Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2 a) В двух пачках вместе 350 листов бумаги. Сколько листов бумаги в каждой пачке, если известно, что в одной из них листов в 4 раза больше, чем в другой?

б) В июле число отдыхающих в пансионате возросло по сравнению с июнем в 2,5 раза. Сколько отдыхающих было в июне и сколько в июле, если всего в эти два месяца отдохнуло 4550 человек?

а)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть в одной, меньшей, пачке было $x$ листов бумаги. Тогда, по условию, в другой пачке было в 4 раза больше листов, то есть $4x$.
Сумма листов в двух пачках равна 350. Составим и решим уравнение:
$x + 4x = 350$
$5x = 350$
$x = \frac{350}{5}$
$x = 70$
Таким образом, в меньшей пачке было 70 листов.
Теперь найдем количество листов в большей пачке:
$4x = 4 \cdot 70 = 280$ листов.
Проверим: $70 + 280 = 350$ листов, что соответствует условию задачи.
Ответ: в одной пачке 70 листов, в другой — 280 листов.

б)

Пусть в июне в пансионате отдохнуло $y$ человек. По условию, в июле число отдыхающих возросло в 2,5 раза, следовательно, в июле отдохнуло $2.5y$ человек.
Всего за эти два месяца отдохнуло 4550 человек. Составим и решим уравнение:
$y + 2.5y = 4550$
$3.5y = 4550$
$y = \frac{4550}{3.5}$
$y = \frac{45500}{35}$
$y = 1300$
Значит, в июне было 1300 отдыхающих.
Найдем количество отдыхающих в июле:
$2.5y = 2.5 \cdot 1300 = 3250$ человек.
Проверим: $1300 + 3250 = 4550$ человек, что соответствует условию задачи.
Ответ: в июне было 1300 отдыхающих, в июле — 3250 отдыхающих.

ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО (4.3–4.4)

4.3 В три ящика разложили 23 кг слив. Во втором ящике слив в 1,5 раза больше, чем в первом, а в третьем — на 2 кг больше, чем в первом. Сколько слив в каждом ящике?

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой $x$ обозначена масса слив в первом ящике.)

1) $x + 1,5x + 2x = 23$

2) $x + (x \cdot 1,5) + (x + 2) = 23$

3) $x + 1,5x + (x + 2) = 23$

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой x обозначена масса слив в первом ящике.)

Для составления уравнения переведем каждое условие задачи на математический язык.

Пусть $x$ кг — масса слив в первом ящике. Это дано в условии.

Во втором ящике слив в 1,5 раза больше, чем в первом. Выражение "в 1,5 раза больше" означает умножение на 1,5. Значит, масса слив во втором ящике составляет $1,5x$ кг.

В третьем ящике на 2 кг больше, чем в первом. Выражение "на 2 кг больше" означает прибавление 2. Следовательно, масса слив в третьем ящике равна $(x + 2)$ кг.

Общая масса слив в трех ящиках — 23 кг. Чтобы найти общую массу, нужно сложить массу слив в каждом ящике. Получаем уравнение:

Масса (1 ящик) + Масса (2 ящик) + Масса (3 ящик) = 23

$x + 1,5x + (x + 2) = 23$

Теперь сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:

• 1) $x + 1,5x + 2x = 23$ — неверно. Выражение $2x$ означало бы, что в третьем ящике в 2 раза больше слив, а не на 2 кг больше.
• 2) $x + (x + 1,5) + (x + 2) = 23$ — неверно. Выражение $(x + 1,5)$ означало бы, что во втором ящике на 1,5 кг больше слив, а не в 1,5 раза больше.
• 3) $x + 1,5x + (x + 2) = 23$ — верно. Это уравнение полностью соответствует условиям задачи.

Ответ: верным является равенство под номером 3: $x + 1,5x + (x + 2) = 23$.

Сколько слив в каждом ящике?

Для того чтобы найти массу слив в каждом ящике, решим составленное уравнение:

$x + 1,5x + (x + 2) = 23$

Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 1,5 + 1)x + 2 = 23$

$3,5x + 2 = 23$

Перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$3,5x = 23 - 2$

$3,5x = 21$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3,5:

$x = \frac{21}{3,5}$

$x = 6$

Таким образом, масса слив в первом ящике — 6 кг.

Теперь найдем массу слив в остальных ящиках:

• Масса слив во втором ящике: $1,5x = 1,5 \cdot 6 = 9$ кг.
• Масса слив в третьем ящике: $x + 2 = 6 + 2 = 8$ кг.

Проверка: $6 \text{ кг} + 9 \text{ кг} + 8 \text{ кг} = 23 \text{ кг}$. Сумма сходится с общим весом, указанным в задаче.

Ответ: в первом ящике 6 кг слив, во втором — 9 кг, а в третьем — 8 кг.

4.4 На трёх книжных полках 47 книг. На верхней полке на 8 книг меньше, чем на средней, а на нижней — в 3 раза больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке?

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой x обозначено количество книг на средней полке.)

1) $(x + 8) + x + 3x = 47$

2) $(x - 8) + x + 3x = 47$

3) $(x - 8) + x + (x + 3) = 47$

Выберите равенство, которое является переводом условия этой задачи на математический язык. (Буквой x обозначено количество книг на средней полке.)

Для составления уравнения введем переменную. Пусть $x$ — количество книг на средней полке, как указано в условии.
Тогда, согласно условию:

• На верхней полке на 8 книг меньше, чем на средней, значит, на ней $x - 8$ книг.
• На нижней полке в 3 раза больше, чем на средней, значит, на ней $3x$ книг.

Всего на трёх полках 47 книг. Сумма книг на всех полках равна 47. Составим уравнение, сложив количество книг на каждой полке:
(книги на верхней полке) + (книги на средней полке) + (книги на нижней полке) = 47
$(x - 8) + x + 3x = 47$
Сравнив полученное равенство с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $(x - 8) + x + 3x = 47$

Сколько книг на каждой полке?

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти количество книг на каждой полке.
$(x - 8) + x + 3x = 47$
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$5x - 8 = 47$
Теперь перенесем -8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$5x = 47 + 8$
$5x = 55$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:
$x = \frac{55}{5}$
$x = 11$
Таким образом, на средней полке 11 книг.
Теперь найдем количество книг на остальных полках:

• На верхней полке: $x - 8 = 11 - 8 = 3$ книги.
• На нижней полке: $3x = 3 \times 11 = 33$ книги.

Проверим, совпадает ли общее количество книг с условием задачи:
$3 \text{ (верхняя)} + 11 \text{ (средняя)} + 33 \text{ (нижняя)} = 47$ книг.
$47 = 47$
Все верно.

Ответ: на верхней полке 3 книги, на средней — 11 книг, на нижней — 33 книги.

4.5 Придумайте задачу, переводом которой на язык математики является уравнение:

а) $x + (x - 3) = 33;$

б) $x + (x + 3) + (x + 6) = 30;$

в) $x + 3x = 160;$

г) $x + 2x + 3x = 60.$

а)

Задача: В двух корзинах вместе 33 яблока. В первой корзине на 3 яблока меньше, чем во второй. Сколько яблок во второй корзине?
Решение: Пусть $x$ — количество яблок во второй, большей корзине. Тогда в первой корзине будет $(x-3)$ яблок. Зная, что общее количество яблок равно 33, составим и решим уравнение:
$x + (x - 3) = 33$
$2x - 3 = 33$
$2x = 33 + 3$
$2x = 36$
$x = 18$
Таким образом, во второй корзине 18 яблок. В первой корзине: $18 - 3 = 15$ яблок.
Ответ: Во второй корзине 18 яблок, а в первой — 15 яблок.

б)

Задача: Трое друзей — Петя, Вася и Коля — поймали вместе 30 рыб. Вася поймал на 3 рыбы больше, чем Петя, а Коля — на 6 рыб больше, чем Петя. Сколько рыб поймал каждый из друзей?
Решение: Пусть $x$ — количество рыб, которое поймал Петя. Тогда Вася поймал $(x+3)$ рыб, а Коля — $(x+6)$ рыб. Всего они поймали 30 рыб. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 3) + (x + 6) = 30$
$3x + 9 = 30$
$3x = 30 - 9$
$3x = 21$
$x = 7$
Значит, Петя поймал 7 рыб. Вася поймал $7 + 3 = 10$ рыб. Коля поймал $7 + 6 = 13$ рыб.
Ответ: Петя поймал 7 рыб, Вася — 10 рыб, а Коля — 13 рыб.

в)

Задача: В саду растет 160 деревьев — яблони и груши. Яблонь в 3 раза больше, чем груш. Сколько яблонь и сколько груш растет в саду?
Решение: Пусть $x$ — количество груш в саду. Тогда яблонь в саду $3x$. Общее количество деревьев равно 160. Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 160$
$4x = 160$
$x = 160 / 4$
$x = 40$
В саду растет 40 груш. Количество яблонь: $3 \cdot 40 = 120$.
Ответ: В саду растет 40 груш и 120 яблонь.

г)

Задача: Периметр треугольника равен 60 см. Длина второй стороны в 2 раза больше длины первой, а длина третьей стороны в 3 раза больше длины первой. Найдите длины сторон треугольника.
Решение: Пусть $x$ см — длина первой стороны треугольника. Тогда длина второй стороны равна $2x$ см, а третьей — $3x$ см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, и он равен 60 см. Составим и решим уравнение:
$x + 2x + 3x = 60$
$6x = 60$
$x = 60 / 6$
$x = 10$
Длина первой стороны равна 10 см. Длина второй стороны: $2 \cdot 10 = 20$ см. Длина третьей стороны: $3 \cdot 10 = 30$ см.
Ответ: Длины сторон треугольника равны 10 см, 20 см и 30 см.

РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО ПЛАНУ (4.6–4.7)

4.6 Составьте уравнение по условию задачи, опираясь на приведённый ниже план.

На одной овощной базе 500 т картофеля, а на другой 700 т. Ежедневно с первой базы отправляют в овощные магазины 20 ц картофеля, а со второй — 30 ц. Через сколько дней картофеля на овощных базах окажется поровну?

Выразите данные величины в одних и тех же единицах.

Обозначьте искомое количество дней буквой x.

Запишите выражения, показывающие:

1) сколько картофеля отправлено с первой овощной базы за x дней: $20x$;

2) сколько картофеля отправлено со второй овощной базы за x дней: $30x$;

3) сколько картофеля осталось на первой овощной базе через x дней: $5000 - 20x$;

4) сколько картофеля осталось на второй овощной базе через x дней: $7000 - 30x$.

Запишите уравнение.

Уравнение: $5000 - 20x = 7000 - 30x$.

Выразите данные величины в одних и тех же единицах.

Для решения задачи необходимо, чтобы все величины были выражены в одинаковых единицах измерения. Переведем центнеры (ц) в тонны (т).
В одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$), значит, один центнер равен 0,1 тонны ($1 \text{ ц} = 0.1 \text{ т}$).
Ежедневное количество картофеля, отправляемого с первой базы: $20 \text{ ц} = 20 \times 0.1 = 2 \text{ т}$.
Ежедневное количество картофеля, отправляемого со второй базы: $30 \text{ ц} = 30 \times 0.1 = 3 \text{ т}$.
Таким образом, все величины выражены в тоннах.
Ответ: На первой базе было 500 т, ежедневно отправляют 2 т. На второй базе было 700 т, ежедневно отправляют 3 т.

Обозначьте искомое количество дней буквой x.

Пусть $x$ — это количество дней, по прошествии которых количество картофеля на обеих базах станет одинаковым.
Ответ: Искомое количество дней — $x$.

Запишите выражения, показывающие:

1) сколько картофеля отправлено с первой овощной базы за x дней;
С первой базы каждый день отправляют 2 т картофеля. За $x$ дней с нее будет отправлено $2 \times x$ тонн.
Ответ: $2x$ т.

2) сколько картофеля отправлено со второй овощной базы за x дней;
Со второй базы каждый день отправляют 3 т картофеля. За $x$ дней с нее будет отправлено $3 \times x$ тонн.
Ответ: $3x$ т.

3) сколько картофеля осталось на первой овощной базе через x дней;
Изначально на первой базе было 500 т. Так как за $x$ дней с нее отправили $2x$ т, то на ней останется $500 - 2x$ тонн картофеля.
Ответ: $(500 - 2x)$ т.

4) сколько картофеля осталось на второй овощной базе через x дней.
Изначально на второй базе было 700 т. Так как за $x$ дней с нее отправили $3x$ т, то на ней останется $700 - 3x$ тонн картофеля.
Ответ: $(700 - 3x)$ т.

Запишите уравнение.

По условию задачи, через $x$ дней количество картофеля на базах должно быть равным. Следовательно, мы можем приравнять выражения, показывающие остаток картофеля на каждой из баз.
Ответ: $500 - 2x = 700 - 3x$.