Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.58 Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км/ч, а на обратном пути его скорость была 15 км/ч. Чему равно расстояние от реки до деревни?

Для решения задачи обозначим искомое расстояние от реки до деревни через переменную $S$ (в километрах).

По условию задачи нам известны:

• Скорость на пути от реки до деревни: $v_1 = 10$ км/ч.
• Скорость на обратном пути от деревни до реки: $v_2 = 15$ км/ч.
• Общее время, затраченное на весь путь: $T = 1$ ч.

Время, затраченное на каждый отрезок пути, можно найти по формуле $t = S/v$.

Время на путь от реки до деревни ($t_1$) равно:

$t_1 = S/v_1 = S/10$

Время на обратный путь ($t_2$) равно:

$t_2 = S/v_2 = S/15$

Общее время $T$ — это сумма времени, затраченного на путь туда и обратно:

$T = t_1 + t_2$

Подставим известные значения и выражения в эту формулу, чтобы составить уравнение:

$S/10 + S/15 = 1$

Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10 и 15 — это 30. Умножим левую и правую части уравнения на 30:

$30 \cdot (S/10) + 30 \cdot (S/15) = 30 \cdot 1$

$3S + 2S = 30$

Теперь сложим слагаемые с переменной $S$:

$5S = 30$

Найдем $S$, разделив обе части уравнения на 5:

$S = 30 / 5$

$S = 6$

Таким образом, расстояние от реки до деревни составляет 6 км.

Проверка:

• Время в пути до деревни: $t_1 = 6 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 0.6$ часа.
• Время на обратный путь: $t_2 = 6 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 0.4$ часа.
• Общее время: $0.6 \text{ ч} + 0.4 \text{ ч} = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: расстояние от реки до деревни равно 6 км.

4.59 Пётр прошёл от дома до пристани и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч. От дома до пристани он шёл со скоростью 4 км/ч, а на обратном пути его скорость была 6 км/ч. Чему равно расстояние от дома до пристани?

Для решения этой задачи обозначим искомое расстояние от дома до пристани через $s$ (в километрах).

Дано:

• Скорость от дома до пристани ($v_1$) = 4 км/ч.
• Скорость на обратном пути от пристани до дома ($v_2$) = 6 км/ч.
• Общее время в пути ($t_{общ}$) = 1 ч.

Общее время движения складывается из времени, потраченного на путь "туда" ($t_1$), и времени, потраченного на путь "обратно" ($t_2$):
$t_{общ} = t_1 + t_2$

Время движения рассчитывается по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s$ - расстояние, а $v$ - скорость.
Время, которое Пётр шёл от дома до пристани:
$t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{4}$ ч.

Время, которое Пётр шёл на обратном пути:
$t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{s}{6}$ ч.

Теперь составим уравнение, подставив выражения для $t_1$ и $t_2$ в формулу общего времени:
$\frac{s}{4} + \frac{s}{6} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6 это 12.
$\frac{3 \cdot s}{12} + \frac{2 \cdot s}{12} = 1$
$\frac{3s + 2s}{12} = 1$
$\frac{5s}{12} = 1$

Теперь выразим $s$. Умножим обе части уравнения на 12:
$5s = 12$
Разделим обе части на 5:
$s = \frac{12}{5} = 2,4$ км.

Ответ: расстояние от дома до пристани равно 2,4 км.

Решите задачу, обозначив буквой удобную для составления уравнения величину (4.60—4.64).

4.60 Дорога от дома до школы и обратно занимает у Ольги $1/2$ ч. В школу она идёт со скоростью 6 км/ч, а обратно — со скоростью 3 км/ч. Чему равно расстояние от дома до школы?

4.60

Для решения задачи обозначим искомую величину — расстояние от дома до школы — буквой $S$ (в километрах).

Известно, что Ольга идёт в школу со скоростью $v_1 = 6 \text{ км/ч}$. Время, затраченное на дорогу в школу, можно найти по формуле времени $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, время в пути до школы составляет $t_1 = \frac{S}{6}$ часа.

На обратном пути её скорость составляет $v_2 = 3 \text{ км/ч}$. Соответственно, время, затраченное на дорогу домой, равно $t_2 = \frac{S}{3}$ часа.

Общее время, которое Ольга тратит на дорогу от дома до школы и обратно, равно $\frac{1}{2}$ часа. Это время является суммой времени пути в школу и времени пути обратно: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Составим уравнение на основе этих данных:
$\frac{S}{6} + \frac{S}{3} = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 это 6.
$\frac{S}{6} + \frac{2 \cdot S}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$
$\frac{S}{6} + \frac{2S}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{S + 2S}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{3S}{6} = \frac{1}{2}$

Сократим дробь в левой части уравнения на 3:
$\frac{S}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $S$:
$S = 1$

Следовательно, расстояние от дома до школы равно 1 км.

Ответ: 1 км.

4.61 Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч, а вторую половину пути — за 2 ч, так как увеличил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?

Пусть $S$ - это всё расстояние, которое проехал велосипедист. Тогда половина пути равна $S/2$.
Обозначим скорость велосипедиста на первой половине пути как $v_1$, а на второй — как $v_2$.
Время, затраченное на первую половину пути, $t_1 = 3$ ч.
Время, затраченное на вторую половину пути, $t_2 = 2$ ч.

По условию, на второй половине пути велосипедист увеличил скорость на 4 км/ч, следовательно:
$v_2 = v_1 + 4$

Расстояние — это произведение скорости на время ($S = v \cdot t$). Мы можем составить два уравнения для каждой половины пути:
Первая половина пути: $S/2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 3$
Вторая половина пути: $S/2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 2$

Так как левые части этих уравнений равны (обе равны половине пути $S/2$), мы можем приравнять их правые части:
$3v_1 = 2v_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $3v_1 = 2v_2$
2) $v_2 = v_1 + 4$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $v_1$:
$3v_1 = 2(v_1 + 4)$
$3v_1 = 2v_1 + 8$
$3v_1 - 2v_1 = 8$
$v_1 = 8$ км/ч.

Итак, скорость на первой половине пути была 8 км/ч. Теперь мы можем найти расстояние первой половины пути:
$S/2 = v_1 \cdot t_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 24$ км.

Общее расстояние $S$ равно двум таким половинам:
$S = 2 \cdot (S/2) = 2 \cdot 24 \text{ км} = 48$ км.

Ответ: 48 км.

4.62 От железнодорожной станции до турбазы туристы шли со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Обратно они ехали на велосипедах со скоростью $12 \text{ км/ч}$ и затратили на дорогу на $4 \text{ ч}$ меньше. Чему равно расстояние от станции до турбазы?

Пусть искомое расстояние от железнодорожной станции до турбазы равно $S$ км.

Скорость туристов, когда они шли до турбазы, составляла $v_1 = 4$ км/ч. Время, которое они затратили на этот путь, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{4}$ часа.

На обратном пути туристы ехали на велосипедах со скоростью $v_2 = 12$ км/ч. Время, затраченное на обратную дорогу, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{12}$ часа.

Из условия задачи известно, что на обратный путь они затратили на 4 часа меньше. Это значит, что разница между временем пути до турбазы и временем обратного пути составляет 4 часа. Составим уравнение: $t_1 - t_2 = 4$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{S}{4} - \frac{S}{12} = 4$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12: $\frac{3 \cdot S}{12} - \frac{S}{12} = 4$

Теперь выполним вычитание в левой части уравнения: $\frac{3S - S}{12} = 4$ $\frac{2S}{12} = 4$

Сократим дробь $\frac{2}{12}$ на 2: $\frac{S}{6} = 4$

Найдем $S$, умножив обе части уравнения на 6: $S = 4 \cdot 6$ $S = 24$

Следовательно, расстояние от железнодорожной станции до турбазы составляет 24 км.

Проверим решение: Время в пути до турбазы: $t_1 = 24 / 4 = 6$ часов. Время на обратном пути: $t_2 = 24 / 12 = 2$ часа. Разница во времени: $6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ часа. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 24 км.

4.63 Половину всех имеющихся орехов упаковали в большие пакеты, по 500 г в каждый, а вторую половину — в маленькие пакеты, по 300 г в каждый. Всего получилось 16 пакетов. Сколько было орехов?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Решение с помощью системы уравнений

Обозначим количество больших пакетов через $x$, а количество маленьких пакетов — через $y$.
По условию, всего получилось 16 пакетов. Составим первое уравнение:
$x + y = 16$
В большие пакеты упаковали половину всех орехов, по 500 г в каждый. Масса орехов в больших пакетах составляет $500x$ г.
Вторую половину, равную по массе первой, орехи упаковали в маленькие пакеты, по 300 г в каждый. Масса орехов в маленьких пакетах составляет $300y$ г.
Так как массы орехов в больших и маленьких пакетах равны, составим второе уравнение:
$500x = 300y$
Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 16 \\ 500x = 300y \end{cases}$
Упростим второе уравнение, разделив обе части на 100:
$5x = 3y$
Выразим $x$ через $y$:
$x = \frac{3}{5}y$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{3}{5}y + y = 16$
$\frac{8}{5}y = 16$
Найдем $y$:
$y = 16 \cdot \frac{5}{8} = 10$
Итак, получилось 10 маленьких пакетов.
Теперь найдем количество больших пакетов $x$:
$x = 16 - y = 16 - 10 = 6$
Получилось 6 больших пакетов.
Теперь найдем общую массу орехов. Масса орехов в больших пакетах (первая половина):
$6 \cdot 500 \text{ г} = 3000 \text{ г}$
Масса орехов в маленьких пакетах (вторая половина):
$10 \cdot 300 \text{ г} = 3000 \text{ г}$
Общая масса всех орехов равна сумме масс двух половин:
$3000 \text{ г} + 3000 \text{ г} = 6000 \text{ г}$

Ответ: 6000 г.

Способ 2: Решение с помощью одного уравнения

Пусть $W$ — масса половины всех орехов в граммах. Тогда общая масса всех орехов составляет $2W$.
Первую половину орехов массой $W$ упаковали в большие пакеты по 500 г. Количество больших пакетов равно $\frac{W}{500}$.
Вторую половину орехов массой $W$ упаковали в маленькие пакеты по 300 г. Количество маленьких пакетов равно $\frac{W}{300}$.
По условию, общее количество пакетов равно 16. Составим уравнение:
$\frac{W}{500} + \frac{W}{300} = 16$
Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 500 и 300 — это 1500.
$\frac{3W}{1500} + \frac{5W}{1500} = 16$
$\frac{3W + 5W}{1500} = 16$
$\frac{8W}{1500} = 16$
Теперь выразим $W$:
$8W = 16 \cdot 1500$
$W = \frac{16 \cdot 1500}{8} = 2 \cdot 1500 = 3000$
Итак, масса половины всех орехов составляет 3000 г.
Чтобы найти общую массу всех орехов, нужно удвоить это значение:
$2W = 2 \cdot 3000 \text{ г} = 6000 \text{ г}$

Ответ: 6000 г.

4.64 Все имеющиеся апельсины можно разложить в 3 пакета или в 5 коробок. Сколько килограммов апельсинов имеется, если в пакет вмещается на 2 кг апельсинов больше, чем в коробку?

Пусть вместимость одной коробки составляет $x$ кг. Тогда, согласно условию, вместимость одного пакета составляет $(x + 2)$ кг.

Все имеющиеся апельсины можно разложить в 5 коробок, следовательно, их общая масса равна $5x$ кг.

С другой стороны, все апельсины можно разложить в 3 пакета, следовательно, их общая масса равна $3 \cdot (x + 2)$ кг.

Поскольку общая масса апельсинов в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$5x = 3(x + 2)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$5x = 3x + 6$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$5x - 3x = 6$

$2x = 6$

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Таким образом, мы нашли, что вместимость одной коробки составляет 3 кг.

Чтобы найти общую массу всех апельсинов, подставим найденное значение $x$ в одно из выражений для общей массы. Например, используя выражение для коробок:

Общая масса $= 5x = 5 \cdot 3 = 15$ кг.

Для проверки можем рассчитать общую массу через пакеты. Вместимость одного пакета: $x + 2 = 3 + 2 = 5$ кг. Общая масса: $3 \cdot 5 = 15$ кг. Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: 15 кг.