Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называется корнем уравнения? Определите, является ли число –2 корнем уравнения, и объясните ответ:

а) $x^2 + x + 2 = 0;$

б) $x^4 + 4 = 20;$

в) $(x - 5)(x + 2) = 0;$

г) $|x| + 3 = 1.$

Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Чтобы определить, является ли число $-2$ корнем уравнения, нужно подставить это значение вместо переменной в каждое уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

а) $x^2 + x + 2 = 0$
Подставим $x = -2$:
$(-2)^2 + (-2) + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$.
Мы получили $4 = 0$, что является неверным равенством. Значит, $-2$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

б) $x^4 + 4 = 20$
Подставим $x = -2$:
$(-2)^4 + 4 = 16 + 4 = 20$.
Мы получили $20 = 20$, что является верным равенством. Значит, $-2$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

в) $(x - 5)(x + 2) = 0$
Подставим $x = -2$:
$(-2 - 5)(-2 + 2) = (-7) \cdot 0 = 0$.
Мы получили $0 = 0$, что является верным равенством. Значит, $-2$ является корнем этого уравнения.
Ответ: да.

г) $|x| + 3 = 1$
Подставим $x = -2$:
$|-2| + 3 = 2 + 3 = 5$.
Мы получили $5 = 1$, что является неверным равенством. Значит, $-2$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет.

Прочитайте два предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение». Объясните, почему они означают одно и то же.

Поскольку в самом задании два предложения не приведены, рассмотрим два стандартных определения из курса математики.

Предложение 1: Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Предложение 2: Решить уравнение — это значит найти множество всех его корней.

Объяснение, почему эти предложения означают одно и то же:

Эти два определения являются эквивалентными, так как они описывают один и тот же конечный результат, но используют немного разный язык. Второе определение является более формальным и универсальным с точки зрения математики, и оно полностью включает в себя смысл первого. Вот почему:

Ключевым понятием, связывающим эти два определения, является «множество».

1. Случай, когда уравнение имеет корни.
Если уравнение имеет одно или несколько решений (корней), то оба определения приводят к одинаковому результату. Например, для уравнения $x - 5 = 0$ корень равен 5.

• Согласно первому определению, мы «нашли все его корни», то есть число 5.
• Согласно второму определению, мы «нашли множество всех его корней», которое в данном случае состоит из одного элемента: $\{5\}$.

Результат по сути один и тот же: мы установили, какие именно числа являются решениями.

2. Случай, когда уравнение не имеет корней.
Это самый важный аспект для понимания их эквивалентности. Рассмотрим уравнение $x^2 = -1$ (в области действительных чисел).

• Согласно первому определению, мы должны «доказать, что корней нет». Мы анализируем уравнение и приходим к выводу, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, решений нет.
• Согласно второму определению, мы должны «найти множество всех его корней». Поскольку ни одно число не является корнем этого уравнения, то множество его корней не содержит ни одного элемента. Такое множество в математике называется пустым множеством и обозначается символом $\emptyset$.

Таким образом, «доказать, что корней нет» (из первого определения) — это то же самое, что и установить, что «множество корней является пустым множеством ($\emptyset$)» (согласно второму определению).

Вывод:
Второе определение («найти множество всех его корней») является более общим и математически строгим. Оно элегантно объединяет оба возможных исхода, которые в первом определении перечислены отдельно. Понятие «множество решений» охватывает как ситуацию, когда решения есть (множество содержит элементы), так и ситуацию, когда решений нет (множество является пустым).

Ответ: Эти два предложения означают одно и то же, потому что второе определение («найти множество всех его корней») является более формальным и общим описанием того же процесса. Оно включает в себя оба случая, описанных в первом определении: если корни существуют, то множество решений будет состоять из этих корней; если корней нет, то множество решений будет пустым множеством ($\emptyset$), что эквивалентно доказательству отсутствия корней.

4.13 Докажите, что:

а) число 4 является корнем уравнения $2x - 7 = 5 - x$;

б) число -3 является корнем уравнения $x(x + 5) = -6$;

в) число 4 является корнем уравнения $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 1$;

г) число -2 является корнем уравнения $x - 2(5x - 1) = -10x$.

а) Чтобы доказать, что число 4 является корнем уравнения $2x - 7 = 5 - x$, необходимо подставить это значение вместо $x$ в уравнение и проверить, будет ли равенство верным.

Подставим $x = 4$ в левую часть уравнения: $2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1$.

Подставим $x = 4$ в правую часть уравнения: $5 - 4 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1 = 1$), равенство является верным. Это доказывает, что число 4 является корнем данного уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что число -3 является корнем уравнения $x(x + 5) = -6$, подставим $x = -3$ в левую часть уравнения.

Вычислим значение левой части: $(-3) \cdot (-3 + 5) = -3 \cdot 2 = -6$.

Правая часть уравнения равна -6. Так как левая часть равна правой ($-6 = -6$), равенство является верным. Это доказывает, что число -3 является корнем уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что число 4 является корнем уравнения $\frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 1$, подставим $x = 4$ в левую часть.

Вычислим значение левой части: $\frac{4}{2} - \frac{4}{4} = 2 - 1 = 1$.

Правая часть уравнения равна 1. Поскольку левая часть равна правой ($1 = 1$), равенство является верным. Следовательно, число 4 — корень данного уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что число -2 является корнем уравнения $x - 2(5x - 1) = -10x$, подставим $x = -2$ в обе части уравнения.

Вычислим значение левой части: $(-2) - 2(5 \cdot (-2) - 1) = -2 - 2(-10 - 1) = -2 - 2(-11) = -2 + 22 = 20$.

Вычислим значение правой части: $-10 \cdot (-2) = 20$.

Так как значения левой и правой частей равны ($20 = 20$), равенство является верным. Это доказывает, что число -2 является корнем данного уравнения.

Ответ: что и требовалось доказать.

4.14 Является ли корнем уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ число:

а) 3;

б) -4;

в) $-\frac{1}{2}$;

г) $\frac{1}{2}$?

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$ и проверить, выполняется ли равенство.

а) 3

Подставим $x=3$ в уравнение:

$2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 2 \cdot 9 - 15 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: да, число 3 является корнем уравнения.

б) -4

Подставим $x=-4$ в уравнение:

$2 \cdot (-4)^2 - 5 \cdot (-4) - 3 = 2 \cdot 16 + 20 - 3 = 32 + 20 - 3 = 49$

Так как $49 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет, число -4 не является корнем уравнения.

в) $-\frac{1}{2}$

Подставим $x=-\frac{1}{2}$ в уравнение:

$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: да, число $-\frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

г) $\frac{1}{2}$

Подставим $x=\frac{1}{2}$ в уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} - 3 = -\frac{4}{2} - 3 = -2 - 3 = -5$

Так как $-5 \neq 0$, равенство неверное.

Ответ: нет, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.