Номер 4.68, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.68 a) Из посёлка в город одновременно выехали мотоциклист со скоростью $40 \text{ км/ч}$ и велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Определите, какое время затратил на путь велосипедист, если известно, что он прибыл в город на $1.5 \text{ ч}$ позже мотоциклиста.

б) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Он приехал на станцию на $0.5 \text{ ч}$ раньше пешехода. Определите расстояние от туристического лагеря до станции.

а)

Пусть $t_в$ — время, которое затратил на путь велосипедист (в часах), а $t_м$ — время, которое затратил мотоциклист (в часах). Расстояние от посёлка до города обозначим как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость мотоциклиста: $v_м = 40$ км/ч
• Скорость велосипедиста: $v_в = 10$ км/ч
• Разница во времени прибытия: велосипедист прибыл на 1,5 ч позже.

Расстояние $S$ одинаково для обоих. Запишем формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Поскольку левые части уравнений равны, можем приравнять и правые:

$40t_м = 10t_в$

Из условия задачи следует, что время велосипедиста в пути было на 1,5 часа больше времени мотоциклиста:

$t_в = t_м + 1.5$

Выразим из этого соотношения время мотоциклиста $t_м$:

$t_м = t_в - 1.5$

Подставим полученное выражение для $t_м$ в уравнение $40t_м = 10t_в$:

$40(t_в - 1.5) = 10t_в$

Теперь решим это уравнение относительно $t_в$:

$40t_в - 60 = 10t_в$

$40t_в - 10t_в = 60$

$30t_в = 60$

$t_в = \frac{60}{30} = 2$

Таким образом, время, которое затратил на путь велосипедист, составляет 2 часа.

Ответ: 2 ч.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние от туристического лагеря до станции (в км). Пусть $t_п$ — время движения пешехода (в часах), а $t_в$ — время движения велосипедиста (в часах).

Дано:

• Скорость пешехода: $v_п = 4$ км/ч
• Скорость велосипедиста: $v_в = 10$ км/ч
• Велосипедист выехал на 1 час позже пешехода.
• Велосипедист приехал на 0,5 часа раньше пешехода.

Запишем формулу для расстояния $S$ для пешехода и велосипедиста:

$S = v_п \cdot t_п = 4t_п$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Приравняем правые части уравнений:

$4t_п = 10t_в$

Теперь определим соотношение между временами движения. Велосипедист выехал на 1 час позже и приехал на 0,5 часа раньше. Это означает, что его чистое время в пути $t_в$ было меньше времени в пути пешехода $t_п$ на сумму этих двух интервалов времени:

$t_в = t_п - (1 + 0.5) = t_п - 1.5$

Подставим это выражение для $t_в$ в уравнение $4t_п = 10t_в$:

$4t_п = 10(t_п - 1.5)$

Решим полученное уравнение относительно $t_п$:

$4t_п = 10t_п - 15$

$15 = 10t_п - 4t_п$

$15 = 6t_п$

$t_п = \frac{15}{6} = 2.5$ ч

Мы нашли время движения пешехода. Теперь можем найти расстояние $S$, подставив значение $t_п$ в формулу для пешехода:

$S = 4 \cdot t_п = 4 \cdot 2.5 = 10$ км

Ответ: 10 км.