Номер 3.88, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Приведение подобных слагаемых. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.88, страница 81.

Условие.

3.88 Лодка плыла некоторое время по течению реки и столько же времени против течения. Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства введем следующие обозначения:

• $v_{л}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_{т}$ – скорость течения реки.
• $t$ – время, которое лодка плыла по течению (и столько же времени против течения).

Вычисление общего расстояния, пройденного лодкой

Когда лодка плывет по течению, ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{л} + v_{т}$.
За время $t$ она пройдет расстояние: $S_{по} = (v_{л} + v_{т}) \cdot t$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т}$.
За то же время $t$ она пройдет расстояние: $S_{против} = (v_{л} - v_{т}) \cdot t$.

Общее расстояние $S_{общ}$, которое проплыла лодка, равно сумме этих двух расстояний: $S_{общ} = S_{по} + S_{против}$
$S_{общ} = (v_{л} + v_{т}) \cdot t + (v_{л} - v_{т}) \cdot t$

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $t$ за скобки: $S_{общ} = t \cdot [ (v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т}) ]$
$S_{общ} = t \cdot (v_{л} + v_{т} + v_{л} - v_{т})$
$S_{общ} = t \cdot (2v_{л}) = 2v_{л}t$.

Вычисление времени для прохождения того же расстояния в стоячей воде

Теперь нам нужно доказать, что для прохождения этого расстояния $S_{общ}$ в стоячей воде потребуется общее время $t_{общ} = t + t = 2t$.

В стоячей воде скорость течения равна нулю, поэтому скорость лодки равна ее собственной скорости $v_{л}$.
Найдем время $t_{стоячая}$, необходимое для прохождения расстояния $S_{общ}$ со скоростью $v_{л}$, используя формулу $t = S / v$: $t_{стоячая} = \frac{S_{общ}}{v_{л}}$

Подставим найденное ранее выражение для $S_{общ}$: $t_{стоячая} = \frac{2v_{л}t}{v_{л}}$

Сократив $v_{л}$ в числителе и знаменателе, получаем: $t_{стоячая} = 2t$.

Следовательно, время, необходимое для прохождения того же расстояния в стоячей воде ($t_{стоячая} = 2t$), равно общему времени, затраченному на плавание по реке ($t_{общ} = t + t = 2t$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Общее расстояние, пройденное лодкой, составляет $2v_{л}t$. Чтобы пройти это же расстояние в стоячей воде со скоростью $v_{л}$, потребуется время $\frac{2v_{л}t}{v_{л}} = 2t$, что равно общему времени движения по реке.