Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

По условию разобранной в тексте задачи составьте уравнение, обозначив буквой $x$ исходное количество угля на втором складе, и решите задачу.

Поскольку условие задачи в задании не приведено, для решения будем использовать стандартные данные для такого типа задач: На одном складе было в 2,5 раза больше угля, чем на другом. После того как с первого склада вывезли 75 т угля, а на второй привезли 45 т, угля на обоих складах стало поровну.

По условию разобранной в тексте задачи составьте уравнение, обозначив буквой x исходное количество угля на втором складе

Пусть $x$ тонн — это первоначальное количество угля на втором складе.
Согласно условию, на первом складе было в 2,5 раза больше угля, следовательно, на нем было $2,5x$ тонн.
После того как с первого склада вывезли 75 тонн, на нем осталось $(2,5x - 75)$ тонн угля.
На второй склад привезли 45 тонн, и на нем стало $(x + 45)$ тонн угля.
Так как после этих изменений количество угля на складах стало равным, мы можем приравнять эти два выражения, чтобы составить уравнение.
Ответ: $2,5x - 75 = x + 45$.

и решите задачу

Решим составленное уравнение, чтобы найти первоначальное количество угля на каждом складе.
$2,5x - 75 = x + 45$
Перенесем слагаемые, содержащие неизвестное $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$2,5x - x = 45 + 75$
Упростим обе части уравнения:
$1,5x = 120$
Теперь найдем $x$, разделив 120 на 1,5:
$x = \frac{120}{1,5} = \frac{1200}{15} = 80$
Таким образом, исходное количество угля на втором складе составляло 80 тонн.
Найдем исходное количество угля на первом складе, которое было в 2,5 раза больше:
$2,5 \cdot 80 = 200$ тонн.
Ответ: первоначально на первом складе было 200 тонн угля, а на втором — 80 тонн.

Решите задачу, обозначив буквой наименьшую из неизвестных величин (4.46–4.48).

4.46 a) Первое число на 27 больше второго, а их сумма равна 95. Найдите эти числа.

б) Одно из чисел втрое больше второго, а разность этих чисел равна 62. Найдите большее из этих чисел.

а)

В этой задаче два неизвестных числа. По условию, первое число на 27 больше второго, значит, второе число является наименьшим. Обозначим второе число буквой $x$.

Тогда первое число будет равно $x + 27$.

Сумма этих чисел равна 95. Составим уравнение:

$(x + 27) + x = 95$

Решим это уравнение:

$2x + 27 = 95$

$2x = 95 - 27$

$2x = 68$

$x = 68 / 2$

$x = 34$

Мы нашли второе, меньшее число. Оно равно 34.

Теперь найдем первое число:

$34 + 27 = 61$

Проверка: $61 + 34 = 95$. Условие выполняется.

Ответ: 34 и 61.

б)

В этой задаче одно число втрое больше второго. Значит, второе число является наименьшим. Обозначим его буквой $y$.

Тогда большее число будет равно $3y$.

Разность этих чисел равна 62. Составим уравнение, вычитая из большего числа меньшее:

$3y - y = 62$

Решим это уравнение:

$2y = 62$

$y = 62 / 2$

$y = 31$

Мы нашли меньшее число, оно равно 31.

По условию задачи нужно найти большее из этих чисел. Найдем его:

$3 \times 31 = 93$

Проверка: $93 - 31 = 62$. Условие выполняется.

Ответ: 93.

4.47 а) Сумма трёх слагаемых равна 80. Первое слагаемое в 2 раза больше второго, а второе слагаемое в 3 раза больше третьего. Найдите каждое слагаемое этой суммы.

б) Сумма трёх чисел равна 192. Первое число в 5 раз меньше второго, а второе в 2 раза меньше третьего. Найдите каждое из чисел.

а) Для решения задачи введём переменную. Поскольку все слагаемые зависят от третьего, обозначим третье слагаемое через $x$.
Пусть третье слагаемое равно $x$.
По условию, второе слагаемое в 3 раза больше третьего, значит, оно равно $3x$.
Первое слагаемое в 2 раза больше второго, значит, оно равно $2 \cdot (3x) = 6x$.
Сумма трёх слагаемых равна 80. Составим и решим уравнение:
$6x + 3x + x = 80$
Сложим все слагаемые с $x$ в левой части уравнения:
$10x = 80$
Теперь найдём $x$:
$x = \frac{80}{10}$
$x = 8$
Таким образом, мы нашли третье слагаемое, оно равно 8.
Теперь вычислим остальные слагаемые:
Второе слагаемое: $3x = 3 \cdot 8 = 24$.
Первое слагаемое: $6x = 6 \cdot 8 = 48$.
Чтобы убедиться в правильности решения, выполним проверку: $48 + 24 + 8 = 72 + 8 = 80$. Сумма верна.
Ответ: первое слагаемое – 48, второе слагаемое – 24, третье слагаемое – 8.

б) Для решения задачи введём переменную. Поскольку все числа зависят от первого, обозначим первое число через $x$.
Пусть первое число равно $x$.
По условию, первое число в 5 раз меньше второго. Это значит, что второе число в 5 раз больше первого, то есть оно равно $5x$.
Второе число в 2 раза меньше третьего. Это значит, что третье число в 2 раза больше второго, то есть оно равно $2 \cdot (5x) = 10x$.
Сумма трёх чисел равна 192. Составим и решим уравнение:
$x + 5x + 10x = 192$
Сложим все слагаемые с $x$ в левой части уравнения:
$16x = 192$
Теперь найдём $x$:
$x = \frac{192}{16}$
$x = 12$
Таким образом, мы нашли первое число, оно равно 12.
Теперь вычислим остальные числа:
Второе число: $5x = 5 \cdot 12 = 60$.
Третье число: $10x = 10 \cdot 12 = 120$.
Чтобы убедиться в правильности решения, выполним проверку: $12 + 60 + 120 = 72 + 120 = 192$. Сумма верна.
Ответ: первое число – 12, второе число – 60, третье число – 120.

4.48 (Старинная задача.) Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внёс каждый из подмастерьев?

Решите задачу арифметическим способом, а затем алгебраическим. В каждом случае оцените, какой из них для вас удобнее (4.49–4.52).

Арифметический способ

Для решения задачи этим способом представим вклады подмастерьев в виде частей. За основу возьмем вклад третьего подмастерья.

1. Примем вклад третьего подмастерья за 1 часть.

2. По условию, второй подмастерье внёс вчетверо больше, чем третий. Следовательно, его вклад равен $1 \times 4 = 4$ части.

3. Первый подмастерье внёс втрое больше, чем второй. Его вклад равен $4 \times 3 = 12$ частей.

4. Найдем общее количество частей, на которые была разделена стоимость дома: $1 + 4 + 12 = 17$ частей.

5. Общая стоимость дома — 204 гульдена. Чтобы найти, сколько гульденов составляет одна часть, разделим общую стоимость на количество частей: $204 \div 17 = 12$ гульденов в одной части.

6. Теперь рассчитаем вклад каждого подмастерья:

   • Третий подмастерье (1 часть): $1 \times 12 = 12$ гульденов.

   • Второй подмастерье (4 части): $4 \times 12 = 48$ гульденов.

   • Первый подмастерье (12 частей): $12 \times 12 = 144$ гульдена.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй — 48 гульденов, а третий — 12 гульденов.

Алгебраический способ

Для решения задачи этим способом введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это сумма в гульденах, которую внёс третий подмастерье. Тогда, исходя из условий задачи:

• Второй подмастерье внёс $4x$ гульденов.

• Первый подмастерье внёс $3 \times (4x) = 12x$ гульденов.

Сумма их вкладов равна стоимости дома — 204 гульдена. Составим и решим уравнение:

$x + 4x + 12x = 204$

$17x = 204$

$x = \frac{204}{17}$

$x = 12$

Таким образом, сумма, которую внёс третий подмастерье, равна 12 гульденам. Теперь найдём вклады остальных:

• Вклад второго подмастерья: $4x = 4 \times 12 = 48$ гульденов.

• Вклад первого подмастерья: $12x = 12 \times 12 = 144$ гульдена.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй — 48 гульденов, а третий — 12 гульденов.

Оценка удобства способов

Оба способа являются правильными и приводят к одному и тому же результату. Выбор между ними часто зависит от личных предпочтений.

Для меня более удобным и понятным является алгебраический способ. Он позволяет перевести словесные условия задачи на язык математики, составить уравнение и решить его по чёткому алгоритму. Этот метод кажется мне более строгим и универсальным, так как он легко применим к более сложным задачам с большим количеством неизвестных и зависимостей. Арифметический способ решения "по частям" также эффективен для данной задачи, но требует больше логических рассуждений и может быть менее очевиден при усложнении условий.

4.49 a) На дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин. Обратный путь занимает у него на 10 мин больше, чем путь на работу. Сколько минут Андрей добирается до работы и сколько минут он едет домой?

б) На выборах в городскую администрацию за двух кандидатов проголосовало 600 человек. Один из них получил на 120 голосов больше, чем другой. Сколько голосов получил каждый?

а) Пусть время, которое Андрей тратит на дорогу до работы, равно $x$ минут. По условию, обратный путь занимает на 10 минут больше, значит, время на дорогу домой составляет $x + 10$ минут. Общее время на дорогу от дома до работы и обратно — 90 минут.
Составим и решим уравнение:
$x + (x + 10) = 90$
$2x + 10 = 90$
$2x = 90 - 10$
$2x = 80$
$x = 80 / 2$
$x = 40$
Таким образом, на дорогу до работы Андрей тратит 40 минут.
Время на дорогу домой составляет:
$40 + 10 = 50$ минут.
Проверим: $40 + 50 = 90$ минут.
Ответ: до работы Андрей добирается 40 минут, а домой едет 50 минут.

б) Пусть один из кандидатов получил $y$ голосов. Тогда второй, согласно условию, получил на 120 голосов больше, то есть $y + 120$ голосов. Всего за двух кандидатов проголосовало 600 человек.
Составим и решим уравнение:
$y + (y + 120) = 600$
$2y + 120 = 600$
$2y = 600 - 120$
$2y = 480$
$y = 480 / 2$
$y = 240$
Итак, один кандидат получил 240 голосов.
Тогда второй кандидат получил:
$240 + 120 = 360$ голосов.
Проверим: $240 + 360 = 600$ голосов.
Ответ: один кандидат получил 240 голосов, а другой — 360 голосов.

4.50 а) Бронза — это сплав олова и меди. Сколько олова и меди содержится в куске бронзы, масса которого 80 кг, если олово и медь входят в неё в отношении $3 : 17$?

б) Сколько соли и сколько воды содержится в 200 г раствора соли, если соль и вода входят в него в отношении $1 : 4$?

В данной задаче нам известно, что общая масса куска бронзы составляет 80 кг, а соотношение олова и меди в нем равно 3:17. Это означает, что сплав состоит из частей олова и меди, и на каждые 3 части олова приходится 17 частей меди.

1. Найдем общее количество частей в сплаве. Для этого сложим части олова и меди:

$3 + 17 = 20$ (частей)

2. Теперь определим, какая масса приходится на одну часть. Для этого общую массу сплава разделим на общее количество частей:

$80 \text{ кг} / 20 = 4 \text{ кг}$

Таким образом, одна часть сплава весит 4 кг.

3. Рассчитаем массу олова в куске бронзы. Так как на олово приходится 3 части, умножим массу одной части на 3:

$4 \text{ кг} \cdot 3 = 12 \text{ кг}$

4. Рассчитаем массу меди в куске бронзы. На медь приходится 17 частей, поэтому умножим массу одной части на 17:

$4 \text{ кг} \cdot 17 = 68 \text{ кг}$

5. Проверим правильность решения, сложив массы олова и меди. Их сумма должна быть равна общей массе куска бронзы:

$12 \text{ кг} + 68 \text{ кг} = 80 \text{ кг}$

Решение верное.

Ответ: в куске бронзы содержится 12 кг олова и 68 кг меди.

Нам известно, что общая масса раствора составляет 200 г, а соотношение соли и воды в нем равно 1:4. Это значит, что на 1 часть соли приходится 4 части воды.

1. Найдем общее количество частей в растворе, сложив части соли и воды:

$1 + 4 = 5$ (частей)

2. Определим массу одной части. Для этого общую массу раствора разделим на общее количество частей:

$200 \text{ г} / 5 = 40 \text{ г}$

Следовательно, одна часть раствора весит 40 г.

3. Рассчитаем массу соли в растворе. Так как на соль приходится 1 часть, ее масса равна массе одной части:

$40 \text{ г} \cdot 1 = 40 \text{ г}$

4. Рассчитаем массу воды в растворе. На воду приходится 4 части, поэтому умножим массу одной части на 4:

$40 \text{ г} \cdot 4 = 160 \text{ г}$

5. Проверим правильность решения, сложив массы соли и воды. Их сумма должна быть равна общей массе раствора:

$40 \text{ г} + 160 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Решение верное.

Ответ: в 200 г раствора содержится 40 г соли и 160 г воды.