Номер 4.69, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.69 а) На одном и том же расстоянии маленький обруч делает 15 оборотов, а большой — 9 оборотов. Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча. Определите длину окружности каждого обруча.

б) Длина окружности маленького обруча 3 м, а большого 4 м. На одном и том же расстоянии маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Определите это расстояние.

а)

Пусть $C_м$ — длина окружности маленького обруча, а $C_б$ — длина окружности большого обруча. Расстояние, которое они проходят, одинаково.

Расстояние можно вычислить, умножив длину окружности на количество оборотов.

Для маленького обруча, который делает 15 оборотов, расстояние равно $15 \cdot C_м$.

Для большого обруча, который делает 9 оборотов, расстояние равно $9 \cdot C_б$.

Поскольку расстояние одно и то же, мы можем составить уравнение:

$15 \cdot C_м = 9 \cdot C_б$

Из условия известно, что длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого:

$C_м = C_б - 2$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$15 \cdot (C_б - 2) = 9 \cdot C_б$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$15 C_б - 30 = 9 C_б$

$15 C_б - 9 C_б = 30$

$6 C_б = 30$

$C_б = \frac{30}{6} = 5$ м.

Теперь найдем длину окружности маленького обруча:

$C_м = 5 - 2 = 3$ м.

Ответ: длина окружности маленького обруча — 3 м, большого — 5 м.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние. Длина окружности маленького обруча $C_м = 3$ м, а большого $C_б = 4$ м.

Количество оборотов, которое сделает маленький обруч, равно $n_м = \frac{S}{3}$.

Количество оборотов, которое сделает большой обруч, равно $n_б = \frac{S}{4}$.

По условию, маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой:

$n_м = n_б + 10$

Подставим выражения для $n_м$ и $n_б$ в это уравнение:

$\frac{S}{3} = \frac{S}{4} + 10$

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{S}{3} = 12 \cdot \frac{S}{4} + 12 \cdot 10$

$4S = 3S + 120$

Перенесем $3S$ в левую часть уравнения:

$4S - 3S = 120$

$S = 120$ м.

Ответ: это расстояние равно 120 м.