Номер 4.48, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.48 (Старинная задача.) Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внёс каждый из подмастерьев?

Решите задачу арифметическим способом, а затем алгебраическим. В каждом случае оцените, какой из них для вас удобнее (4.49–4.52).

Арифметический способ

Для решения задачи этим способом представим вклады подмастерьев в виде частей. За основу возьмем вклад третьего подмастерья.

1. Примем вклад третьего подмастерья за 1 часть.

2. По условию, второй подмастерье внёс вчетверо больше, чем третий. Следовательно, его вклад равен $1 \times 4 = 4$ части.

3. Первый подмастерье внёс втрое больше, чем второй. Его вклад равен $4 \times 3 = 12$ частей.

4. Найдем общее количество частей, на которые была разделена стоимость дома: $1 + 4 + 12 = 17$ частей.

5. Общая стоимость дома — 204 гульдена. Чтобы найти, сколько гульденов составляет одна часть, разделим общую стоимость на количество частей: $204 \div 17 = 12$ гульденов в одной части.

6. Теперь рассчитаем вклад каждого подмастерья:

   • Третий подмастерье (1 часть): $1 \times 12 = 12$ гульденов.

   • Второй подмастерье (4 части): $4 \times 12 = 48$ гульденов.

   • Первый подмастерье (12 частей): $12 \times 12 = 144$ гульдена.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй — 48 гульденов, а третий — 12 гульденов.

Алгебраический способ

Для решения задачи этим способом введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это сумма в гульденах, которую внёс третий подмастерье. Тогда, исходя из условий задачи:

• Второй подмастерье внёс $4x$ гульденов.

• Первый подмастерье внёс $3 \times (4x) = 12x$ гульденов.

Сумма их вкладов равна стоимости дома — 204 гульдена. Составим и решим уравнение:

$x + 4x + 12x = 204$

$17x = 204$

$x = \frac{204}{17}$

$x = 12$

Таким образом, сумма, которую внёс третий подмастерье, равна 12 гульденам. Теперь найдём вклады остальных:

• Вклад второго подмастерья: $4x = 4 \times 12 = 48$ гульденов.

• Вклад первого подмастерья: $12x = 12 \times 12 = 144$ гульдена.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй — 48 гульденов, а третий — 12 гульденов.

Оценка удобства способов

Оба способа являются правильными и приводят к одному и тому же результату. Выбор между ними часто зависит от личных предпочтений.

Для меня более удобным и понятным является алгебраический способ. Он позволяет перевести словесные условия задачи на язык математики, составить уравнение и решить его по чёткому алгоритму. Этот метод кажется мне более строгим и универсальным, так как он легко применим к более сложным задачам с большим количеством неизвестных и зависимостей. Арифметический способ решения "по частям" также эффективен для данной задачи, но требует больше логических рассуждений и может быть менее очевиден при усложнении условий.