Номер 3.89, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.89 Верно ли, что $(x-y)z = xz - yz$?Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Верно ли, что $(x - y)z = xz - yz$?

Да, данное равенство верно. Это свойство называется распределительным (или дистрибутивным) законом умножения относительно вычитания. Он гласит, что для умножения разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого произведения вычесть второе.

Алгебраически это доказывается раскрытием скобок в левой части равенства:
$(x - y)z = x \cdot z - y \cdot z = xz - yz$

Поскольку левая часть тождественно преобразуется в правую, равенство является верным.

Ответ: Да, равенство верно.

Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Для геометрической интерпретации будем считать, что переменные $x$, $y$, $z$ являются положительными числами, обозначающими длины сторон, и при этом $x > y$.

Рассмотрим большой прямоугольник со сторонами $x$ и $z$. Его площадь $S_{\text{большой}}$ равна $xz$.

Мысленно разделим сторону длиной $x$ на два отрезка: один длиной $y$ и другой длиной $x - y$. Проведя через точку деления отрезок, параллельный стороне $z$, мы разделим большой прямоугольник на два меньших.

Один из меньших прямоугольников будет иметь стороны $y$ и $z$. Его площадь $S_1$ равна $yz$.

Другой меньший прямоугольник будет иметь стороны $(x - y)$ и $z$. Его площадь $S_2$ равна $(x - y)z$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, на которые он разделен:
$S_{\text{большой}} = S_1 + S_2$
Подставив выражения для площадей, получим:
$xz = yz + (x - y)z$

Если из этого равенства выразить площадь второго прямоугольника ($S_2$), мы получим исходное тождество:
$(x - y)z = xz - yz$

Таким образом, геометрический смысл этого равенства следующий: площадь прямоугольника со сторонами $(x - y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x$ и $z$ и прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.

Ответ: Площадь прямоугольника со сторонами $(x-y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x$ и $z$ и прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.