. В выражении $4x + 4 - x + 0,2x$ необходимо найти слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это слагаемые, содержащие переменную $x$ в первой степени. Такими слагаемыми являются $4x$, $-x$ и $0,2x$. Слагаемое $4$ является свободным членом и не имеет подобных в этом выражении.
2. В выражении $2ab + 3ac - ab + 6a$ ищем слагаемые с одинаковой буквенной частью. Слагаемые $2ab$ и $-ab$ имеют одинаковую буквенную часть $ab$, следовательно, они подобны. Слагаемые $3ac$ и $6a$ имеют другие буквенные части ($ac$ и $a$ соответственно), поэтому они не являются подобными ни друг другу, ни остальным слагаемым.
Ответ:
1) $\underline{4x} + 4 - \underline{x} + \underline{0,2x}$
2) $\underline{2ab} + 3ac - \underline{ab} + 6a$

На каком законе основано приведение подобных слагаемых?

Приведение подобных слагаемых основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения (также его называют дистрибутивным законом).

Это свойство гласит, что для умножения числа на сумму двух других чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности и затем сложить полученные произведения. В виде формулы это выглядит так:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

При приведении подобных слагаемых, таких как в выражении $5x + 3x$, мы используем этот закон в обратном порядке. Слагаемые $5x$ и $3x$ имеют общую буквенную часть $x$, которая выступает в роли общего множителя $a$ из формулы. Числовые коэффициенты $5$ и $3$ выступают в роли $b$ и $c$.

Применяя закон, мы выносим общий множитель $x$ за скобки:

$5x + 3x = (5 + 3) \cdot x$

После этого мы выполняем действие в скобках (сложение коэффициентов):

$(5 + 3) \cdot x = 8 \cdot x = 8x$

Таким образом, операция приведения подобных слагаемых — это по сути применение распределительного закона для упрощения выражений.

Ответ: Приведение подобных слагаемых основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения (дистрибутивном законе).

Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения $7c - 2,5 - 1,5c$.

Правило приведения подобных слагаемых заключается в том, чтобы сложить их коэффициенты (числовые множители) и умножить полученную сумму на их общую буквенную часть. Проиллюстрируем это правило на примере выражения $7c - 2,5 - 1,5c$.

Шаг 1: Определение подобных слагаемых.
Подобными слагаемыми в выражении называются те, которые имеют одинаковую буквенную часть. В данном выражении $7c$ и $-1,5c$ являются подобными, так как у них общая буквенная часть — $c$. Число $-2,5$ является свободным членом и не имеет подобных.

Шаг 2: Группировка подобных слагаемых.
На основе переместительного свойства сложения мы можем сгруппировать подобные слагаемые вместе: $7c - 2,5 - 1,5c = 7c - 1,5c - 2,5$

Шаг 3: Применение распределительного свойства (вынесение общего множителя за скобки).
Вынесем общую буквенную часть $c$ за скобки. Это действие основано на распределительном свойстве умножения $a \cdot x - b \cdot x = (a - b) \cdot x$. $(7 - 1,5)c - 2,5$

Шаг 4: Вычисление нового коэффициента.
Выполним арифметическое действие с коэффициентами в скобках: $7 - 1,5 = 5,5$

Шаг 5: Запись конечного результата.
Подставим полученное значение обратно в выражение. Упрощенное выражение будет иметь вид: $5,5c - 2,5$

Ответ: $5,5c - 2,5$

3.66 a) $5a + 4a$;

б) $2x + 3x + 10$;

В) $1,5a + a + 2,5a$;

Г) $6y + 8 + 6y$;

Д) $7m + m$;

е) $\frac{3}{8}n + \frac{5}{8}n + \frac{1}{3}n.$

а) Чтобы упростить выражение $5a + 4a$, нужно привести подобные слагаемые. Слагаемые $5a$ и $4a$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a$. Для их сложения нужно сложить их коэффициенты (числа перед буквой) и результат умножить на общую буквенную часть.

$5a + 4a = (5 + 4)a = 9a$

Ответ: $9a$

б) В выражении $2x + 3x + 10$ подобными слагаемыми являются $2x$ и $3x$, так как у них одинаковая буквенная часть $x$. Слагаемое $10$ является свободным членом (константой) и не имеет буквенной части, поэтому его мы не трогаем. Складываем коэффициенты при $x$.

$2x + 3x + 10 = (2 + 3)x + 10 = 5x + 10$

Ответ: $5x + 10$

в) В выражении $1,5a + a + 2,5a$ все три слагаемых являются подобными, так как у всех одинаковая буквенная часть $a$. Важно помнить, что слагаемое $a$ имеет коэффициент $1$. Складываем все коэффициенты.

$1,5a + a + 2,5a = 1,5a + 1a + 2,5a = (1,5 + 1 + 2,5)a = 5a$

Ответ: $5a$

г) В выражении $6y + 8 + 6y$ подобными слагаемыми являются $6y$ и $6y$. Слагаемое $8$ является свободным членом. Группируем и складываем подобные слагаемые.

$6y + 8 + 6y = (6y + 6y) + 8 = (6 + 6)y + 8 = 12y + 8$

Ответ: $12y + 8$

д) В выражении $7m + m$ оба слагаемых являются подобными. Коэффициент слагаемого $m$ равен $1$. Складываем коэффициенты.

$7m + m = 7m + 1m = (7 + 1)m = 8m$

Ответ: $8m$

е) В выражении $\frac{3}{8}n + \frac{5}{8}n + \frac{1}{3}n$ все слагаемые являются подобными. Чтобы упростить выражение, нужно сложить их дробные коэффициенты.

$\frac{3}{8}n + \frac{5}{8}n + \frac{1}{3}n = (\frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{1}{3})n$

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем 8:

$\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Теперь к результату прибавим оставшуюся дробь:

$1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$1\frac{1}{3}n$

Ответ: $1\frac{1}{3}n$

3.67 a) $18x - 3x + 5x;$

б) $2y - 9y;$

в) $1{,}2c - 0{,}3c + 5;$

г) $2a - 15 - a + 6;$

д) $t + 6{,}3t - 2{,}1t;$

е) $5x - 5 + 3x - 4x;$

ж) $-a - a - a;$

з) $-2n - 2n - 2n;$

и) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x.$

а) Чтобы упростить выражение $18x - 3x + 5x$, нужно привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми здесь являются все три члена, так как они содержат одну и ту же переменную $x$. Для их сложения (или вычитания) мы работаем с их коэффициентами.

Сгруппируем коэффициенты: $(18 - 3 + 5)x$.

Выполним действия в скобках: $18 - 3 = 15$, затем $15 + 5 = 20$.

Получаем: $20x$.

Ответ: $20x$.

б) В выражении $2y - 9y$ оба члена являются подобными слагаемыми, так как содержат переменную $y$.

Вынесем переменную $y$ за скобки: $(2 - 9)y$.

Вычислим разность в скобках: $2 - 9 = -7$.

Получаем: $-7y$.

Ответ: $-7y$.

в) В выражении $1,2c - 0,3c + 5$ подобными являются слагаемые $1,2c$ и $-0,3c$. Число $5$ не содержит переменной $c$, поэтому оно остается без изменений.

Сгруппируем подобные слагаемые: $(1,2c - 0,3c) + 5$.

Выполним вычитание для коэффициентов при $c$: $1,2 - 0,3 = 0,9$.

Получаем: $0,9c + 5$.

Ответ: $0,9c + 5$.

г) В выражении $2a - 15 - a + 6$ есть две группы подобных слагаемых: те, что содержат переменную $a$ ($2a$ и $-a$), и числовые слагаемые ($-15$ и $6$).

Сгруппируем их: $(2a - a) + (-15 + 6)$.

Упростим каждую группу: $2a - a = a$ и $-15 + 6 = -9$.

Соединяем результаты: $a - 9$.

Ответ: $a - 9$.

д) В выражении $t + 6,3t - 2,1t$ все члены являются подобными. Учтем, что коэффициент при $t$ равен $1$.

Сгруппируем коэффициенты: $(1 + 6,3 - 2,1)t$.

Выполним действия в скобках: $1 + 6,3 = 7,3$, затем $7,3 - 2,1 = 5,2$.

Получаем: $5,2t$.

Ответ: $5,2t$.

е) В выражении $5x - 5 + 3x - 4x$ сгруппируем подобные слагаемые: те, что с переменной $x$ ($5x$, $3x$, $-4x$), и числовое слагаемое ($-5$).

Сгруппируем: $(5x + 3x - 4x) - 5$.

Вычислим сумму коэффициентов при $x$: $5 + 3 - 4 = 8 - 4 = 4$.

Получаем: $4x - 5$.

Ответ: $4x - 5$.

ж) В выражении $-a - a - a - a$ все члены являются подобными. Коэффициент каждого члена равен $-1$.

Сложим коэффициенты: $(-1 - 1 - 1 - 1)a$.

Сумма коэффициентов равна $-4$.

Получаем: $-4a$.

Ответ: $-4a$.

з) В выражении $-2n - 2n - 2n$ все члены являются подобными.

Сложим их коэффициенты: $(-2 - 2 - 2)n$.

Сумма коэффициентов равна $-6$.

Получаем: $-6n$.

Ответ: $-6n$.

и) В выражении $\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}x$ все члены являются подобными.

Сложим коэффициенты: $(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3})x$.

Складываем дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{1+1+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Получаем: $1x$, что обычно записывается как $x$.

Ответ: $x$.

3.68 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каком случае правильно приведены подобные слагаемые в выражении $5a + 2x + 9a - 2x - 7$?

1) $14a + 4x - 7$

2) $14ax - 7$

3) $7a$

4) $14a - 7$

Чтобы правильно привести подобные слагаемые в выражении $5a + 2x + 9a - 2x - 7$, необходимо найти члены с одинаковой буквенной частью и выполнить с ними арифметические действия.

Исходное выражение: $5a + 2x + 9a - 2x - 7$.

1. Группировка подобных слагаемых.
Подобными слагаемыми в данном выражении являются:

• слагаемые с переменной $a$: $5a$ и $9a$.
• слагаемые с переменной $x$: $2x$ и $-2x$.
• числовое слагаемое (константа): $-7$.

Перегруппируем выражение для удобства: $(5a + 9a) + (2x - 2x) - 7$.

2. Сложение и вычитание подобных слагаемых.
Сложим коэффициенты при одинаковых переменных:

• Для переменной $a$: $5a + 9a = (5 + 9)a = 14a$.
• Для переменной $x$: $2x - 2x = (2 - 2)x = 0$.

3. Запись итогового выражения.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение: $14a + 0 - 7$, что упрощается до $14a - 7$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что правильным является вариант 4.

Ответ: 4) $14a - 7$

3.69 Решите уравнение:

а) $2x + 3x = 150;$

б) $15a - 8a = 1,4;$

в) $-z - 3z = 4;$

г) $y - 4y = 1;$

д) $m - 6m = 0;$

е) $7x + 3x = -5.$

а) $2x + 3x = 150$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $2x$ и $3x$.

$ (2 + 3)x = 150 $

$ 5x = 150 $

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (150) разделить на известный множитель (5).

$ x = 150 / 5 $

$ x = 30 $

Ответ: $30$.

б) $15a - 8a = 1,4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, вычитая коэффициенты при $a$.

$ (15 - 8)a = 1,4 $

$ 7a = 1,4 $

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 7.

$ a = 1,4 / 7 $

$ a = 0,2 $

Ответ: $0,2$.

в) $-z - 3z = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Следует помнить, что $-z$ это то же самое, что и $-1z$.

$ (-1 - 3)z = 4 $

$ -4z = 4 $

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на -4.

$ z = 4 / (-4) $

$ z = -1 $

Ответ: $-1$.

г) $y - 4y = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Следует помнить, что $y$ это то же самое, что и $1y$.

$ (1 - 4)y = 1 $

$ -3y = 1 $

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -3.

$ y = 1 / (-3) $

$ y = -1/3 $

Ответ: $-1/3$.

д) $m - 6m = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Следует помнить, что $m$ это то же самое, что и $1m$.

$ (1 - 6)m = 0 $

$ -5m = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $-5 \ne 0$, то $m$ должно быть равно нулю.

$ m = 0 / (-5) $

$ m = 0 $

Ответ: $0$.

е) $7x + 3x = -5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$ (7 + 3)x = -5 $

$ 10x = -5 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 10.

$ x = -5 / 10 $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5.

$ x = -1/2 $ или $ x = -0,5 $

Ответ: $-0,5$.

3.70 Приведите подобные слагаемые:

а) $7a + 9b + 3b - 5a - 6b + b;$

б) $4xy + 7x - 5xy - 2x;$

в) $12m^2 - 10 - 15m^2 + 4m^2;$

г) $3y^2 - y + 4y^2 - 2y + 3y;$

д) $abc - bc + 2abc + 3bc - 4abc;$

е) $7x - z - 3x - 5z - 4x - 7z + 1.$

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $7a + 9b + 3b - 5a - 6b + b$, необходимо сгруппировать и сложить члены с одинаковой буквенной частью.
1. Группируем слагаемые с переменной $a$: $7a$ и $-5a$.
2. Группируем слагаемые с переменной $b$: $9b$, $3b$, $-6b$ и $b$ (которое можно записать как $1b$).
Запишем выражение, сгруппировав подобные члены: $(7a - 5a) + (9b + 3b - 6b + b)$.
Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе: $(7-5)a + (9+3-6+1)b = 2a + 7b$.
Ответ: $2a + 7b$

б) В выражении $4xy + 7x - 5xy - 2x$ есть две группы подобных слагаемых.
1. Слагаемые с буквенной частью $xy$: $4xy$ и $-5xy$.
2. Слагаемые с буквенной частью $x$: $7x$ и $-2x$.
Группируем их: $(4xy - 5xy) + (7x - 2x)$.
Складываем коэффициенты в каждой группе: $(4-5)xy + (7-2)x = -1xy + 5x$.
Коэффициент $-1$ перед буквенным выражением обычно не пишется. Для удобства можно записать положительный член первым: $5x - xy$.
Ответ: $5x - xy$

в) В выражении $12m^2 - 10 - 15m^2 + 4m^2$ подобными являются слагаемые с $m^2$. Свободный член $-10$ не имеет подобных.
1. Группируем слагаемые с $m^2$: $12m^2$, $-15m^2$ и $4m^2$.
Запишем сгруппированное выражение: $(12m^2 - 15m^2 + 4m^2) - 10$.
Складываем коэффициенты: $(12 - 15 + 4)m^2 - 10 = (-3 + 4)m^2 - 10 = 1m^2 - 10$.
Коэффициент $1$ перед буквой можно не писать. Получаем $m^2 - 10$.
Ответ: $m^2 - 10$

г) В выражении $3y^2 - y + 4y^2 - 2y + 3y$ есть две группы подобных слагаемых.
1. Слагаемые с $y^2$: $3y^2$ и $4y^2$.
2. Слагаемые с $y$: $-y$ (то есть $-1y$), $-2y$ и $3y$.
Группируем их: $(3y^2 + 4y^2) + (-y - 2y + 3y)$.
Складываем коэффициенты: $(3+4)y^2 + (-1-2+3)y = 7y^2 + 0y$.
Так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю ($0y = 0$), этот член можно опустить. В итоге остается $7y^2$.
Ответ: $7y^2$

д) В выражении $abc - bc + 2abc + 3bc - 4abc$ есть две группы подобных слагаемых.
1. Слагаемые с буквенной частью $abc$: $abc$ (то есть $1abc$), $2abc$ и $-4abc$.
2. Слагаемые с буквенной частью $bc$: $-bc$ (то есть $-1bc$) и $3bc$.
Группируем их: $(abc + 2abc - 4abc) + (-bc + 3bc)$.
Складываем коэффициенты: $(1+2-4)abc + (-1+3)bc = -1abc + 2bc$.
Запишем выражение без коэффициента $-1$ и начнем с положительного члена: $2bc - abc$.
Ответ: $2bc - abc$

е) В выражении $7x - z - 3x - 5z - 4x - 7z + 1$ есть три группы подобных слагаемых.
1. Слагаемые с $x$: $7x$, $-3x$ и $-4x$.
2. Слагаемые с $z$: $-z$ (то есть $-1z$), $-5z$ и $-7z$.
3. Свободный член: $1$.
Группируем их: $(7x - 3x - 4x) + (-z - 5z - 7z) + 1$.
Складываем коэффициенты: $(7-3-4)x + (-1-5-7)z + 1 = 0x - 13z + 1$.
Слагаемое $0x$ равно нулю, поэтому его опускаем. Получаем $-13z + 1$ или, что то же самое, $1 - 13z$.
Ответ: $1 - 13z$