Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Определите, каким правилом преобразования уравнений надо воспользоваться, чтобы решить уравнение, и решите его:

а) $8 + x = -17;$

б) $x - 7 = 9;$

в) $-15x = 90;$

г) $\frac{1}{8}x = 2.

а) Для решения уравнения $8 + x = -17$ используется правило переноса слагаемых. Согласно этому правилу, любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это равносильно вычитанию одного и того же числа из обеих частей уравнения. Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, перенесём число $8$ из левой части в правую, изменив его знак с «+» на «-».

$8 + x = -17$
$x = -17 - 8$
$x = -25$

Проверка: $8 + (-25) = 8 - 25 = -17$. Верно.

Ответ: $x = -25$

б) В уравнении $x - 7 = 9$ применяется то же правило переноса слагаемых. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, перенесём слагаемое $-7$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный (с «-» на «+»). Это равносильно прибавлению одного и того же числа к обеим частям уравнения.

$x - 7 = 9$
$x = 9 + 7$
$x = 16$

Проверка: $16 - 7 = 9$. Верно.

Ответ: $x = 16$

в) Для решения уравнения $-15x = 90$ используется правило: обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно разделить обе части уравнения на известный множитель, то есть на $-15$.

$-15x = 90$
$x = 90 : (-15)$
$x = -6$

Проверка: $-15 \cdot (-6) = 90$. Верно.

Ответ: $x = -6$

г) В уравнении $\frac{1}{8}x = 2$ также применяется правило умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно разделить обе части уравнения на известный множитель $\frac{1}{8}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь, то есть на $8$.

$\frac{1}{8}x = 2$
$x = 2 : \frac{1}{8}$
$x = 2 \cdot 8$
$x = 16$

Проверка: $\frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$. Верно.

Ответ: $x = 16$

Решите уравнение и прокомментируйте каждый шаг, ссылаясь на нужное правило преобразования уравнений:

a) $5x - 11 = 2x + 1$;

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 1$.

(Возьмите в качестве образца для а) пример 2, для б) пример 3.)

а) $5x - 11 = 2x + 1$

Сначала перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые (свободные члены) — в правую. Это преобразование основано на правиле: если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение, то получится уравнение, равносильное данному. Перенос слагаемого из одной части в другую с изменением знака на противоположный является следствием этого правила.
$5x - 2x = 1 + 11$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения. В левой части $5x - 2x = 3x$, а в правой $1 + 11 = 12$.
$3x = 12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 3. Это преобразование основано на правиле: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Ответ: $4$.

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 1$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 6. НОК(2, 6) = 6. Это преобразование основано на правиле: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{x}{6}) = 6 \cdot 1$
$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{x}{6} = 6$

Выполним умножение и сократим дроби.
$3x - x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: $3x - x = 2x$.
$2x = 6$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2, используя то же правило, что и в первом шаге.
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$

Ответ: $3$.