Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.78 Составьте выражение по условию задачи и упростите его:

a) На одной полке было $n$ книг, на другой — в 3 раза больше, чем на первой, а на третьей — на 5 книг меньше, чем на второй. Сколько книг было на трёх полках вместе?

б) В коробке на столе учителя лежат цветные карандаши. Из них $m$ карандашей красные, синих на 7 меньше, а зелёных в 2 раза больше, чем синих. Сколько в коробке карандашей?

а) Пусть $n$ — количество книг на первой полке.
Согласно условию, на второй полке книг было в 3 раза больше, чем на первой. Значит, на второй полке было $3 \cdot n = 3n$ книг.
На третьей полке было на 5 книг меньше, чем на второй. Значит, на третьей полке было $3n - 5$ книг.
Чтобы найти общее количество книг на трёх полках, нужно сложить количество книг на каждой полке. Составим выражение:
$n + 3n + (3n - 5)$
Теперь упростим это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$n + 3n + 3n - 5 = (1 + 3 + 3)n - 5 = 7n - 5$
Таким образом, всего на трёх полках было $7n - 5$ книг.
Ответ: $7n - 5$

б) Пусть $m$ — количество красных карандашей в коробке.
Согласно условию, синих карандашей было на 7 меньше, чем красных. Значит, синих карандашей было $m - 7$.
Зелёных карандашей было в 2 раза больше, чем синих. Значит, зелёных карандашей было $2 \cdot (m - 7)$.
Чтобы найти общее количество карандашей в коробке, нужно сложить количество красных, синих и зелёных карандашей. Составим выражение:
$m + (m - 7) + 2(m - 7)$
Теперь упростим это выражение. Сначала раскроем скобки:
$m + m - 7 + 2 \cdot m - 2 \cdot 7 = m + m - 7 + 2m - 14$
Теперь приведём подобные слагаемые:
$(m + m + 2m) + (-7 - 14) = 4m - 21$
Таким образом, всего в коробке был $4m - 21$ карандаш.
Ответ: $4m - 21$

3.79 a) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Скорость первого пешехода $a$ км/ч, скорость второго на 1 км/ч больше. Чему равно расстояние между $A$ и $B$, если пешеходы встретились через 2 ч?

б) Производительность одного принтера $n$ страниц в минуту, а другого на 4 страницы больше. Сколько страниц можно напечатать с помощью этих двух принтеров за 1 ч?

а)

Для решения задачи найдем скорость сближения пешеходов. Скорость первого пешехода равна $a$ км/ч. Скорость второго пешехода на 1 км/ч больше, то есть она равна $(a + 1)$ км/ч.

Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = a + (a + 1) = 2a + 1$ км/ч.

Расстояние $S$ между пунктами A и B — это произведение скорости сближения на время $t$, через которое пешеходы встретились.

По условию, время $t = 2$ ч. Найдем расстояние:

$S = v_{сбл} \times t = (2a + 1) \times 2 = 4a + 2$ км.

Ответ: $4a + 2$ км.

б)

Сначала найдем совместную производительность двух принтеров. Производительность первого принтера равна $n$ страниц в минуту. Производительность второго на 4 страницы больше, то есть $(n + 4)$ страниц в минуту.

Совместная производительность $P_{общ}$ равна сумме их производительностей:

$P_{общ} = n + (n + 4) = 2n + 4$ страниц в минуту.

Вопрос задачи — сколько страниц можно напечатать за 1 час. Необходимо перевести время в минуты, так как производительность дана в страницах в минуту:

1 час = 60 минут.

Теперь умножим совместную производительность на время в минутах, чтобы найти общее количество напечатанных страниц:

Количество страниц = $P_{общ} \times t = (2n + 4) \times 60 = 120n + 240$ страниц.

Ответ: $120n + 240$ страниц.

3.80 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

1) Учитель показал учащимся арифметический фокус. Он сказал: «Задумайте какое-нибудь число, прибавьте к нему 5, сумму умножьте на 2, к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число. Теперь я отгадаю, какое число у вас получилось. У вас получилось 18».

Покажем с помощью алгебраических преобразований, как учитель узнал результат.

Задумайте число: $a$
Прибавьте к нему 5: $a + 5$
Умножьте сумму на 2: $(a + 5) \cdot 2$
Прибавьте 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
Вычтите удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Упростим полученное выражение:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a = 18.$

2) Покажите сами с помощью алгебраических преобразований, на чём основан следующий фокус: «Задумайте число, прибавьте к нему 4, эту сумму умножьте на 3, из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12. Вы получили число 24».

3) Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры, на чём он основан.

1)

Чтобы показать, как учитель узнал результат, необходимо перевести последовательность его действий в алгебраическое выражение и упростить его. Пусть задуманное учениками число — это переменная $a$.

Выполним все шаги фокуса по порядку:

1. Задумано число: $a$

2. К нему прибавили 5: $a + 5$

3. Сумму умножили на 2: $(a + 5) \cdot 2$

4. К произведению прибавили 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$

5. Из результата вычли удвоенное задуманное число (то есть $2a$): $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a$

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и числовые слагаемые:

$(2a - 2a) + (10 + 8) = 0 + 18 = 18$

Как видно из преобразований, переменная $a$ сокращается, и конечный результат не зависит от того, какое число было задумано изначально. Он всегда будет равен 18. Именно на этом и основан фокус.

Ответ: Алгебраическое выражение, соответствующее фокусу, $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$, после упрощения равно 18 независимо от значения $a$.

2)

Чтобы объяснить секрет второго фокуса, также представим его в виде алгебраического выражения. Пусть задуманное число — это $x$.

Последовательность действий будет такой:

1. Задумано число: $x$

2. К нему прибавили 4: $x + 4$

3. Сумму умножили на 3: $(x + 4) \cdot 3$

4. Из произведения вычли утроенное задуманное число (то есть $3x$): $(x + 4) \cdot 3 - 3x$

5. К результату прибавили 12: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$

Упростим конечное выражение:

$(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(3x - 3x) + (12 + 12) = 0 + 24 = 24$

В этом фокусе, как и в предыдущем, задуманное число $x$ в ходе вычислений сокращается. Поэтому результат всегда оказывается одним и тем же — 24, вне зависимости от того, какое число было задумано.

Ответ: Фокус основан на том, что при алгебраических преобразованиях выражения $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$ переменная $x$ сокращается, и результат всегда равен 24.

3)

Придумаем собственный арифметический фокус и покажем с помощью алгебры, как он работает.

Текст фокуса: «Задумайте любое число. Умножьте его на 4. К результату прибавьте 12. Полученную сумму разделите на 2. Теперь отнимите удвоенное задуманное число. Я знаю, у вас получилось 6».

Алгебраическое обоснование:

Пусть задуманное число — это $y$.

Запишем все действия в виде математического выражения:

1. Задумано число: $y$

2. Умножили на 4: $4y$

3. Прибавили 12: $4y + 12$

4. Разделили на 2: $(4y + 12) \div 2$

5. Отняли удвоенное задуманное число (то есть $2y$): $(4y + 12) \div 2 - 2y$

Упростим полученное выражение:

$(4y + 12) \div 2 - 2y = (4y \div 2 + 12 \div 2) - 2y = 2y + 6 - 2y$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(2y - 2y) + 6 = 0 + 6 = 6$

Секрет фокуса в том, что итоговый результат не зависит от задуманного числа $y$, так как оно сокращается в процессе вычислений. Ответ всегда будет 6.

Ответ: Пример фокуса: «Задумайте число, умножьте на 4, прибавьте 12, разделите на 2 и отнимите удвоенное задуманное число». Алгебраическое обоснование: $(4y + 12) \div 2 - 2y = 2y + 6 - 2y = 6$.

3.81 РАССУЖДАЕМ

Учащиеся выполняли на доске упражнения на приведение подобных слагаемых и затем стёрли знаки между слагаемыми.

Восстановите записи:

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 10b;$

$7a \Box 5b \Box 3a \Box b \Box 4b \Box 4a = 6a.$

Задача состоит в том, чтобы восстановить знаки «+» или «-» в двух алгебраических выражениях так, чтобы равенства стали верными. Для этого нужно выполнить приведение подобных слагаемых.

7a ☐ 5b ☐ 3a ☐ b ☐ 4b ☐ 4a = 10b;

В этом уравнении нам нужно расставить знаки в пустых квадратах так, чтобы в результате получилось $10b$. Это означает, что после приведения подобных слагаемых сумма членов с переменной $a$ должна быть равна $0$, а сумма членов с переменной $b$ должна быть равна $10b$.

Шаг 1: Анализ слагаемых с переменной $a$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$: $7a$, $3a$, $4a$. Их сумма должна быть равна $0$. Первый член $7a$ стоит в начале выражения, поэтому он считается положительным. Нам нужно подобрать знаки для $3a$ и $4a$. Составим уравнение для их коэффициентов:

$7 \pm 3 \pm 4 = 0$

Проверим возможные комбинации знаков. Единственный вариант, который дает в сумме $0$, это $7 - 3 - 4 = 0$. Следовательно, выражение для членов с $a$ должно выглядеть как $7a - 3a - 4a$. Это значит, что перед $3a$ должен стоять знак «-», а перед $4a$ — также знак «-».

Шаг 2: Анализ слагаемых с переменной $b$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$: $5b$, $b$ (что равносильно $1b$), $4b$. Их сумма должна быть равна $10b$. Составим уравнение для их коэффициентов:

$\pm 5 \pm 1 \pm 4 = 10$

Чтобы получить положительное число $10$, логично предположить, что все знаки будут «+». Проверим эту гипотезу: $5 + 1 + 4 = 10$. Эта комбинация дает нужный результат. Другие комбинации (например, с одним или несколькими знаками «-») дадут результат меньше $10$. Следовательно, все члены с $b$ должны быть со знаком «+».

Шаг 3: Восстановление полного выражения.

Теперь расставим найденные знаки в исходном выражении: перед $5b$, $b$ и $4b$ ставим «+», перед $3a$ — «-», и перед $4a$ — «-».

$7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a$

Проверим полученное равенство: $(7a - 3a - 4a) + (5b + b + 4b) = (7-3-4)a + (5+1+4)b = 0 \cdot a + 10b = 10b$. Равенство верно.

Ответ: $7a + 5b - 3a + b + 4b - 4a = 10b$.

7a ☐ 5b ☐ 3a ☐ b ☐ 4b ☐ 4a = 6a;

В этом уравнении результат равен $6a$. Это означает, что сумма членов с переменной $b$ должна быть равна $0$, а сумма членов с переменной $a$ должна быть равна $6a$.

Шаг 1: Анализ слагаемых с переменной $a$.

Слагаемые с $a$: $7a$, $3a$, $4a$. Их сумма должна равняться $6a$. Уравнение для коэффициентов:

$7 \pm 3 \pm 4 = 6$

Проверяем комбинации: единственным подходящим вариантом является $7 + 3 - 4 = 6$. Значит, знаки должны быть: $+7a$, $+3a$, $-4a$. Перед $3a$ должен стоять знак «+», а перед $4a$ — знак «-».

Шаг 2: Анализ слагаемых с переменной $b$.

Слагаемые с $b$: $5b$, $b$, $4b$. Их сумма должна равняться $0$. Уравнение для коэффициентов:

$\pm 5 \pm 1 \pm 4 = 0$

Здесь возможны два варианта решения:

1. $+5 - 1 - 4 = 0$. Это соответствует знакам $+5b$, $-b$, $-4b$.
2. $-5 + 1 + 4 = 0$. Это соответствует знакам $-5b$, $+b$, $+4b$.

Шаг 3: Восстановление полного выражения.

Поскольку для слагаемых с $b$ есть два возможных набора знаков, то и для всего выражения существует два правильных решения.

Вариант 1: Используем знаки $+5b, -b, -4b$.

$7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a$

Проверка: $(7a + 3a - 4a) + (5b - b - 4b) = (7+3-4)a + (5-1-4)b = 6a + 0 \cdot b = 6a$. Равенство выполняется.

Вариант 2: Используем знаки $-5b, +b, +4b$.

$7a - 5b + 3a + b + 4b - 4a$

Проверка: $(7a + 3a - 4a) + (-5b + b + 4b) = (7+3-4)a + (-5+1+4)b = 6a + 0 \cdot b = 6a$. Это равенство также выполняется.

Ответ: У данной задачи два верных решения: $7a + 5b + 3a - b - 4b - 4a = 6a$ и $7a - 5b + 3a + b + 4b - 4a = 6a$.