Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.7 Составьте уравнение по условию задачи. (Действуйте по плану, аналогичному плану задачи 4.6.)

В одной машине 3 т яблок, а в другой – 5 т яблок. Из первой машины выгрузили несколько ящиков, 15 кг в каждом, а из второй – в 2 раза больше ящиков, 20 кг в каждом. После этого в первой машине осталось столько же яблок, сколько во второй. Сколько ящиков выгрузили из каждой машины?

Для решения задачи составим уравнение. Сначала необходимо привести все величины к единой единице измерения. Так как вес ящиков дан в килограммах, переведем тонны в килограммы. Известно, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
Начальная масса яблок в первой машине: $3 \text{ т} = 3 \times 1000 = 3000 \text{ кг}$.
Начальная масса яблок во второй машине: $5 \text{ т} = 5 \times 1000 = 5000 \text{ кг}$.

Пусть $x$ — это количество ящиков, которое выгрузили из первой машины. Масса одного такого ящика — 15 кг, следовательно, общая масса выгруженных из первой машины яблок равна $15x$ кг.

По условию, из второй машины выгрузили в 2 раза больше ящиков, то есть $2x$ ящиков. Масса одного ящика из второй машины — 20 кг, значит, общая масса выгруженных яблок составляет $20 \times (2x) = 40x$ кг.

После выгрузки в первой машине осталось яблок: $3000 - 15x$ кг.
Во второй машине осталось яблок: $5000 - 40x$ кг.

В задаче сказано, что после выгрузки в обеих машинах яблок осталось поровну. На основании этого можно составить уравнение:
$3000 - 15x = 5000 - 40x$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую часть, не забывая менять знаки при переносе:
$40x - 15x = 5000 - 3000$

Упростим обе части уравнения:
$25x = 2000$

Найдем $x$, разделив обе части на 25:
$x = \frac{2000}{25}$
$x = 80$

Таким образом, из первой машины выгрузили 80 ящиков.

Теперь найдем, сколько ящиков выгрузили из второй машины. Их было в 2 раза больше:
$2 \times x = 2 \times 80 = 160$ ящиков.

Ответ: из первой машины выгрузили 80 ящиков, а из второй — 160 ящиков.

4.8 Составьте разные уравнения по условию задачи:

а) Пётр заметил, что в этом году он младше отца в 3 раза, отец младше деда в 2 раза, а сумма его возраста, возраста отца и возраста деда составляет 110 лет. Сколько лет каждому?

б) Брат старше сестры на 4 года. Отец сказал сыну: «Мне 30 лет. Если через 2 года я сложу твой возраст и возраст твоей сестры, то результат будет меньше моего возраста в 2 раза». Определите, сколько лет брату и сестре сейчас и сколько будет каждому из них через 2 года.

а)

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение.
Пусть возраст Петра равен $x$ лет.
Из условия известно, что Пётр младше отца в 3 раза, значит, возраст отца составляет $3x$ лет.
Также известно, что отец младше деда в 2 раза. Следовательно, возраст деда равен $2 \times (3x) = 6x$ лет.
Сумма возрастов Петра, его отца и деда составляет 110 лет. На основе этого составим уравнение:

$x + 3x + 6x = 110$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
$10x = 110$
$x = \frac{110}{10}$
$x = 11$

Мы нашли возраст Петра — ему 11 лет. Теперь можем найти возраст отца и деда:
Возраст отца: $3x = 3 \times 11 = 33$ года.
Возраст деда: $6x = 6 \times 11 = 66$ лет.

Проверим правильность решения: $11 + 33 + 66 = 44 + 66 = 110$. Условие задачи выполнено.

Ответ: Петру 11 лет, отцу 33 года, а деду 66 лет.

б)

Для решения задачи введем переменную для возраста одного из детей.
Пусть возраст сестры сейчас составляет $x$ лет.
Брат старше сестры на 4 года, значит, его возраст сейчас — $x + 4$ лет.
Возраст отца сейчас — 30 лет.

Теперь рассмотрим, какими будут их возрасты через 2 года:
Возраст сестры: $x + 2$ лет.
Возраст брата: $(x + 4) + 2 = x + 6$ лет.
Возраст отца: $30 + 2 = 32$ года.

По условию, через 2 года сумма возрастов брата и сестры будет в 2 раза меньше возраста отца, то есть будет равна половине его возраста. Составим уравнение на основе этого условия:

$(x + 2) + (x + 6) = \frac{32}{2}$

Решим это уравнение:
$2x + 8 = 16$
$2x = 16 - 8$
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

Таким образом, возраст сестры сейчас — 4 года.
Найдём возраст брата сейчас:
Возраст брата: $x + 4 = 4 + 4 = 8$ лет.

Теперь определим, сколько лет им будет через 2 года:
Возраст сестры через 2 года: $4 + 2 = 6$ лет.
Возраст брата через 2 года: $8 + 2 = 10$ лет.

Ответ: сейчас брату 8 лет, а сестре 4 года; через 2 года брату будет 10 лет, а сестре 6 лет.

4.9 Широко известна старинная задача о фазанах и кроликах: «В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов».

Составьте разные уравнения по условию задачи, обозначив буквой:

а) число фазанов;

$2x + 4(35 - x) = 94$

б) число кроликов;

$2(35 - x) + 4x = 94$

в) число ног у фазанов;

$\frac{x}{2} + \frac{94 - x}{4} = 35$

г) число ног у кроликов.

$\frac{94 - x}{2} + \frac{x}{4} = 35$

Для решения задачи воспользуемся данными: всего 35 голов и 94 ноги. У каждого фазана 2 ноги, а у каждого кролика — 4 ноги. Каждое животное имеет одну голову.

а) число фазанов

Пусть $x$ — это число фазанов. Тогда число кроликов будет $35 - x$, так как всего 35 голов. Суммарное количество ног можно выразить как сумму ног всех фазанов ($2x$) и ног всех кроликов ($4(35-x)$), что по условию равно 94. Составим уравнение:

$2x + 4(35 - x) = 94$

Теперь решим это уравнение:

$2x + 140 - 4x = 94$

$140 - 2x = 94$

$2x = 140 - 94$

$2x = 46$

$x = 23$

Таким образом, число фазанов равно 23. Тогда число кроликов равно $35 - 23 = 12$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

б) число кроликов

Пусть $y$ — это число кроликов. Тогда число фазанов будет $35 - y$. Суммарное количество ног можно выразить как сумму ног всех кроликов ($4y$) и ног всех фазанов ($2(35-y)$), что равно 94. Составим уравнение:

$4y + 2(35 - y) = 94$

Решим уравнение:

$4y + 70 - 2y = 94$

$2y + 70 = 94$

$2y = 94 - 70$

$2y = 24$

$y = 12$

Таким образом, число кроликов равно 12. Тогда число фазанов равно $35 - 12 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

в) число ног у фазанов

Пусть $z$ — это общее число ног у всех фазанов. Так как у каждого фазана 2 ноги, то число фазанов равно $z/2$. Общее число ног у кроликов тогда будет $94 - z$, а число самих кроликов — $(94-z)/4$. Сумма голов всех животных равна 35. Составим уравнение:

$\frac{z}{2} + \frac{94 - z}{4} = 35$

Решим уравнение, умножив обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$2z + (94 - z) = 140$

$z + 94 = 140$

$z = 140 - 94$

$z = 46$

Общее число ног у фазанов — 46. Тогда число фазанов: $46/2 = 23$. Число кроликов: $(94 - 46)/4 = 48/4 = 12$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

г) число ног у кроликов

Пусть $w$ — это общее число ног у всех кроликов. Так как у каждого кролика 4 ноги, то число кроликов равно $w/4$. Общее число ног у фазанов тогда будет $94 - w$, а число самих фазанов — $(94-w)/2$. Сумма голов всех животных равна 35. Составим уравнение:

$\frac{w}{4} + \frac{94 - w}{2} = 35$

Решим уравнение, умножив обе части на 4:

$w + 2(94 - w) = 140$

$w + 188 - 2w = 140$

$188 - w = 140$

$w = 188 - 140$

$w = 48$

Общее число ног у кроликов — 48. Тогда число кроликов: $48/4 = 12$. Число фазанов: $(94 - 48)/2 = 46/2 = 23$.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.