Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.95 Как известно, перемножить непосредственно можно только два числа. Поэтому для вычисления произведения $xyz$ (без изменения порядка множителей) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки, т. е. представить его как $(xy)z$ или как $x(yz)$. Итак, в выражении $xyz$ можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении $xyzt$? Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt?

Чтобы вычислить произведение четырех чисел $xyzt$, необходимо последовательно выполнить три операции умножения, поскольку каждая операция умножения применяется только к двум числам. Расстановка скобок определяет порядок этих операций.

Вычисление произведения $xyzt$ всегда завершается одним, последним, умножением. Это последнее умножение должно разделить все выражение на два множителя. Для выражения $xyzt$ есть три возможных места для такого разделения:

1. Между $x$ и $yzt$, что дает вид $x \cdot (yzt)$.
2. Между $xy$ и $zt$, что дает вид $(xy) \cdot (zt)$.
3. Между $xyz$ и $t$, что дает вид $(xyz) \cdot t$.

Теперь рассмотрим каждый из этих трех случаев подробно:

Случай 1: $x \cdot (yzt)$
В этом случае нам нужно сначала вычислить произведение $yzt$. Как указано в условии задачи, для произведения трех чисел есть два способа расстановки скобок: $(yz)t$ и $y(zt)$. Это дает нам два итоговых варианта:
а) $x((yz)t)$
б) $x(y(zt))$

Случай 2: $(xy) \cdot (zt)$
Здесь оба множителя, $xy$ и $zt$, являются произведениями двух чисел. Для них скобки расставляются однозначно. Это дает нам только один итоговый вариант:
а) $(xy)(zt)$

Случай 3: $(xyz) \cdot t$
Здесь сначала вычисляется произведение $xyz$. Как и в первом случае, для него есть два способа расстановки скобок: $(xy)z$ и $x(yz)$. Это дает нам еще два итоговых варианта:
а) $((xy)z)t$
б) $(x(yz))t$

Суммируя все варианты из трех случаев, мы получаем $2+1+2=5$ способов расставить скобки в выражении $xyzt$. Вот полный список:
1. $((xy)z)t$
2. $(x(yz))t$
3. $(xy)(zt)$
4. $x((yz)t)$
5. $x(y(zt))$

Ответ: В выражении $xyzt$ можно поставить скобки 5 способами.

Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Равенство всех этих выражений следует из сочетательного (ассоциативного) закона умножения, который гласит, что для любых чисел $a, b, c$ справедливо равенство: $(ab)c = a(bc)$. Используя этот закон, мы можем доказать, что все 5 полученных выражений равны между собой.

Докажем, что все варианты можно привести к одному, например, к $((xy)z)t$.

1. Рассмотрим выражение $(x(yz))t$.
По сочетательному закону для множителей $x, y, z$ имеем: $x(yz) = (xy)z$.
Подставив это в выражение, получаем: $(x(yz))t = ((xy)z)t$.

2. Рассмотрим выражение $(xy)(zt)$.
Применим сочетательный закон к множителям $a=(xy), b=z, c=t$.
По закону $(ab)c = a(bc)$, значит $((xy)z)t = (xy)(zt)$. Таким образом, этот вариант также равен $((xy)z)t$.

3. Рассмотрим выражение $x((yz)t)$.
Применим сочетательный закон к множителям $a=x, b=(yz), c=t$.
По закону $a(bc) = (ab)c$, значит $x((yz)t) = (x(yz))t$.
Как мы уже показали в пункте 1, $(x(yz))t$ равен $((xy)z)t$.
Следовательно, $x((yz)t) = ((xy)z)t$.

4. Рассмотрим выражение $x(y(zt))$.
Сначала применим сочетательный закон к внутренним скобкам с множителями $y, z, t$: $y(zt) = (yz)t$.
Подставив, получаем: $x(y(zt)) = x((yz)t)$.
Как мы показали в пункте 3, $x((yz)t)$ равен $((xy)z)t$.
Следовательно, $x(y(zt)) = ((xy)z)t$.

Таким образом, мы показали, что все пять способов расстановки скобок приводят к одному и тому же выражению $((xy)z)t$, а значит, все они равны между собой.

Ответ: Все полученные выражения равны, так как они могут быть преобразованы друг в друга с помощью многократного применения сочетательного закона умножения $(ab)c = a(bc)$.

3.96 В выражениях $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ и $2:3:4:5$ поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений. Сделайте вывод.

Для выражения $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения. Поскольку умножение является ассоциативной операцией, результат не должен зависеть от порядка вычислений.

1. $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (6 \cdot 4) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

2. $(2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 = (2 \cdot 12) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

3. $2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5)) = 2 \cdot (3 \cdot 20) = 2 \cdot 60 = 120$

4. $2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (12 \cdot 5) = 2 \cdot 60 = 120$

5. $(2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5) = 6 \cdot 20 = 120$

Ответ: во всех случаях результат равен 120.

Для выражения $2 : 3 : 4 : 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения. Деление не является ассоциативной операцией, поэтому результат будет зависеть от порядка вычислений.

1. $((2 : 3) : 4) : 5 = (\frac{2}{3} : 4) : 5 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}) : 5 = \frac{2}{12} : 5 = \frac{1}{6} : 5 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$

2. $(2 : (3 : 4)) : 5 = (2 : \frac{3}{4}) : 5 = (2 \cdot \frac{4}{3}) : 5 = \frac{8}{3} : 5 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$

3. $2 : (3 : (4 : 5)) = 2 : (3 : \frac{4}{5}) = 2 : (3 \cdot \frac{5}{4}) = 2 : \frac{15}{4} = 2 \cdot \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

4. $2 : ((3 : 4) : 5) = 2 : (\frac{3}{4} : 5) = 2 : (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}) = 2 : \frac{3}{20} = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$

5. $(2 : 3) : (4 : 5) = \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: в зависимости от расстановки скобок получаются разные значения: $\frac{1}{30}$, $\frac{8}{15}$, $13\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$.

Вывод

Умножение обладает сочетательным (ассоциативным) свойством. Это означает, что для любых чисел $a, b, c$ верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Поэтому при вычислении произведения нескольких чисел порядок действий (расстановка скобок) не влияет на результат.

Деление не обладает сочетательным (ассоциативным) свойством. То есть, в общем случае $(a : b) : c \ne a : (b : c)$. Поэтому при вычислении частного нескольких чисел результат напрямую зависит от порядка действий (расстановки скобок).

3.97 Докажите, что $x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u.$

Для доказательства данного равенства необходимо последовательно раскрыть скобки в его левой части. Это делается на основе сочетательного (ассоциативного) свойства сложения.

Сочетательное свойство сложения гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство означает, что результат сложения трех и более чисел не зависит от того, как расставлены скобки, поэтому их можно опускать.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $x + (y + (z + (t + u)))$.

Начнем преобразование с самых внутренних скобок.

1. Сначала рассмотрим выражение $z + (t + u)$. По сочетательному свойству, его можно записать как $z + t + u$. Теперь исходное выражение выглядит так: $x + (y + (z + t + u))$.
2. Далее преобразуем выражение в оставшихся скобках: $y + (z + t + u)$. Снова применяем сочетательное свойство сложения. Мы складываем $y$ с суммой $(z + t + u)$, что эквивалентно последовательному сложению всех членов: $y + z + t + u$. После подстановки выражение принимает вид: $x + (y + z + t + u)$.
3. На последнем шаге убираем оставшиеся скобки, снова используя сочетательное свойство: $x + (y + z + t + u) = x + y + z + t + u$.

В результате последовательных преобразований мы показали, что левая часть равенства тождественно равна его правой части: $x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u$.

Ответ: Равенство доказано путем многократного применения сочетательного свойства сложения, которое позволяет последовательно раскрывать скобки, не изменяя результат суммы.

1 Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел.

Основные свойства сложения и умножения чисел можно записать с помощью буквенных выражений. Для любых чисел a, b и c верны следующие равенства:

Переместительное свойство сложения

Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В виде формулы это записывается так:

$a + b = b + a$

Ответ:

Сочетательное свойство сложения

Это свойство позволяет группировать слагаемые в любом порядке. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Формула выглядит следующим образом:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ответ:

Переместительное свойство умножения

Аналогично сложению, от перемены мест множителей произведение не изменяется. Формула свойства:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ:

Сочетательное свойство умножения

Это свойство позволяет группировать множители в любом порядке. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Формула свойства:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Ответ:

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Это свойство связывает операции сложения и умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности и сложить полученные результаты. Формула свойства:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ответ:

2 На основании каких законов можно утверждать, что выполняется равенство:

a) $ -2a - c + 3y = 3y - 2a - c $;

б) $ 2a \cdot (-3c) = -6ac $;

в) $ 5(x - y) = 5x - 5y $?

а) Равенство $-2a - c + 3y = 3y - 2a - c$ выполняется на основании переместительного (коммутативного) закона сложения. Этот закон утверждает, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых. В данном выражении левая и правая части содержат одни и те же слагаемые: $(-2a)$, $(-c)$ и $(3y)$, но они записаны в разном порядке. Формула переместительного закона для двух слагаемых: $a + b = b + a$. Этот закон справедлив для любого количества слагаемых.

Ответ: переместительный (коммутативный) закон сложения.

б) Равенство $2a \cdot (-3c) = -6ac$ выполняется на основании двух законов умножения: переместительного (коммутативного) и сочетательного (ассоциативного).

1. Сначала мы можем переставить множители, используя переместительный закон ($ab = ba$), чтобы сгруппировать числовые коэффициенты и переменные: $2a \cdot (-3c) = 2 \cdot a \cdot (-3) \cdot c = 2 \cdot (-3) \cdot a \cdot c$.

2. Затем, используя сочетательный закон ($(ab)c = a(bc)$), мы можем сгруппировать множители для удобства вычисления: $(2 \cdot (-3)) \cdot (a \cdot c)$.

3. Выполняя умножение в скобках, получаем: $-6 \cdot ac = -6ac$.

Таким образом, для преобразования левой части в правую последовательно применяются оба закона.

Ответ: переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы умножения.

в) Равенство $5(x - y) = 5x - 5y$ выполняется на основании распределительного (дистрибутивного) закона умножения относительно вычитания. Этот закон гласит, что для умножения числа на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое по отдельности, а затем вычесть второе произведение из первого. Формула закона: $a(b - c) = ab - ac$. В данном случае $a=5$, $b=x$ и $c=y$, поэтому $5(x - y) = 5 \cdot x - 5 \cdot y = 5x - 5y$.

Ответ: распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания.

3 Чему равен коэффициент в каждом из произведений:

-7ab; $\frac{2}{3}x^2$; mn; -xyz?

Коэффициент – это числовой множитель в алгебраическом выражении, который стоит перед буквенной частью. Определим коэффициент для каждого из данных произведений.

-7ab

В выражении $-7ab$ буквенная часть представлена произведением переменных $a$ и $b$. Числовой множитель, который стоит перед этой буквенной частью, равен $-7$.

Ответ: $-7$.

$\frac{2}{3}x^2$

В данном выражении буквенная часть – это $x^2$. Числовой множитель, стоящий перед ней, – это обыкновенная дробь $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

mn

В выражении $mn$ числовой множитель явно не записан. В таких случаях, когда перед буквенным произведением отсутствует число, коэффициент считается равным $1$, так как любое выражение, умноженное на $1$, не меняется: $1 \cdot mn = mn$.

Ответ: $1$.

-xyz

В выражении $-xyz$ перед буквенной частью $xyz$ стоит знак "минус". Это эквивалентно умножению на $-1$. Таким образом, выражение можно записать как $-1 \cdot xyz$. Следовательно, коэффициент равен $-1$.

Ответ: $-1$.

4 Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «-». Покажите их применение на примерах.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»

Если выражение в скобках используется со знаком «плюс», то при раскрытии скобок знаки слагаемых, заключенных в них, сохраняются. Скобки и стоящий перед ними знак «+» при этом опускаются.

Это правило можно записать в виде формулы: $a + (b - c + d) = a + b - c + d$.

Примеры применения:

1. Раскрыть скобки и найти значение выражения $28 + (12 - 20)$.

Решение: $28 + (12 - 20) = 28 + 12 - 20 = 40 - 20 = 20$.

2. Упростить выражение $x + (-y + 5) + z$.

Решение: $x + (-y + 5) + z = x - y + 5 + z$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки всех слагаемых, стоявших в скобках.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»

Если выражение в скобках используется со знаком «минус», то при раскрытии скобок необходимо опустить скобки и знак «-» перед ними, а знаки всех слагаемых, заключенных в скобки, изменить на противоположные (знак «+» на «-», а знак «-» на «+»).

Это правило можно записать в виде формулы: $a - (b - c + d) = a - b + c - d$.

Примеры применения:

1. Раскрыть скобки и найти значение выражения $50 - (25 - 10)$.

Решение: $50 - (25 - 10) = 50 - 25 + 10 = 25 + 10 = 35$.

2. Упростить выражение $a - (b + c - 8)$.

Решение: $a - (b + c - 8) = a - b - c + 8$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно опустить скобки и этот знак «-», изменив знаки всех слагаемых, стоявших в скобках, на противоположные.

5 Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении. Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения $x(2a - b + c)$.

Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении

Чтобы умножить одночлен (или любое другое выражение) на многочлен, заключенный в скобки, необходимо этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть сложить с учетом их знаков).

Это правило является следствием распределительного закона умножения. В общем виде его можно записать формулой: $a(b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$

Ответ: Правило раскрытия скобок в произведении заключается в умножении множителя, стоящего перед скобками, на каждый член, находящийся внутри скобок, с последующим сложением полученных результатов.

Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения $x(2a - b + c)$

Воспользуемся сформулированным правилом. В данном выражении множитель перед скобкой — это $x$, а в скобках находится многочлен $2a - b + c$, состоящий из трех членов: $2a$, $-b$ и $c$.

Выполним умножение $x$ на каждый член в скобках последовательно:

1. Умножаем $x$ на первый член $2a$: $x \cdot 2a = 2ax$.
2. Умножаем $x$ на второй член $-b$: $x \cdot (-b) = -bx$.
3. Умножаем $x$ на третий член $c$: $x \cdot c = cx$.

Теперь сложим полученные произведения: $2ax + (-bx) + cx$. Убирая лишние скобки, получаем конечный результат.

Ответ: $x(2a - b + c) = 2ax - bx + cx$.