Номер 3.81, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.81 РАССУЖДАЕМ

Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми.

Восстановите записи:

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 10b;$

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 6a.$

Задача состоит в том, чтобы восстановить знаки «+» или «-» в двух алгебраических выражениях так, чтобы равенства стали верными. Для этого нужно выполнить приведение подобных слагаемых.

7a ☐ 5b ☐ 3a ☐ b ☐ 4b ☐ 4a = 10b;

В этом уравнении нам нужно расставить знаки в пустых квадратах так, чтобы в результате получилось $10b$. Это означает, что после приведения подобных слагаемых сумма членов с переменной $a$ должна быть равна $0$, а сумма членов с переменной $b$ должна быть равна $10b$.

Шаг 1: Анализ слагаемых с переменной $a$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$: $7a$, $3a$, $4a$. Их сумма должна быть равна $0$. Первый член $7a$ стоит в начале выражения, поэтому он считается положительным. Нам нужно подобрать знаки для $3a$ и $4a$. Составим уравнение для их коэффициентов:

$7 \pm 3 \pm 4 = 0$

Проверим возможные комбинации знаков. Единственный вариант, который дает в сумме $0$, это $7 - 3 - 4 = 0$. Следовательно, выражение для членов с $a$ должно выглядеть как $7a - 3a - 4a$. Это значит, что перед $3a$ должен стоять знак «-», а перед $4a$ — также знак «-».

Шаг 2: Анализ слагаемых с переменной $b$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$: $5b$, $b$ (что равносильно $1b$), $4b$. Их сумма должна быть равна $10b$. Составим уравнение для их коэффициентов:

$\pm 5 \pm 1 \pm 4 = 10$

Чтобы получить положительное число $10$, логично предположить, что все знаки будут «+». Проверим эту гипотезу: $5 + 1 + 4 = 10$. Эта комбинация дает нужный результат. Другие комбинации (например, с одним или несколькими знаками «-») дадут результат меньше $10$. Следовательно, все члены с $b$ должны быть со знаком «+».

Шаг 3: Восстановление полного выражения.

Теперь расставим найденные знаки в исходном выражении: перед $5b$, $b$ и $4b$ ставим «+», перед $3a$ — «-», и перед $4a$ — «-».

$7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a$

Проверим полученное равенство: $(7a - 3a - 4a) + (5b + b + 4b) = (7-3-4)a + (5+1+4)b = 0 \cdot a + 10b = 10b$. Равенство верно.

Ответ: $7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a = 10b$.

7a ☐ 5b ☐ 3a ☐ b ☐ 4b ☐ 4a = 6a;

В этом уравнении результат равен $6a$. Это означает, что сумма членов с переменной $b$ должна быть равна $0$, а сумма членов с переменной $a$ должна быть равна $6a$.

Шаг 1: Анализ слагаемых с переменной $a$.

Слагаемые с $a$: $7a$, $3a$, $4a$. Их сумма должна равняться $6a$. Уравнение для коэффициентов:

$7 \pm 3 \pm 4 = 6$

Проверяем комбинации: единственным подходящим вариантом является $7 + 3 - 4 = 6$. Значит, знаки должны быть: $+7a$, $+3a$, $-4a$. Перед $3a$ должен стоять знак «+», а перед $4a$ — знак «-».

Шаг 2: Анализ слагаемых с переменной $b$.

Слагаемые с $b$: $5b$, $b$, $4b$. Их сумма должна равняться $0$. Уравнение для коэффициентов:

$\pm 5 \pm 1 \pm 4 = 0$

Здесь возможны два варианта решения:

1. $+5 - 1 - 4 = 0$. Это соответствует знакам $+5b$, $-b$, $-4b$.
2. $-5 + 1 + 4 = 0$. Это соответствует знакам $-5b$, $+b$, $+4b$.

Шаг 3: Восстановление полного выражения.

Поскольку для слагаемых с $b$ есть два возможных набора знаков, то и для всего выражения существует два правильных решения.

Вариант 1: Используем знаки $+5b, -b, -4b$.

$7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a$

Проверка: $(7a + 3a - 4a) + (5b - b - 4b) = (7+3-4)a + (5-1-4)b = 6a + 0 \cdot b = 6a$. Равенство выполняется.

Вариант 2: Используем знаки $-5b, +b, +4b$.

$7a - 5b + 3a + b + 4b - 4a$

Проверка: $(7a + 3a - 4a) + (-5b + b + 4b) = (7+3-4)a + (-5+1+4)b = 6a + 0 \cdot b = 6a$. Это равенство также выполняется.

Ответ: У данной задачи два верных решения: $7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a = 6a$ и $7a - 5b + 3a + b + 4b - 4a = 6a$.