Номер 3.96, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.96 В выражениях $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ и $2:3:4:5$ поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений. Сделайте вывод.

Для выражения $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения. Поскольку умножение является ассоциативной операцией, результат не должен зависеть от порядка вычислений.

1. $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (6 \cdot 4) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

2. $(2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 = (2 \cdot 12) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

3. $2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5)) = 2 \cdot (3 \cdot 20) = 2 \cdot 60 = 120$

4. $2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (12 \cdot 5) = 2 \cdot 60 = 120$

5. $(2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5) = 6 \cdot 20 = 120$

Ответ: во всех случаях результат равен 120.

Для выражения $2 : 3 : 4 : 5$

Расставим скобки всеми возможными способами и вычислим значения. Деление не является ассоциативной операцией, поэтому результат будет зависеть от порядка вычислений.

1. $((2 : 3) : 4) : 5 = (\frac{2}{3} : 4) : 5 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}) : 5 = \frac{2}{12} : 5 = \frac{1}{6} : 5 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$

2. $(2 : (3 : 4)) : 5 = (2 : \frac{3}{4}) : 5 = (2 \cdot \frac{4}{3}) : 5 = \frac{8}{3} : 5 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$

3. $2 : (3 : (4 : 5)) = 2 : (3 : \frac{4}{5}) = 2 : (3 \cdot \frac{5}{4}) = 2 : \frac{15}{4} = 2 \cdot \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

4. $2 : ((3 : 4) : 5) = 2 : (\frac{3}{4} : 5) = 2 : (\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}) = 2 : \frac{3}{20} = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$

5. $(2 : 3) : (4 : 5) = \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: в зависимости от расстановки скобок получаются разные значения: $\frac{1}{30}$, $\frac{8}{15}$, $13\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$.

Вывод

Умножение обладает сочетательным (ассоциативным) свойством. Это означает, что для любых чисел $a, b, c$ верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Поэтому при вычислении произведения нескольких чисел порядок действий (расстановка скобок) не влияет на результат.

Деление не обладает сочетательным (ассоциативным) свойством. То есть, в общем случае $(a : b) : c \ne a : (b : c)$. Поэтому при вычислении частного нескольких чисел результат напрямую зависит от порядка действий (расстановки скобок).