Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.82 Упростите выражение:

а) $a(b + 3) + b(a + 3) - 3(a + b);$

б) $2(x - y) + 6(y - x) - (4x - 4y);$

в) $a(b + c) - b(a + c) - c(a + b);$

г) $m(n - l) + n(l - m) + l(m - n).$

а) $a(b + 3) + b(a + 3) - 3(a + b)$

Для упрощения выражения сначала раскроем все скобки, используя распределительное свойство умножения:

$a(b + 3) = ab + 3a$

$b(a + 3) = ba + 3b = ab + 3b$

$-3(a + b) = -3a - 3b$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$ab + 3a + ab + 3b - 3a - 3b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ab + ab) + (3a - 3a) + (3b - 3b) = 2ab + 0 + 0 = 2ab$

Ответ: $2ab$

б) $2(x - y) + 6(y - x) - (4x - 4y)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$2(x - y) = 2x - 2y$

$6(y - x) = 6y - 6x$

$-(4x - 4y) = -4x + 4y$

Сложим полученные выражения:

$2x - 2y + 6y - 6x - 4x + 4y$

Сгруппируем подобные слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:

$(2x - 6x - 4x) + (-2y + 6y + 4y) = -8x + 8y$

Ответ: $-8x + 8y$

в) $a(b + c) - b(a + c) - c(a + b)$

Раскроем скобки, применяя распределительное свойство:

$ab + ac - (ba + bc) - (ca + cb)$

Учитывая знаки перед скобками, получаем:

$ab + ac - ab - bc - ac - bc$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ab - ab) + (ac - ac) + (-bc - bc) = 0 + 0 - 2bc = -2bc$

Ответ: $-2bc$

г) $m(n - l) + n(l - m) + l(m - n)$

Раскроем все скобки в выражении:

$mn - ml + nl - nm + lm - ln$

Так как от перестановки мест множителей произведение не меняется ($nm = mn$, $lm = ml$, $ln = nl$), мы можем переписать выражение для удобства:

$mn - ml + nl - mn + ml - nl$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(mn - mn) + (-ml + ml) + (nl - nl) = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

3.83 РАССУЖДАЕМ Расставьте скобки так, чтобы путём преобра- зования левой части равенства можно было получить правую часть:

а) $2k - a - k - a = k;$

б) $2k - a - k - a = k - a;$

в) $ab + 1 - ab + 1 = 0;$

г) $ab + 1 - ab + 1 = b + 1.$

а)

Исходное равенство: $2k - a - k - a = k$.

Проанализируем левую часть. Без скобок выражение $2k - a - k - a$ можно упростить, сгруппировав подобные слагаемые: $(2k - k) + (-a - a) = k - 2a$. Результат $k - 2a$ не равен $k$ (кроме случая $a=0$).

Чтобы в результате преобразований получить $k$, необходимо, чтобы слагаемые, содержащие $a$, взаимно уничтожились. У нас есть два слагаемых $-a$. Для их взаимного уничтожения нужно, чтобы одно из них стало $+a$. Этого можно достичь, если поставить его в скобки, перед которыми стоит знак минус.

Попробуем расставить скобки следующим образом: $2k - a - (k - a)$.

Теперь преобразуем левую часть. Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$2k - a - (k - a) = 2k - a - k + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2k - k) + (-a + a) = k + 0 = k$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства: $k = k$.

Ответ: $2k - a - (k - a) = k$.

б)

Исходное равенство: $2k - a - k - a = k - a$.

Левая часть выражения такая же, как и в пункте а). Без скобок она равна $k - 2a$. Нам нужно получить $k - a$.

Рассмотрим все возможные варианты расстановки скобок, которые могут изменить результат вычислений (то есть те, что стоят после знака минус):

1. $2k - (a - k) - a = 2k - a + k - a = 3k - 2a$. Это не равно $k-a$.
2. $2k - a - (k - a) = 2k - a - k + a = k$. Это не равно $k-a$.
3. $2k - (a - k - a) = 2k - (a - a - k) = 2k - (-k) = 2k + k = 3k$. Это не равно $k-a$.

Ни один из вариантов расстановки скобок не приводит к выражению $k-a$. Любые другие варианты расстановки скобок, например, $(2k-a)-k-a$, не меняют порядка действий и итогового результата $k-2a$.

Таким образом, можно сделать вывод, что в условии задачи допущена опечатка. Если бы, например, правая часть равенства была $k$, то решение было бы, как в пункте а): $2k - a - (k - a) = k$. Если бы правая часть была $k-2a$, скобки были бы не нужны.

Ответ: В рамках стандартных правил алгебры расставить скобки в левой части так, чтобы получилось верное равенство, невозможно. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

в)

Исходное равенство: $ab + 1 - ab + 1 = 0$.

Упростим левую часть без скобок: $ab + 1 - ab + 1 = (ab - ab) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$. Результат не равен 0.

Чтобы получить 0, нам нужно, чтобы не только члены $ab$ и $-ab$ сократились, но и $1$ и $1$. Для этого один из членов $+1$ должен стать $-1$. Поместим его в скобки после знака минус.

Рассмотрим расстановку скобок: $ab + 1 - (ab + 1)$.

Раскроем скобки, меняя знаки внутри на противоположные:
$ab + 1 - ab - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (1 - 1) = 0 + 0 = 0$

Левая часть равна правой: $0 = 0$.

Ответ: $ab + 1 - (ab + 1) = 0$.

г)

Исходное равенство: $ab + 1 - ab + 1 = b + 1$.

Левая часть выражения такая же, как в пункте в). Мы уже выяснили, что без скобок она равна 2, а с единственной осмысленной расстановкой скобок $ab + 1 - (ab + 1)$ она равна 0.

Ни в одном из этих случаев результат не равен $b+1$. Равенство $2 = b+1$ было бы верным только при $b=1$, а равенство $0 = b+1$ - только при $b=-1$. Однако, задача требует получить тождество, верное для любых $a$ и $b$.

В левой части выражения $a$ всегда сокращается, так как присутствует член $ab$ и $-ab$. Это означает, что результат преобразования левой части никак не может зависеть от $a$. Правая же часть от $a$ не зависит. Однако, левая часть упрощается до константы (2 или 0), в то время как правая часть зависит от переменной $b$. Получить тождество в данном случае невозможно.

Следовательно, в условии задачи допущена опечатка. Например, если бы левая часть была $ab + b - ab + 1$, то она бы сразу равнялась $b+1$ без всяких скобок.

Ответ: В рамках стандартных правил алгебры расставить скобки в левой части так, чтобы получилось верное равенство, невозможно. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

3.84 Раскройте скобки:

а) $4y - (3y - (2y + 1));$

б) $a - (2x - (2a - x));$

в) $3m - (3m + (3m - (m + 3)));$

г) $b - (2c - (3b + (4c - 5b))).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $4y - (3y - (2y + 1))$, будем двигаться изнутри наружу.
Сначала раскроем внутренние скобки $-(2y + 1)$. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри:
$4y - (3y - 2y - 1)$
Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок: $3y - 2y = y$.
$4y - (y - 1)$
Раскроем последние скобки. Знак минус опять меняет знаки слагаемых:
$4y - y + 1$
Приведем подобные слагаемые: $4y - y = 3y$.
$3y + 1$
Ответ: $3y + 1$

б) Раскроем скобки в выражении $a - (2x - (2a - x))$ последовательно, начиная с внутренних.
Раскрываем скобки $-(2a - x)$:
$a - (2x - 2a + x)$
Приводим подобные слагаемые в скобках: $2x + x = 3x$.
$a - (3x - 2a)$
Раскрываем оставшиеся скобки, меняя знаки слагаемых из-за минуса перед ними:
$a - 3x + 2a$
Приводим подобные слагаемые: $a + 2a = 3a$.
$3a - 3x$
Ответ: $3a - 3x$

в) Раскроем скобки в выражении $3m - (3m + (3m - (m + 3)))$, начиная с самых внутренних.
Раскрываем $-(m + 3)$:
$3m - (3m + (3m - m - 3))$
Упрощаем выражение во внутренних скобках: $3m - m = 2m$.
$3m - (3m + (2m - 3))$
Так как перед скобками $(2m - 3)$ стоит знак плюс, их можно просто убрать:
$3m - (3m + 2m - 3)$
Упрощаем выражение в оставшихся скобках: $3m + 2m = 5m$.
$3m - (5m - 3)$
Раскрываем последние скобки, меняя знаки:
$3m - 5m + 3$
Приводим подобные слагаемые: $3m - 5m = -2m$.
$-2m + 3$
Ответ: $-2m + 3$

г) Раскроем скобки в выражении $b - (2c - (3b + (4c - 5b)))$ изнутри наружу.
Перед самыми внутренними скобками $(4c - 5b)$ стоит знак плюс, поэтому их можно просто убрать:
$b - (2c - (3b + 4c - 5b))$
Упрощаем выражение во внутренних скобках: $3b - 5b = -2b$.
$b - (2c - (-2b + 4c))$
Раскрываем скобки $-(-2b + 4c)$, меняя знаки слагаемых внутри:
$b - (2c + 2b - 4c)$
Упрощаем выражение в оставшихся скобках: $2c - 4c = -2c$.
$b - (2b - 2c)$
Раскрываем последние скобки:
$b - 2b + 2c$
Приводим подобные слагаемые: $b - 2b = -b$.
$-b + 2c$
Ответ: $2c - b$

3.85 В январе за коммунальные услуги заплатили $n$ р., в феврале тарифы повысились на 10%, а в марте — ещё на 20%. Сколько заплатили за коммунальные услуги за эти три месяца?

Для решения задачи последовательно рассчитаем сумму оплаты за каждый из трех месяцев, а затем сложим полученные значения.

Оплата за январь.
Согласно условию, в январе за коммунальные услуги заплатили $n$ р.

Оплата за февраль.
В феврале тарифы повысились на 10% по сравнению с январем. Чтобы найти новую сумму, необходимо увеличить январскую плату на 10%. Это эквивалентно умножению на $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.
Сумма к оплате в феврале составляет: $n \cdot 1.1 = 1.1n$ р.

Оплата за март.
В марте тарифы повысились еще на 20%, но уже относительно февральской суммы. Таким образом, за основу для расчета берется сумма $1.1n$. Увеличение на 20% эквивалентно умножению на $1 + \frac{20}{100} = 1.2$.
Сумма к оплате в марте составляет: $(1.1n) \cdot 1.2 = 1.32n$ р.

Общая сумма за три месяца.
Чтобы найти, сколько всего заплатили за эти три месяца, сложим платежи за январь, февраль и март:
Общая сумма = (оплата за январь) + (оплата за февраль) + (оплата за март)
Общая сумма = $n + 1.1n + 1.32n$
Вынося общий множитель $n$ за скобки, получаем:
Общая сумма = $n \cdot (1 + 1.1 + 1.32) = 3.42n$ р.

Ответ: за три месяца заплатили $3.42n$ р.

3.86 В центре городского района планировали разбить сквер прямоугольной формы размером $a \times b$ м. В процессе работ одну сторону увеличили на 50%, а другую уменьшили на 20%. Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов?

Пусть первоначальные размеры сквера были $a$ и $b$ метров. Тогда его начальная площадь $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = a \times b$

В процессе работ одну сторону, например $a$, увеличили на 50%. Новая длина этой стороны стала:
$a_{новая} = a + a \times \frac{50}{100} = a + 0.5a = 1.5a$

Другую сторону, $b$, уменьшили на 20%. Ее новая длина стала:
$b_{новая} = b - b \times \frac{20}{100} = b - 0.2b = 0.8b$

Теперь вычислим новую площадь сквера $S_2$, перемножив новые размеры сторон:
$S_2 = a_{новая} \times b_{новая} = (1.5a) \times (0.8b) = (1.5 \times 0.8) \times (a \times b) = 1.2 \times (a \times b)$

Мы видим, что новая площадь $S_2$ связана с начальной площадью $S_1$ следующим образом:
$S_2 = 1.2 \times S_1$

Поскольку коэффициент 1.2 больше 1, площадь сквера увеличилась. Чтобы найти, на сколько процентов она увеличилась, нужно найти разницу между новой и старой площадью, разделить на старую площадь и умножить на 100%.
Изменение площади в долях от начальной:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} = \frac{1.2 \times S_1 - S_1}{S_1} = \frac{0.2 \times S_1}{S_1} = 0.2$

Переведем это значение в проценты:
$0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: Площадь сквера увеличилась на 20%.

3.87 Автомобиль находился в пути 5 ч. Из этого времени $t$ ч он ехал по просёлочной дороге, остальное время — по шоссе. Какой путь проехал автомобиль, если по шоссе он ехал со скоростью $a$ км/ч, а по просёлку со скоростью, на 40 км/ч меньшей?

Для того чтобы найти общий путь, пройденный автомобилем, нужно сложить расстояние, которое он проехал по просёлочной дороге, и расстояние, которое он проехал по шоссе. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время.

1. Найдём время и скорость движения на каждом участке пути.

По просёлочной дороге:
Время в пути по условию составляет $t$ ч.
Скорость по просёлочной дороге на 40 км/ч меньше, чем по шоссе. Скорость по шоссе равна $a$ км/ч, следовательно, скорость по просёлочной дороге: $v_{просёлок} = (a - 40)$ км/ч.

По шоссе:
Общее время в пути — 5 ч. Из них $t$ ч автомобиль ехал по просёлочной дороге. Значит, время движения по шоссе составляет: $t_{шоссе} = (5 - t)$ ч.
Скорость по шоссе по условию равна $a$ км/ч.

2. Вычислим расстояние, пройденное на каждом участке.

Расстояние, пройденное по просёлочной дороге, равно произведению скорости на время:
$S_{просёлок} = (a - 40) \cdot t$ км.

Расстояние, пройденное по шоссе, также равно произведению скорости на время:
$S_{шоссе} = a \cdot (5 - t)$ км.

3. Найдём общий путь, пройденный автомобилем.

Общий путь — это сумма расстояний, пройденных по просёлочной дороге и по шоссе:
$S_{общий} = S_{просёлок} + S_{шоссе} = (a - 40)t + a(5 - t)$.

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$S_{общий} = at - 40t + 5a - at$.
Приведём подобные слагаемые. Члены $at$ и $-at$ взаимно уничтожаются:
$S_{общий} = 5a - 40t$.

Ответ: Автомобиль проехал путь, равный $5a - 40t$ км.

3.88 Лодка плыла некоторое время по течению реки и столько же времени против течения. Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени.

Для доказательства введем следующие обозначения:

• $v_{л}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_{т}$ – скорость течения реки.
• $t$ – время, которое лодка плыла по течению (и столько же времени против течения).

Вычисление общего расстояния, пройденного лодкой

Когда лодка плывет по течению, ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{л} + v_{т}$.
За время $t$ она пройдет расстояние: $S_{по} = (v_{л} + v_{т}) \cdot t$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{л} - v_{т}$.
За то же время $t$ она пройдет расстояние: $S_{против} = (v_{л} - v_{т}) \cdot t$.

Общее расстояние $S_{общ}$, которое проплыла лодка, равно сумме этих двух расстояний: $S_{общ} = S_{по} + S_{против}$
$S_{общ} = (v_{л} + v_{т}) \cdot t + (v_{л} - v_{т}) \cdot t$

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $t$ за скобки: $S_{общ} = t \cdot [ (v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т}) ]$
$S_{общ} = t \cdot (v_{л} + v_{т} + v_{л} - v_{т})$
$S_{общ} = t \cdot (2v_{л}) = 2v_{л}t$.

Вычисление времени для прохождения того же расстояния в стоячей воде

Теперь нам нужно доказать, что для прохождения этого расстояния $S_{общ}$ в стоячей воде потребуется общее время $t_{общ} = t + t = 2t$.

В стоячей воде скорость течения равна нулю, поэтому скорость лодки равна ее собственной скорости $v_{л}$.
Найдем время $t_{стоячая}$, необходимое для прохождения расстояния $S_{общ}$ со скоростью $v_{л}$, используя формулу $t = S / v$: $t_{стоячая} = \frac{S_{общ}}{v_{л}}$

Подставим найденное ранее выражение для $S_{общ}$: $t_{стоячая} = \frac{2v_{л}t}{v_{л}}$

Сократив $v_{л}$ в числителе и знаменателе, получаем: $t_{стоячая} = 2t$.

Следовательно, время, необходимое для прохождения того же расстояния в стоячей воде ($t_{стоячая} = 2t$), равно общему времени, затраченному на плавание по реке ($t_{общ} = t + t = 2t$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Общее расстояние, пройденное лодкой, составляет $2v_{л}t$. Чтобы пройти это же расстояние в стоячей воде со скоростью $v_{л}$, потребуется время $\frac{2v_{л}t}{v_{л}} = 2t$, что равно общему времени движения по реке.