Номер 3.80, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Приведение подобных слагаемых. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.80, страница 80.

Условие.

3.80 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

1) Учитель показал учащимся арифметический фокус. Он сказал: «Задумайте какое-нибудь число, прибавьте к нему 5, сумму умножьте на 2, к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число. Теперь я отгадаю, какое число у вас получилось. У вас получилось 18».

Покажем с помощью алгебраических преобразований, как учитель узнал результат.

Задумайте число: $a$
Прибавьте к нему 5: $a + 5$
Умножьте сумму на 2: $(a + 5) \cdot 2$
Прибавьте 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
Вычтите удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Упростим полученное выражение:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a = 18.$

2) Покажите сами с помощью алгебраических преобразований, на чём основан следующий фокус: «Задумайте число, прибавьте к нему 4, эту сумму умножьте на 3, из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12. Вы получили число 24».

3) Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры, на чём он основан.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы показать, как учитель узнал результат, необходимо перевести последовательность его действий в алгебраическое выражение и упростить его. Пусть задуманное учениками число — это переменная $a$.

Выполним все шаги фокуса по порядку:

1. Задумано число: $a$

2. К нему прибавили 5: $a + 5$

3. Сумму умножили на 2: $(a + 5) \cdot 2$

4. К произведению прибавили 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$

5. Из результата вычли удвоенное задуманное число (то есть $2a$): $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a$

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые:

$(2a - 2a) + (10 + 8) = 0 + 18 = 18$

Как видно из преобразований, переменная $a$ сокращается, и конечный результат не зависит от того, какое число было задумано изначально. Он всегда будет равен 18. Именно на этом и основан фокус.

Ответ: Алгебраическое выражение, соответствующее фокусу, $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$, после упрощения равно 18 независимо от значения $a$.

2)

Чтобы объяснить секрет второго фокуса, также представим его в виде алгебраического выражения. Пусть задуманное число — это $x$.

Последовательность действий будет такой:

1. Задумано число: $x$

2. К нему прибавили 4: $x + 4$

3. Сумму умножили на 3: $(x + 4) \cdot 3$

4. Из произведения вычли утроенное задуманное число (то есть $3x$): $(x + 4) \cdot 3 - 3x$

5. К результату прибавили 12: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$

Упростим конечное выражение:

$(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(3x - 3x) + (12 + 12) = 0 + 24 = 24$

В этом фокусе, как и в предыдущем, задуманное число $x$ в ходе вычислений сокращается. Поэтому результат всегда оказывается одним и тем же — 24, вне зависимости от того, какое число было задумано.

Ответ: Фокус основан на том, что при алгебраических преобразованиях выражения $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$ переменная $x$ сокращается, и результат всегда равен 24.

3)

Придумаем собственный арифметический фокус и покажем с помощью алгебры, как он работает.

Текст фокуса: «Задумайте любое число. Умножьте его на 4. К результату прибавьте 12. Полученную сумму разделите на 2. Теперь отнимите удвоенное задуманное число. Я знаю, у вас получилось 6».

Алгебраическое обоснование:

Пусть задуманное число — это $y$.

Запишем все действия в виде математического выражения:

1. Задумано число: $y$

2. Умножили на 4: $4y$

3. Прибавили 12: $4y + 12$

4. Разделили на 2: $(4y + 12) \div 2$

5. Отняли удвоенное задуманное число (то есть $2y$): $(4y + 12) \div 2 - 2y$

Упростим полученное выражение:

$(4y + 12) \div 2 - 2y = (4y \div 2 + 12 \div 2) - 2y = 2y + 6 - 2y$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2y - 2y) + 6 = 0 + 6 = 6$

Секрет фокуса в том, что итоговый результат не зависит от задуманного числа $y$, так как оно сокращается в процессе вычислений. Ответ всегда будет 6.

Ответ: Пример фокуса: «Задумайте число, умножьте на 4, прибавьте 12, разделите на 2 и отнимите удвоенное задуманное число». Алгебраическое обоснование: $(4y + 12) \div 2 - 2y = 2y + 6 - 2y = 6$.