Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.31 а) $4(x-7)=3x+5;$

б) $-5x+3(3+2x)=7;$

в) $30-x=3(20-x);$

г) $2u-3(7-2u)=3;$

д) $12-y=5(4-2y)+10;$

е) $2-2(x-8)=4x-4.$

а) $4(x - 7) = 3x + 5$
Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 4 на каждый член в скобках:
$4 \cdot x - 4 \cdot 7 = 3x + 5$
$4x - 28 = 3x + 5$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $3x$ в левую часть (со сменой знака) и $-28$ в правую часть (также со сменой знака):
$4x - 3x = 5 + 28$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$x = 33$
Ответ: $x = 33$

б) $-5x + 3(3 + 2x) = 7$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$-5x + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2x = 7$
$-5x + 9 + 6x = 7$
Приведем подобные слагаемые с переменной $x$ в левой части:
$(-5x + 6x) + 9 = 7$
$x + 9 = 7$
Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 7 - 9$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$

в) $30 - x = 3(20 - x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$30 - x = 3 \cdot 20 - 3 \cdot x$
$30 - x = 60 - 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-x + 3x = 60 - 30$
Приведем подобные слагаемые:
$2x = 30$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$
Ответ: $x = 15$

г) $2u - 3(7 - 2u) = 3$
Раскроем скобки в левой части. Обратим внимание, что мы умножаем на $-3$:
$2u - 3 \cdot 7 - 3 \cdot (-2u) = 3$
$2u - 21 + 6u = 3$
Приведем подобные слагаемые с переменной $u$ в левой части:
$(2u + 6u) - 21 = 3$
$8u - 21 = 3$
Перенесем $-21$ в правую часть, изменив знак:
$8u = 3 + 21$
$8u = 24$
Разделим обе части на 8:
$u = \frac{24}{8}$
$u = 3$
Ответ: $u = 3$

д) $12 - y = 5(4 - 2y) + 10$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$12 - y = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 2y + 10$
$12 - y = 20 - 10y + 10$
Сложим числа в правой части:
$12 - y = 30 - 10y$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$-y + 10y = 30 - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$9y = 18$
Разделим обе части на 9:
$y = \frac{18}{9}$
$y = 2$
Ответ: $y = 2$

е) $2 - 2(x - 8) = 4x - 4$
Раскроем скобки в левой части, умножая на $-2$:
$2 - 2 \cdot x - 2 \cdot (-8) = 4x - 4$
$2 - 2x + 16 = 4x - 4$
Приведем подобные слагаемые (числа) в левой части:
$18 - 2x = 4x - 4$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую для удобства:
$18 + 4 = 4x + 2x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$22 = 6x$
Поменяем части уравнения местами для наглядности:
$6x = 22$
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{22}{6}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{11}{3}$
Ответ: $x = \frac{11}{3}$

Найдите корень уравнения (4.32–4.34).

4.32

а) $\frac{1}{3}y + 2 = 1$;

б) $\frac{1}{5}x + 11 = 1 - \frac{3}{5}x$;

в) $8 - \frac{1}{4}z = 1$;

г) $3 - \frac{5}{7}t = 1 - \frac{3}{7}t$;

д) $\frac{1}{8}u - 2 = \frac{5}{8}u + 1$;

е) $\frac{2}{5}z - 7 = 3.$

а) $\frac{1}{3}y + 2 = 1$
Чтобы найти корень уравнения, сначала изолируем слагаемое с переменной $y$. Для этого перенесем число 2 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$\frac{1}{3}y = 1 - 2$
Выполним вычитание в правой части:
$\frac{1}{3}y = -1$
Теперь, чтобы найти $y$, нужно избавиться от коэффициента $\frac{1}{3}$. Для этого умножим обе части уравнения на 3:
$y = -1 \cdot 3$
$y = -3$
Ответ: $-3$.

б) $\frac{1}{5}x + 11 = 1 - \frac{3}{5}x$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:
$\frac{1}{5}x + \frac{3}{5}x = 1 - 11$
Выполним сложение в левой части и вычитание в правой:
$(\frac{1}{5} + \frac{3}{5})x = -10$
$\frac{4}{5}x = -10$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{5}{4}$:
$x = -10 \cdot \frac{5}{4}$
$x = -\frac{50}{4}$
Сократим дробь и представим ответ в виде десятичной дроби:
$x = -12.5$
Ответ: $-12.5$.

в) $8 - \frac{1}{4}z = 1$
Изолируем слагаемое с переменной $z$. Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:
$-\frac{1}{4}z = 1 - 8$
$-\frac{1}{4}z = -7$
Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на -4:
$z = -7 \cdot (-4)$
$z = 28$
Ответ: $28$.

г) $3 - \frac{5}{7}t = 1 - \frac{3}{7}t$
Сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$-\frac{5}{7}t + \frac{3}{7}t = 1 - 3$
Упростим обе части уравнения:
$(\frac{-5+3}{7})t = -2$
$-\frac{2}{7}t = -2$
Чтобы найти $t$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $t$, то есть на $-\frac{7}{2}$:
$t = -2 \cdot (-\frac{7}{2})$
$t = 7$
Ответ: $7$.

д) $\frac{1}{8}u - 2 = \frac{5}{8}u + 1$
Сгруппируем слагаемые с переменной $u$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$\frac{1}{8}u - \frac{5}{8}u = 1 + 2$
Упростим обе части уравнения:
$(\frac{1-5}{8})u = 3$
$-\frac{4}{8}u = 3$
Сократим дробь в левой части:
$-\frac{1}{2}u = 3$
Чтобы найти $u$, умножим обе части уравнения на -2:
$u = 3 \cdot (-2)$
$u = -6$
Ответ: $-6$.

е) $\frac{2}{5}z - 7 = 3$
Изолируем слагаемое с переменной $z$. Перенесем -7 в правую часть уравнения, изменив знак:
$\frac{2}{5}z = 3 + 7$
$\frac{2}{5}z = 10$
Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $z$, то есть на $\frac{5}{2}$:
$z = 10 \cdot \frac{5}{2}$
$z = \frac{50}{2}$
$z = 25$
Ответ: $25$.

4.33 а) $\frac{y}{2} - 3 = 6$;

б) $\frac{z}{3} + 8 = \frac{2z}{3}$;

в) $5 + \frac{x}{3} = -1$;

г) $\frac{u}{5} + \frac{3u}{5} = 4$;

д) $\frac{x}{4} - 1 = 11$;

е) $\frac{3y}{2} + 5 = \frac{y}{2}$;

ж) $4 - \frac{u}{5} = \frac{4}{5}$;

з) $\frac{z}{10} + 1 = -10$.

а) Исходное уравнение: $\frac{y}{2} - 3 = 6$.
Чтобы найти значение $y$, сначала изолируем член с $y$. Для этого перенесем $-3$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
$\frac{y}{2} = 6 + 3$
$\frac{y}{2} = 9$
Теперь, чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на знаменатель 2:
$y = 9 \cdot 2$
$y = 18$
Ответ: $18$.

б) Исходное уравнение: $\frac{z}{3} + 8 = \frac{2z}{3}$.
Сгруппируем члены, содержащие переменную $z$, в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой. Перенесем $\frac{z}{3}$ в правую часть:
$8 = \frac{2z}{3} - \frac{z}{3}$
Так как знаменатели у дробей одинаковые, вычитаем их числители:
$8 = \frac{2z - z}{3}$
$8 = \frac{z}{3}$
Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на 3:
$z = 8 \cdot 3$
$z = 24$
Ответ: $24$.

в) Исходное уравнение: $5 + \frac{x}{3} = -1$.
Перенесем 5 из левой части в правую, изменив знак:
$\frac{x}{3} = -1 - 5$
$\frac{x}{3} = -6$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = -6 \cdot 3$
$x = -18$
Ответ: $-18$.

г) Исходное уравнение: $\frac{u}{5} + \frac{3u}{5} = 4$.
Дроби в левой части имеют общий знаменатель 5, поэтому мы можем сложить их числители:
$\frac{u + 3u}{5} = 4$
$\frac{4u}{5} = 4$
Умножим обе части на 5:
$4u = 4 \cdot 5$
$4u = 20$
Разделим обе части на 4, чтобы найти $u$:
$u = \frac{20}{4}$
$u = 5$
Ответ: $5$.

д) Исходное уравнение: $\frac{x}{4} - 1 = 11$.
Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:
$\frac{x}{4} = 11 + 1$
$\frac{x}{4} = 12$
Умножим обе части уравнения на 4:
$x = 12 \cdot 4$
$x = 48$
Ответ: $48$.

е) Исходное уравнение: $\frac{3y}{2} + 5 = \frac{y}{2}$.
Сгруппируем члены с $y$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Перенесем $\frac{y}{2}$ влево и 5 вправо, изменив их знаки:
$\frac{3y}{2} - \frac{y}{2} = -5$
Выполним вычитание дробей в левой части:
$\frac{3y - y}{2} = -5$
$\frac{2y}{2} = -5$
Сократим дробь:
$y = -5$
Ответ: $-5$.

ж) Исходное уравнение: $4 - \frac{u}{5} = \frac{4}{5}$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим каждый член уравнения на 5:
$5 \cdot 4 - 5 \cdot \frac{u}{5} = 5 \cdot \frac{4}{5}$
$20 - u = 4$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $u$ в правую часть, а 4 — в левую:
$20 - 4 = u$
$u = 16$
Ответ: $16$.

з) Исходное уравнение: $\frac{z}{10} + 1 = -10$.
Перенесем 1 из левой части в правую, изменив знак:
$\frac{z}{10} = -10 - 1$
$\frac{z}{10} = -11$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы найти $z$:
$z = -11 \cdot 10$
$z = -110$
Ответ: $-110$.

4.34 а) $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1;$

Б) $\frac{z}{8} - \frac{z}{4} = 3;$

В) $\frac{y}{2} - \frac{y}{7} = 5;$

Г) $\frac{x}{5} - 4 = \frac{x}{3};$

Д) $\frac{y}{3} = \frac{y}{2} - 7;$

е) $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3} - 4;$

Ж) $\frac{z}{5} = \frac{z}{10} + 1;$

З) $\frac{u}{2} - 3 = \frac{u}{4} + 5.$

а) $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3 и 6 равно 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 1$

После сокращения дробей получаем:

$2x + x = 6$

Складываем подобные слагаемые в левой части:

$3x = 6$

Делим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $\frac{z}{8} - \frac{z}{4} = 3$

Найдем общий знаменатель для дробей. НОК для 8 и 4 равно 8. Умножим обе части уравнения на 8:

$8 \cdot \frac{z}{8} - 8 \cdot \frac{z}{4} = 8 \cdot 3$

Сокращаем дроби:

$z - 2z = 24$

Приводим подобные слагаемые:

$-z = 24$

Умножаем обе части на -1, чтобы найти $z$:

$z = -24$

Ответ: $-24$.

в) $\frac{y}{2} - \frac{y}{7} = 5$

Общий знаменатель для 2 и 7 - это их произведение, то есть 14. Умножим обе части уравнения на 14:

$14 \cdot \frac{y}{2} - 14 \cdot \frac{y}{7} = 14 \cdot 5$

Выполняем сокращение:

$7y - 2y = 70$

Вычитаем слагаемые в левой части:

$5y = 70$

Делим обе части на 5:

$y = \frac{70}{5}$

$y = 14$

Ответ: $14$.

г) $\frac{x}{5} - 4 = \frac{x}{3}$

Сначала перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа - в другую:

$\frac{x}{5} - \frac{x}{3} = 4$

Общий знаменатель для 5 и 3 равен 15. Умножим обе части на 15:

$15 \cdot \frac{x}{5} - 15 \cdot \frac{x}{3} = 15 \cdot 4$

Сокращаем дроби:

$3x - 5x = 60$

Приводим подобные слагаемые:

$-2x = 60$

Делим обе части на -2:

$x = \frac{60}{-2}$

$x = -30$

Ответ: $-30$.

д) $\frac{y}{3} = \frac{y}{2} - 7$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа оставим в правой:

$\frac{y}{3} - \frac{y}{2} = -7$

Общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Умножим обе части на 6:

$6 \cdot \frac{y}{3} - 6 \cdot \frac{y}{2} = 6 \cdot (-7)$

Сокращаем:

$2y - 3y = -42$

Вычитаем слагаемые:

$-y = -42$

Умножаем на -1:

$y = 42$

Ответ: $42$.

е) $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3} - 4$

Сгруппируем слагаемые с $x$ слева, а числовые слагаемые справа:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = -4 + 1$

$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = -3$

Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части на 6:

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot (-3)$

Сокращаем:

$3x - 2x = -18$

Приводим подобные слагаемые:

$x = -18$

Ответ: $-18$.

ж) $\frac{z}{5} = \frac{z}{10} + 1$

Перенесем слагаемое с $z$ в левую часть:

$\frac{z}{5} - \frac{z}{10} = 1$

Общий знаменатель для 5 и 10 равен 10. Умножим обе части на 10:

$10 \cdot \frac{z}{5} - 10 \cdot \frac{z}{10} = 10 \cdot 1$

После сокращения:

$2z - z = 10$

Приводим подобные слагаемые:

$z = 10$

Ответ: $10$.

з) $\frac{u}{2} - 3 = \frac{u}{4} + 5$

Сгруппируем слагаемые с переменной $u$ в левой части, а числа в правой:

$\frac{u}{2} - \frac{u}{4} = 5 + 3$

$\frac{u}{2} - \frac{u}{4} = 8$

Общий знаменатель для 2 и 4 равен 4. Умножим обе части на 4:

$4 \cdot \frac{u}{2} - 4 \cdot \frac{u}{4} = 4 \cdot 8$

Сокращаем дроби:

$2u - u = 32$

Находим $u$:

$u = 32$

Ответ: $32$.

4.35 При каких значениях $x$:

а) значение выражения $-3x$ равно $3$; $0$; $-1$;

б) значение выражения $5x - 6$ равно $-6$; $0$; $-1$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $-3x$ принимает заданные значения, решим соответствующие уравнения для каждого случая.

1. Значение выражения равно 3:

$-3x = 3$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{3}{-3}$

$x = -1$

2. Значение выражения равно 0:

$-3x = 0$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{0}{-3}$

$x = 0$

3. Значение выражения равно -1:

$-3x = -1$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{-1}{-3}$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: значение выражения $-3x$ равно 3 при $x = -1$; равно 0 при $x = 0$; равно -1 при $x = \frac{1}{3}$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $5x-6$ принимает заданные значения, решим соответствующие уравнения для каждого случая.

1. Значение выражения равно -6:

$5x - 6 = -6$

Перенесём $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = -6 + 6$

$5x = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{0}{5}$

$x = 0$

2. Значение выражения равно 0:

$5x - 6 = 0$

Перенесём $-6$ в правую часть:

$5x = 6$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{6}{5}$

$x = 1,2$

3. Значение выражения равно -1:

$5x - 6 = -1$

Перенесём $-6$ в правую часть:

$5x = -1 + 6$

$5x = 5$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{5}{5}$

$x = 1$

Ответ: значение выражения $5x-6$ равно -6 при $x=0$; равно 0 при $x=1,2$; равно -1 при $x=1$.

4.36 При каком значении переменной:

а) значение выражения $3y + 4$ равно значению выражения $3 - 2y$;

б) значения выражений $4z - 5$ и $14 + 5z$ противоположны?

а) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $3y + 4$ равно значению выражения $3 - 2y$, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное линейное уравнение.

Составим уравнение:

$3y + 4 = 3 - 2y$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3y + 2y = 3 - 4$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$5y = -1$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 5:

$y = \frac{-1}{5}$

$y = -0.2$

Ответ: $-0.2$

б) Чтобы значения выражений $4z - 5$ и $14 + 5z$ были противоположными, их сумма должна быть равна нулю. Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки (например, $a$ и $-a$).

Составим уравнение, исходя из того, что сумма выражений равна нулю:

$(4z - 5) + (14 + 5z) = 0$

Раскроем скобки:

$4z - 5 + 14 + 5z = 0$

Приведем подобные слагаемые: сгруппируем слагаемые с переменной $z$ и числовые слагаемые.

$(4z + 5z) + (-5 + 14) = 0$

$9z + 9 = 0$

Перенесем постоянное слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак:

$9z = -9$

Чтобы найти $z$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 9:

$z = \frac{-9}{9}$

$z = -1$

Ответ: $-1$

4.37 Найдите значение переменной, при котором:

а) значение выражения $7+5x$ в 2 раза больше значения выражения $3x$;

б) значение выражения $2x-4$ в 3 раза меньше значения выражения $2x$;

в) значение выражения $8z+3$ на 10 больше значения выражения $4-2z$;

г) значение выражения $15-3x$ на 2 меньше значения выражения $2x+3$.

а) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $7 + 5x$ в 2 раза больше значения выражения $3x$, необходимо составить уравнение. Условие "в 2 раза больше" означает, что первое выражение равно второму, умноженному на 2.

Составим и решим уравнение:

$7 + 5x = 2 \cdot (3x)$

$7 + 5x = 6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения:

$7 = 6x - 5x$

$x = 7$

Для проверки подставим найденное значение $x$ в оба выражения:

Значение первого выражения: $7 + 5 \cdot 7 = 7 + 35 = 42$.

Значение второго выражения: $3 \cdot 7 = 21$.

Поскольку $42 = 2 \cdot 21$, решение верно.

Ответ: $7$.

б) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $2x - 4$ в 3 раза меньше значения выражения $2x$, необходимо составить уравнение. Условие "в 3 раза меньше" означает, что второе выражение равно первому, умноженному на 3.

Составим и решим уравнение:

$3 \cdot (2x - 4) = 2x$

Раскроем скобки:

$6x - 12 = 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$6x - 2x = 12$

$4x = 12$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Для проверки подставим найденное значение $x$ в оба выражения:

Значение первого выражения: $2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Значение второго выражения: $2 \cdot 3 = 6$.

Поскольку $6 = 3 \cdot 2$, решение верно.

Ответ: $3$.

в) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $8z + 3$ на 10 больше значения выражения $4 - 2z$, необходимо составить уравнение. Условие "на 10 больше" означает, что первое выражение равно второму, к которому прибавили 10.

Составим и решим уравнение:

$8z + 3 = (4 - 2z) + 10$

$8z + 3 = 14 - 2z$

Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую:

$8z + 2z = 14 - 3$

$10z = 11$

$z = \frac{11}{10}$

$z = 1,1$

Для проверки подставим найденное значение $z$ в оба выражения:

Значение первого выражения: $8 \cdot 1,1 + 3 = 8,8 + 3 = 11,8$.

Значение второго выражения: $4 - 2 \cdot 1,1 = 4 - 2,2 = 1,8$.

Поскольку $11,8 = 1,8 + 10$, решение верно.

Ответ: $1,1$.

г) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $15 - 3x$ на 2 меньше значения выражения $2x + 3$, необходимо составить уравнение. Условие "на 2 меньше" означает, что первое выражение равно второму, из которого вычли 2.

Составим и решим уравнение:

$15 - 3x = (2x + 3) - 2$

$15 - 3x = 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$15 - 1 = 2x + 3x$

$14 = 5x$

$x = \frac{14}{5}$

$x = 2,8$

Для проверки подставим найденное значение $x$ в оба выражения:

Значение первого выражения: $15 - 3 \cdot 2,8 = 15 - 8,4 = 6,6$.

Значение второго выражения: $2 \cdot 2,8 + 3 = 5,6 + 3 = 8,6$.

Поскольку $6,6 = 8,6 - 2$, решение верно.

Ответ: $2,8$.

4.38 Придумайте несколько уравнений, корнем каждого из которых является число:

а) 6;

б) -10;

в) 0;

г) $-\frac{1}{3}$.

а) Чтобы составить уравнение, корнем которого является число 6, можно начать с верного равенства $x=6$ и выполнять одинаковые арифметические операции с его левой и правой частями. Таким образом можно получить бесконечное множество уравнений.

Пример 1: Самое простое уравнение получается, если перенести 6 в левую часть равенства $x=6$. Получим $x-6=0$. Проверка: $6-6=0$.

Пример 2: Умножим обе части равенства $x=6$ на какое-нибудь число, например, на 2. Получим $2x = 2 \cdot 6$, то есть $2x=12$. Проверка: $2 \cdot 6 = 12$.

Пример 3: Составим более сложное выражение с $x$, например, $x+4$, и вычислим его значение при $x=6$. Получим $6+4=10$. Значит, уравнение будет $x+4=10$. Проверка: $x=10-4=6$.

Ответ: Например, $x-6=0$, $2x=12$, $x+4=10$.

б) Аналогично составим уравнения, для которых корнем является число -10. Исходное равенство: $x=-10$.

Пример 1: Перенесем -10 в левую часть равенства (с противоположным знаком): $x+10=0$. Проверка: $-10+10=0$.

Пример 2: Разделим обе части равенства $x=-10$ на 5. Получим $\frac{x}{5} = \frac{-10}{5}$, то есть $\frac{x}{5}=-2$. Проверка: $\frac{-10}{5}=-2$.

Пример 3: Умножим обе части равенства $x=-10$ на -3 и прибавим 8. Левая часть: $-3x+8$. Правая часть: $-3 \cdot (-10) + 8 = 30 + 8 = 38$. Уравнение: $-3x+8=38$. Проверка: $-3x = 38-8 \Rightarrow -3x=30 \Rightarrow x=-10$.

Ответ: Например, $x+10=0$, $\frac{x}{5}=-2$, $-3x+8=38$.

в) Составим уравнения, корнем которых является число 0. Исходное равенство: $x=0$.

Пример 1: Умножим обе части равенства $x=0$ на любое ненулевое число, например, на 15. Получим $15x=0$. Проверка: $15 \cdot 0 = 0$.

Пример 2: Прибавим к обеим частям равенства $x=0$ число 7. Получим $x+7=7$. Проверка: $0+7=7$.

Пример 3: Возьмем выражение $\frac{x}{9}-2$ и вычислим его значение при $x=0$. Получим $\frac{0}{9}-2 = 0-2 = -2$. Уравнение: $\frac{x}{9}-2=-2$. Проверка: $\frac{x}{9}=-2+2 \Rightarrow \frac{x}{9}=0 \Rightarrow x=0$.

Ответ: Например, $15x=0$, $x+7=7$, $\frac{x}{9}-2=-2$.

г) Составим уравнения, корнем которых является число $-\frac{1}{3}$. Исходное равенство: $x = -\frac{1}{3}$.

Пример 1: Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на знаменатель, то есть на 3. Получим $3x = 3 \cdot (-\frac{1}{3})$, то есть $3x=-1$. Проверка: $x = -\frac{1}{3}$.

Пример 2: Перенесем $-\frac{1}{3}$ в левую часть равенства. Получим $x+\frac{1}{3}=0$. Проверка: $-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$.

Пример 3: Составим более сложное уравнение. Умножим обе части исходного равенства на 6 и вычтем 5. Левая часть: $6x-5$. Правая часть: $6 \cdot (-\frac{1}{3}) - 5 = -2 - 5 = -7$. Уравнение: $6x-5=-7$. Проверка: $6x=-7+5 \Rightarrow 6x=-2 \Rightarrow x=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$.

Ответ: Например, $3x=-1$, $x+\frac{1}{3}=0$, $6x-5=-7$.