Страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (4.65–4.71).

4.65 a) Существуют ли три последовательных чётных числа, сумма которых равна 74?

б) Существуют ли три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 69?

а) Существуют ли три последовательных чётных числа, сумма которых равна 74?

Чтобы ответить на этот вопрос, обозначим три последовательных чётных числа через переменные. Пусть среднее из этих чисел будет $x$. Так как числа чётные и последовательные, они отличаются на 2. Значит, три числа можно записать как $x-2$, $x$ и $x+2$. По условию, $x$ должно быть чётным целым числом.

Сумма этих трёх чисел должна быть равна 74. Составим уравнение:

$(x-2) + x + (x+2) = 74$

Упростим левую часть уравнения:

$x - 2 + x + x + 2 = 74$

$3x = 74$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{74}{3}$

Результат деления $74$ на $3$ не является целым числом ($74 \div 3 \approx 24.67$). Поскольку $x$ должно быть целым чётным числом, а мы получили дробное значение, это означает, что таких трёх последовательных чётных чисел не существует.

Альтернативное рассуждение: Сумма трёх последовательных чётных чисел вида $(x-2)$, $x$, $(x+2)$ равна $3x$. Это означает, что их сумма всегда должна делиться на 3. Число 74 не делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр ($7+4=11$) не делится на 3. Следовательно, таких чисел не существует.

Ответ: нет, не существуют.

б) Существуют ли три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 69?

Действуем аналогично предыдущему пункту. Обозначим три последовательных нечётных числа как $y-2$, $y$ и $y+2$. По условию, $y$ должно быть нечётным целым числом.

Их сумма по условию равна 69. Составим уравнение:

$(y-2) + y + (y+2) = 69$

Упростим левую часть:

$y - 2 + y + y + 2 = 69$

$3y = 69$

Решим уравнение относительно $y$:

$y = \frac{69}{3}$

$y = 23$

Мы получили, что среднее число $y=23$. Это нечётное целое число, что полностью соответствует условию. Следовательно, такие числа существуют.

Найдём эти числа:

• Первое число: $y-2 = 23-2 = 21$
• Второе число: $y = 23$
• Третье число: $y+2 = 23+2 = 25$

Искомые числа: 21, 23 и 25. Проверим их сумму: $21+23+25=69$.

Ответ: да, существуют. Это числа 21, 23 и 25.

4.66 a) В саду растут яблони, груши и сливы — всего 130 деревьев. Определите, сколько в саду деревьев каждого вида, если известно, что яблонь в 3 раза больше, чем груш, а слив на 10 больше, чем груш.

б) Купили карандаши, кисти и линейки — всего 43 штуки. Линеек купили на 7 штук меньше, чем кистей, и в 4 раза меньше, чем карандашей. Сколько купили карандашей, кистей и линеек в отдельности?

а)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество груш в саду.
Исходя из условия, количество яблонь в 3 раза больше, чем груш, следовательно, яблонь в саду $3x$.
Также известно, что слив на 10 больше, чем груш, значит, слив в саду $x + 10$.
Всего в саду 130 деревьев. Составим уравнение, сложив количество деревьев каждого вида:

$x + 3x + (x + 10) = 130$

Решим это уравнение:

$5x + 10 = 130$

$5x = 130 - 10$

$5x = 120$

$x = \frac{120}{5}$

$x = 24$

Мы нашли, что в саду 24 груши.

Теперь найдем количество яблонь и слив:

Количество яблонь: $3x = 3 \cdot 24 = 72$ дерева.

Количество слив: $x + 10 = 24 + 10 = 34$ дерева.

Проверка: $24 (груши) + 72 (яблони) + 34 (сливы) = 130$ деревьев.
Ответ: в саду 72 яблони, 24 груши и 34 сливы.

б)

Для решения этой задачи удобнее всего обозначить за переменную количество линеек. Пусть $y$ — количество купленных линеек.
По условию, линеек купили на 7 штук меньше, чем кистей. Это значит, что кистей купили на 7 штук больше, чем линеек, то есть их количество равно $y + 7$.
Также известно, что линеек купили в 4 раза меньше, чем карандашей. Это значит, что карандашей купили в 4 раза больше, чем линеек, то есть их количество равно $4y$.
Всего купили 43 предмета. Составим уравнение:

$y + (y + 7) + 4y = 43$

Решим полученное уравнение:

$6y + 7 = 43$

$6y = 43 - 7$

$6y = 36$

$y = \frac{36}{6}$

$y = 6$

Таким образом, купили 6 линеек.

Теперь найдем количество кистей и карандашей:

Количество кистей: $y + 7 = 6 + 7 = 13$ штук.

Количество карандашей: $4y = 4 \cdot 6 = 24$ штуки.

Проверка: $6 (линейки) + 13 (кисти) + 24 (карандаши) = 43$ предмета.
Ответ: купили 24 карандаша, 13 кистей и 6 линеек.

4.67 а) Для трёх аквариумов требуется 61 л воды. Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше, чем третий, а второй — на 5 л больше, чем третий. Сколько литров воды вмещает каждый аквариум?

б) Продавец разложил гречневую крупу в четыре пакета. В первый пакет он насыпал в 1,5 раза больше крупы, чем во второй, а ещё в каждый из двух пакетов, т. е. в третий и четвёртый, — на 0,5 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов гречневой крупы в каждом пакете, если масса всех четырёх пакетов вместе 14,5 кг?

а)

Для решения задачи введём переменную. Пусть объём третьего аквариума равен $x$ литров. Тогда, согласно условиям задачи, объём первого аквариума, который в 1,5 раза больше третьего, составит $1.5x$ литров. Объём второго аквариума, который на 5 литров больше третьего, будет равен $(x + 5)$ литров.

Общий объём воды для трёх аквариумов составляет 61 литр. Составим уравнение, сложив объёмы всех трёх аквариумов:

$1.5x + (x + 5) + x = 61$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и упростим выражение:

$(1.5 + 1 + 1)x + 5 = 61$

$3.5x + 5 = 61$

Перенесём 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3.5x = 61 - 5$

$3.5x = 56$

Найдём $x$, разделив 56 на 3,5:

$x = \frac{56}{3.5} = \frac{560}{35} = 16$

Таким образом, мы нашли объём третьего аквариума: он равен 16 литрам.

Теперь можем вычислить объёмы первого и второго аквариумов:

Объём первого аквариума: $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 16 = 24$ литра.

Объём второго аквариума: $x + 5 = 16 + 5 = 21$ литр.

Ответ: объём первого аквариума — 24 литра, второго — 21 литр, третьего — 16 литров.

б)

Для решения этой задачи также введём переменную. Пусть масса гречневой крупы во втором пакете составляет $y$ килограммов. Исходя из условий, масса крупы в других пакетах будет следующей:

Масса в первом пакете (в 1,5 раза больше, чем во втором): $1.5y$ кг.

Масса в третьем пакете (на 0,5 кг больше, чем во втором): $(y + 0.5)$ кг.

Масса в четвёртом пакете (также на 0,5 кг больше, чем во втором): $(y + 0.5)$ кг.

Общая масса крупы во всех четырёх пакетах равна 14,5 кг. Составим уравнение, просуммировав массу всех пакетов:

$1.5y + y + (y + 0.5) + (y + 0.5) = 14.5$

Теперь решим полученное уравнение. Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые:

$(1.5 + 1 + 1 + 1)y + (0.5 + 0.5) = 14.5$

$4.5y + 1 = 14.5$

Перенесём 1 в правую часть уравнения:

$4.5y = 14.5 - 1$

$4.5y = 13.5$

Найдём $y$, разделив 13,5 на 4,5:

$y = \frac{13.5}{4.5} = \frac{135}{45} = 3$

Таким образом, масса крупы во втором пакете составляет 3 кг.

Теперь вычислим массу крупы в остальных пакетах:

Масса в первом пакете: $1.5 \cdot y = 1.5 \cdot 3 = 4.5$ кг.

Масса в третьем пакете: $y + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5$ кг.

Масса в четвёртом пакете: $y + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5$ кг.

Ответ: в первом пакете 4,5 кг крупы, во втором — 3 кг, в третьем и четвёртом — по 3,5 кг.

4.68 a) Из посёлка в город одновременно выехали мотоциклист со скоростью $40 \text{ км/ч}$ и велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Определите, какое время затратил на путь велосипедист, если известно, что он прибыл в город на $1.5 \text{ ч}$ позже мотоциклиста.

б) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Он приехал на станцию на $0.5 \text{ ч}$ раньше пешехода. Определите расстояние от туристического лагеря до станции.

а)

Пусть $t_в$ — время, которое затратил на путь велосипедист (в часах), а $t_м$ — время, которое затратил мотоциклист (в часах). Расстояние от посёлка до города обозначим как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость мотоциклиста: $v_м = 40$ км/ч
• Скорость велосипедиста: $v_в = 10$ км/ч
• Разница во времени прибытия: велосипедист прибыл на 1,5 ч позже.

Расстояние $S$ одинаково для обоих. Запишем формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Поскольку левые части уравнений равны, можем приравнять и правые:

$40t_м = 10t_в$

Из условия задачи следует, что время велосипедиста в пути было на 1,5 часа больше времени мотоциклиста:

$t_в = t_м + 1.5$

Выразим из этого соотношения время мотоциклиста $t_м$:

$t_м = t_в - 1.5$

Подставим полученное выражение для $t_м$ в уравнение $40t_м = 10t_в$:

$40(t_в - 1.5) = 10t_в$

Теперь решим это уравнение относительно $t_в$:

$40t_в - 60 = 10t_в$

$40t_в - 10t_в = 60$

$30t_в = 60$

$t_в = \frac{60}{30} = 2$

Таким образом, время, которое затратил на путь велосипедист, составляет 2 часа.

Ответ: 2 ч.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние от туристического лагеря до станции (в км). Пусть $t_п$ — время движения пешехода (в часах), а $t_в$ — время движения велосипедиста (в часах).

Дано:

• Скорость пешехода: $v_п = 4$ км/ч
• Скорость велосипедиста: $v_в = 10$ км/ч
• Велосипедист выехал на 1 час позже пешехода.
• Велосипедист приехал на 0,5 часа раньше пешехода.

Запишем формулу для расстояния $S$ для пешехода и велосипедиста:

$S = v_п \cdot t_п = 4t_п$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Приравняем правые части уравнений:

$4t_п = 10t_в$

Теперь определим соотношение между временами движения. Велосипедист выехал на 1 час позже и приехал на 0,5 часа раньше. Это означает, что его чистое время в пути $t_в$ было меньше времени в пути пешехода $t_п$ на сумму этих двух интервалов времени:

$t_в = t_п - (1 + 0.5) = t_п - 1.5$

Подставим это выражение для $t_в$ в уравнение $4t_п = 10t_в$:

$4t_п = 10(t_п - 1.5)$

Решим полученное уравнение относительно $t_п$:

$4t_п = 10t_п - 15$

$15 = 10t_п - 4t_п$

$15 = 6t_п$

$t_п = \frac{15}{6} = 2.5$ ч

Мы нашли время движения пешехода. Теперь можем найти расстояние $S$, подставив значение $t_п$ в формулу для пешехода:

$S = 4 \cdot t_п = 4 \cdot 2.5 = 10$ км

Ответ: 10 км.

4.69 а) На одном и том же расстоянии маленький обруч делает 15 оборотов, а большой — 9 оборотов. Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча. Определите длину окружности каждого обруча.

б) Длина окружности маленького обруча 3 м, а большого 4 м. На одном и том же расстоянии маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Определите это расстояние.

а)

Пусть $C_м$ — длина окружности маленького обруча, а $C_б$ — длина окружности большого обруча. Расстояние, которое они проходят, одинаково.

Расстояние можно вычислить, умножив длину окружности на количество оборотов.

Для маленького обруча, который делает 15 оборотов, расстояние равно $15 \cdot C_м$.

Для большого обруча, который делает 9 оборотов, расстояние равно $9 \cdot C_б$.

Поскольку расстояние одно и то же, мы можем составить уравнение:

$15 \cdot C_м = 9 \cdot C_б$

Из условия известно, что длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого:

$C_м = C_б - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$15 \cdot (C_б - 2) = 9 \cdot C_б$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$15 C_б - 30 = 9 C_б$

$15 C_б - 9 C_б = 30$

$6 C_б = 30$

$C_б = \frac{30}{6} = 5$ м.

Теперь найдем длину окружности маленького обруча:

$C_м = 5 - 2 = 3$ м.

Ответ: длина окружности маленького обруча — 3 м, большого — 5 м.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние. Длина окружности маленького обруча $C_м = 3$ м, а большого $C_б = 4$ м.

Количество оборотов, которое сделает маленький обруч, равно $n_м = \frac{S}{3}$.

Количество оборотов, которое сделает большой обруч, равно $n_б = \frac{S}{4}$.

По условию, маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой:

$n_м = n_б + 10$

Подставим выражения для $n_м$ и $n_б$ в это уравнение:

$\frac{S}{3} = \frac{S}{4} + 10$

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{S}{3} = 12 \cdot \frac{S}{4} + 12 \cdot 10$

$4S = 3S + 120$

Перенесем $3S$ в левую часть уравнения:

$4S - 3S = 120$

$S = 120$ м.

Ответ: это расстояние равно 120 м.

4.70 Провод длиной 9,9 м разрезали на две части. Определите длину каждой части, если известно, что:

а) одна из них на 20% короче другой;

б) одна из них на 20% длиннее другой.

а) одна из них на 20% короче другой;

Пусть длина большей части провода равна $x$ м. По условию, другая часть на 20% короче. Это означает, что ее длина составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от длины большей части.

Выразим длину меньшей части через $x$: $x \cdot (1 - 0,2) = 0,8x$ м.

Сумма длин двух частей равна общей длине провода, то есть 9,9 м. Составим и решим уравнение:
$x + 0,8x = 9,9$
$1,8x = 9,9$
$x = \frac{9,9}{1,8} = \frac{99}{18} = \frac{11}{2} = 5,5$

Таким образом, длина большей части составляет 5,5 м.

Теперь найдем длину меньшей части:
$9,9 - x = 9,9 - 5,5 = 4,4$ м.

Проверим, действительно ли меньшая часть на 20% короче большей. Разница в длине составляет $5,5 - 4,4 = 1,1$ м. Отношение разницы к длине большей части: $\frac{1,1}{5,5} = \frac{1}{5} = 0,2$, что соответствует 20%.

Ответ: длины частей провода равны 4,4 м и 5,5 м.

б) одна из них на 20% длиннее другой.

Пусть длина меньшей части провода равна $y$ м. По условию, другая часть на 20% длиннее. Это означает, что ее длина составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от длины меньшей части.

Выразим длину большей части через $y$: $y \cdot (1 + 0,2) = 1,2y$ м.

Сумма длин двух частей равна общей длине провода, то есть 9,9 м. Составим и решим уравнение:
$y + 1,2y = 9,9$
$2,2y = 9,9$
$y = \frac{9,9}{2,2} = \frac{99}{22} = \frac{9}{2} = 4,5$

Таким образом, длина меньшей части составляет 4,5 м.

Теперь найдем длину большей части:
$9,9 - y = 9,9 - 4,5 = 5,4$ м.

Проверим, действительно ли большая часть на 20% длиннее меньшей. Разница в длине составляет $5,4 - 4,5 = 0,9$ м. Отношение разницы к длине меньшей части: $\frac{0,9}{4,5} = \frac{1}{5} = 0,2$, что соответствует 20%.

Ответ: длины частей провода равны 4,5 м и 5,4 м.