Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 Какие слагаемые называют подобными? Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения $5a - 4a + a - 6$.

Какие слагаемые называют подобными?

Подобными слагаемыми называют слагаемые в алгебраическом выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть. Они могут отличаться только своими числовыми коэффициентами. Например, в выражении $7x + 3x - 5y$ слагаемые $7x$ и $3x$ являются подобными, так как у них одна и та же буквенная часть $x$. Слагаемые, которые являются просто числами (не имеют буквенной части), также считаются подобными между собой.

Ответ: Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых.

Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, при котором слагаемые с одинаковой буквенной частью объединяются в одно. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые коэффициенты, а затем умножить полученную сумму на их общую буквенную часть. Это правило основано на распределительном свойстве умножения: $ac + bc = (a + b)c$.

Ответ: Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Поясните его на примере выражения $5a - 4a + a - 6$.

Рассмотрим выражение $5a - 4a + a - 6$.
1. Находим подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются слагаемые, содержащие букву $a$: это $5a$, $-4a$ и $a$. Слагаемое $-6$ не имеет буквенной части и не является подобным им.
2. Складываем коэффициенты подобных слагаемых. Коэффициенты при букве $a$ — это числа $5$, $-4$ и $1$ (так как слагаемое $a$ можно представить как $1a$). Выполняем сложение коэффициентов: $5 + (-4) + 1 = 5 - 4 + 1 = 2$.
3. Умножаем полученную сумму на общую буквенную часть. Результат сложения коэффициентов ($2$) умножаем на общую буквенную часть ($a$), получаем $2a$.
4. Записываем итоговое выражение. Соединяем полученный результат с оставшимся слагаемым, которое не участвовало в приведении: $2a - 6$.
Таким образом, весь процесс упрощения выглядит так:
$5a - 4a + a - 6 = (5 - 4 + 1)a - 6 = 2a - 6$.

Ответ: В выражении $5a - 4a + a - 6$ подобными являются слагаемые $5a$, $-4a$ и $a$. Складываем их коэффициенты $5 - 4 + 1 = 2$ и умножаем на общую буквенную часть $a$. Получаем $2a$. Итоговое упрощенное выражение: $2a - 6$.

1 Упростите выражение:

a) $y \cdot (-2a) \cdot (-3b)$;

б) $2xy \cdot 7xz$;

в) $5ab \cdot (-0,2b)$.

а) Для упрощения выражения $y \cdot (-2a) \cdot (-3b)$ необходимо выполнить умножение одночленов. Согласно переместительному и сочетательному законам умножения, мы можем перемножать числовые коэффициенты и переменные в любом порядке.

1. Перемножим числовые коэффициенты: $1 \cdot (-2) \cdot (-3) = 6$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.

2. Перемножим переменные: $y \cdot a \cdot b$. Для стандартного вида одночлена запишем переменные в алфавитном порядке: $aby$.

3. Соединим числовой коэффициент и буквенную часть: $6aby$.

Таким образом, $y \cdot (-2a) \cdot (-3b) = 6aby$.

Ответ: $6aby$.

б) Для упрощения выражения $2xy \cdot 7xz$ также перемножим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

1. Перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot 7 = 14$.

2. Перемножим переменные: $xy \cdot xz$. Сгруппируем одинаковые переменные: $(x \cdot x) \cdot y \cdot z$. Используя свойство степеней $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$, получаем $x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$. Таким образом, буквенная часть равна $x^2yz$.

3. Соединим числовой коэффициент и буквенную часть: $14x^2yz$.

Таким образом, $2xy \cdot 7xz = 14x^2yz$.

Ответ: $14x^2yz$.

в) Для упрощения выражения $5ab \cdot (-0,2b)$ выполним умножение числовых коэффициентов и переменных.

1. Перемножим числовые коэффициенты: $5 \cdot (-0,2) = -1$.

2. Перемножим переменные: $ab \cdot b$. Сгруппируем одинаковые переменные: $a \cdot (b \cdot b)$. По свойству степеней $b^1 \cdot b^1 = b^{1+1} = b^2$. Таким образом, буквенная часть равна $ab^2$.

3. Соединим числовой коэффициент и буквенную часть: $-1 \cdot ab^2$. Коэффициент $-1$ обычно не пишется, остается только знак "минус". Получаем $-ab^2$.

Таким образом, $5ab \cdot (-0,2b) = -ab^2$.

Ответ: $-ab^2$.

2 Приведите подобные слагаемые:

а) $3x - x + 7x - 3x;$

б) $2b - a + 4b - 7a + 7.$

а)

Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $3x - x + 7x - 3x$, необходимо найти все члены с одинаковой буквенной частью (в данном случае это $x$) и сложить их коэффициенты.

Слагаемые в выражении: $3x$, $-x$ (его коэффициент равен $-1$), $7x$ и $-3x$.

Сгруппируем коэффициенты и умножим на общую буквенную часть:

$(3 - 1 + 7 - 3)x$

Выполним действия в скобках:

$3 - 1 = 2$

$2 + 7 = 9$

$9 - 3 = 6$

Таким образом, выражение упрощается до $6x$.

Можно также заметить, что слагаемые $3x$ и $-3x$ являются противоположными, и их сумма равна нулю, что упрощает вычисление:

$3x - x + 7x - 3x = (3x - 3x) + (7x - x) = 0 + 6x = 6x$

Ответ: $6x$

б)

В выражении $2b - a + 4b - 7a + 7$ есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ и с переменной $b$. Также есть свободный член (число без переменной).

1. Сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью:

$(2b + 4b) + (-a - 7a) + 7$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой группе, сложив их коэффициенты:

Для слагаемых с $b$: $2b + 4b = (2+4)b = 6b$.

Для слагаемых с $a$: $-a - 7a = (-1-7)a = -8a$.

Свободный член $7$ остается без изменений.

3. Запишем результат, объединив все полученные члены. Для стандартной формы записи многочлена, расположим слагаемые в алфавитном порядке переменных:

$-8a + 6b + 7$

Ответ: $-8a + 6b + 7$

3 Составьте выражение по условию задачи:

а) В одном ведре $x$ л воды, в другом — на 3 л больше, а в третьем — на 4 л меньше, чем в первом. Сколько литров воды в трёх вёдрах?

б) Одна сторона прямоугольника $l$ см, а другая — на $m$ см больше. Чему равен периметр прямоугольника?

а) Для того чтобы составить выражение, определим количество воды в каждом из трёх вёдер:

• В первом ведре, по условию, находится $x$ л воды.
• Во втором ведре на 3 л больше, чем в первом, следовательно, в нём $(x + 3)$ л воды.
• В третьем ведре на 4 л меньше, чем в первом, следовательно, в нём $(x - 4)$ л воды.

Общее количество воды в трёх вёдрах равно сумме объёмов воды в каждом ведре. Составим выражение, сложив эти три значения:
$x + (x + 3) + (x - 4)$
Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x + x + 3 + x - 4 = (x + x + x) + (3 - 4) = 3x - 1$
Таким образом, общее количество воды в трёх вёдрах составляет $(3x - 1)$ л.
Ответ: $3x - 1$ л.

б) Для нахождения периметра прямоугольника нужно знать длины его смежных сторон.

• Одна сторона прямоугольника, по условию, равна $l$ см.
• Другая сторона на $m$ см больше, следовательно, её длина составляет $(l + m)$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Формула для расчёта периметра: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины сторон.
Подставим в формулу значения длин сторон нашего прямоугольника:
$P = 2(l + (l + m))$
Упростим это выражение:
$P = 2(2l + m) = 4l + 2m$
Таким образом, периметр прямоугольника равен $(4l + 2m)$ см.
Ответ: $4l + 2m$ см.

4 Найдите значение выражения $2a + 3 - 1.5a + 0.5$ при $a = -3; 0; 4$.

Для начала упростим исходное выражение, приведя подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $a$ и числовые члены.

$2a + 3 - 1.5a + 0.5 = (2a - 1.5a) + (3 + 0.5)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$2a - 1.5a = 0.5a$

$3 + 0.5 = 3.5$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $0.5a + 3.5$.

Теперь найдем значение этого выражения для каждого из данных значений $a$.

при a = -3

Подставим значение $a = -3$ в упрощенное выражение:

$0.5 \cdot (-3) + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$

Ответ: 2

при a = 0

Подставим значение $a = 0$ в упрощенное выражение:

$0.5 \cdot 0 + 3.5 = 0 + 3.5 = 3.5$

Ответ: 3,5

при a = 4

Подставим значение $a = 4$ в упрощенное выражение:

$0.5 \cdot 4 + 3.5 = 2 + 3.5 = 5.5$

Ответ: 5,5

5 Упростите выражение:

а) $4a + (a + b) - (2a + 3b);$

б) $2(x + 3y) - 3(3x - y).$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Помним, что если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$4a + (a + b) - (2a + 3b) = 4a + a + b - 2a - 3b$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые — те, что содержат одинаковую буквенную часть:

$(4a + a - 2a) + (b - 3b) = 3a - 2b$

Ответ: $3a - 2b$

б) Для упрощения этого выражения используем распределительный закон умножения, чтобы раскрыть скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

1. Умножим множитель перед каждой скобкой на все слагаемые внутри нее:

$2(x + 3y) - 3(3x - y) = (2 \cdot x + 2 \cdot 3y) - (3 \cdot 3x - 3 \cdot y) = 2x + 6y - (9x - 3y)$

2. Раскроем вторую скобку, поменяв знаки на противоположные:

$2x + 6y - 9x + 3y$

3. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$(2x - 9x) + (6y + 3y) = -7x + 9y$

Ответ: $-7x + 9y$

1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел?

1) $a + (b - c) = a + b - c$

2) $a - (b - c) = a - b + c$

3) $a - (b + c) = a - b - c$

4) $(a + b) - c = a + b - c$

Задача состоит в том, чтобы определить, какое из предложенных равенств иллюстрирует правило вычитания из числа суммы двух других чисел.

Для начала переведем словесную формулировку на язык математики. Пусть "число" — это переменная a, а "два других числа" — это переменные b и c. Тогда "сумма двух чисел" — это выражение $(b + c)$. Соответственно, "вычитание из числа суммы двух чисел" записывается как $a - (b + c)$.

Правило вычитания суммы из числа гласит: чтобы из числа вычесть сумму, необходимо из этого числа последовательно вычесть каждое слагаемое. Это означает, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Таким образом, искомое правило выглядит так: $a - (b + c) = a - b - c$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $a + (b - c) = a + b - c$

Это равенство выражает правило прибавления к числу разности. Оно является верным математическим тождеством, но не соответствует условию задачи, так как описывает операцию сложения, а не вычитания суммы.

2) $a - (b - c) = a - b + c$

Это равенство выражает правило вычитания из числа разности. Оно также является верным тождеством (знаки в скобках изменились на противоположные), но описывает вычитание разности, а не суммы.

3) $a - (b + c) = a - b - c$

Это равенство в точности описывает правило вычитания из числа a суммы двух чисел b и c. Левая часть $a - (b + c)$ представляет собой словесную формулировку, а правая $a - b - c$ — результат применения правила. Этот вариант полностью соответствует условию задачи.

4) $(a + b) - c = a + b - c$

Это равенство выражает правило вычитания числа из суммы. Здесь из суммы $(a+b)$ вычитается число $c$. Это другая математическая операция, не та, о которой говорится в вопросе.

Следовательно, единственное равенство, которое выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел, находится под номером 3.

Ответ: 3

2 Из приведённых выражений:

А) $a^2 - b^2$

Б) $a^2 + b^2$

В) $a(a-b) + b(a-b)$

выберите те, с помощью которых можно найти площадь фигуры, изображённой на рисунке.

1) А и Б

2) А и В

3) Б и В

4) А, Б и В

Для решения задачи необходимо проанализировать каждое из предложенных выражений и определить, может ли оно представлять площадь фигуры, о которой идет речь. Судя по алгебраической форме выражений, наиболее вероятной фигурой является большой квадрат со стороной $a$, из которого вырезан меньший квадрат со стороной $b$. Площадь такой фигуры можно найти несколькими способами.

Этот способ является наиболее прямым и очевидным. Площадь искомой фигуры можно вычислить как разность площади большого квадрата (равной $a^2$) и площади вырезанного малого квадрата (равной $b^2$). Выражение $a^2 - b^2$ в точности описывает эту операцию. Следовательно, данное выражение является верным.

Данное выражение представляет собой сумму площадей двух квадратов. Оно бы соответствовало общей площади двух отдельных фигур (квадрата со стороной $a$ и квадрата со стороной $b$), а не площади одной фигуры, из которой вырезана какая-то часть. Следовательно, это выражение не подходит.

Это выражение можно проанализировать двумя способами.
Алгебраически: если вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки, мы получим выражение $(a+b)(a-b)$. По формуле разности квадратов, это выражение тождественно равно $a^2 - b^2$. Таким образом, выражение В эквивалентно выражению А и также является верным.
Геометрически: фигуру, оставшуюся после вырезания малого квадрата (эта фигура имеет L-образную форму), можно мысленно разрезать на два прямоугольника. Например, на прямоугольник со сторонами $a$ и $(a-b)$ и прямоугольник со сторонами $b$ и $(a-b)$. Сумма их площадей будет равна $a(a-b) + b(a-b)$, что в точности соответствует выражению В. Следовательно, данное выражение также подходит для нахождения площади фигуры.

Таким образом, для нахождения площади фигуры подходят выражения А и В. Из предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант под номером 2.

Ответ: 2

3 Какому из выражений равно выражение $a + a + a + a + a + a$?

1) $6a$

2) $a^6$

3) $a + 6$

4) $6$

3

В задании требуется найти выражение, равное сумме $a + a + a + a + a + a$.

Данное выражение представляет собой сумму шести одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $a$.

По определению, операция умножения — это сокращенная запись сложения одинаковых слагаемых. Если мы складываем переменную $a$ саму с собой 6 раз, это эквивалентно умножению числа 6 на переменную $a$.

Математически это записывается следующим образом:
$a + a + a + a + a + a = 6 \cdot a = 6a$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

1) $6a$ — этот вариант полностью соответствует нашему результату.

2) $a^6$ — это запись степени, которая означает произведение шести одинаковых множителей: $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$. Это неверно, так как в исходном выражении используется сложение.

3) $a + 6$ — это просто сумма переменной $a$ и числа 6. Это неверно.

4) $6$ — это константа (число), и это выражение не зависит от переменной $a$. Это неверно.

Таким образом, правильный ответ находится под номером 1.

Ответ: 1) $6a$

4 Запишите без скобок алгебраическую сумму $2m - (-p) + (-12q)$.

4.

Чтобы записать данную алгебраическую сумму без скобок, необходимо раскрыть скобки, применяя правила работы со знаками "плюс" и "минус".

Исходное выражение: $2m - (-p) + (-12q)$.

Раскроем скобки последовательно:

1. Первые скобки: $-(-p)$. Правило гласит, что минус перед скобкой, в которой находится отрицательное число, меняет знак этого числа на противоположный (положительный). То есть, вычитание отрицательного числа заменяется сложением положительного.
$-(-p) = +p$.

2. Вторые скобки: $+(-12q)$. Правило гласит, что плюс перед скобкой, в которой находится отрицательное число, не меняет знак этого числа. То есть, сложение отрицательного числа заменяется вычитанием положительного.
$+(-12q) = -12q$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение, заменяя части со скобками:

$2m - (-p) + (-12q) = 2m + p - 12q$.

Полученное выражение не содержит подобных слагаемых, поэтому это его окончательный вид.

Ответ: $2m + p - 12q$.