Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.60 Раскройте скобки:

а) $a - (b - (c + 4))$

б) $x - (3 - (x + 6))$

В) $a - (a - (a - 10))$

Г) $c - (c - (c - d))$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $a - (b - (c + 4))$, необходимо последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

1. Сначала раскроем внутренние скобки $(c + 4)$. Так как перед ними стоит знак «-», получаем:

$a - (b - (c + 4)) = a - (b - c - 4)$

2. Теперь раскроем оставшиеся скобки $(b - c - 4)$. Перед ними также стоит знак «-», поэтому снова меняем знаки всех слагаемых внутри:

$a - (b - c - 4) = a - b + c + 4$

Ответ: $a - b + c + 4$

б) Раскроем скобки в выражении $x - (3 - (x + 6))$, действуя по тому же правилу.

1. Раскроем внутренние скобки $(x + 6)$, перед которыми стоит знак «-»:

$x - (3 - (x + 6)) = x - (3 - x - 6)$

2. Упростим выражение внутри скобок, приведя подобные слагаемые ($3 - 6 = -3$):

$x - (3 - x - 6) = x - (-x - 3)$

3. Раскроем оставшиеся скобки. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки внутри меняются на противоположные:

$x - (-x - 3) = x + x + 3$

4. Приведем подобные слагаемые:

$x + x + 3 = 2x + 3$

Ответ: $2x + 3$

в) Раскроем скобки в выражении $a - (a - (a - 10))$.

1. Начнем с внутренних скобок $(a - 10)$, перед которыми стоит знак «-»:

$a - (a - (a - 10)) = a - (a - a + 10)$

2. Упростим выражение в скобках ($a - a = 0$):

$a - (a - a + 10) = a - (0 + 10) = a - 10$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $a - 10$

г) Раскроем скобки в выражении $c - (c - (c - d))$.

1. Начнем с внутренних скобок $(c - d)$, перед которыми стоит знак «-»:

$c - (c - (c - d)) = c - (c - c + d)$

2. Упростим выражение в скобках ($c - c = 0$):

$c - (c - c + d) = c - (0 + d) = c - d$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $c - d$

3.61 Запишите выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.9) сначала сложением площадей прямоугольников, а затем вычитанием. Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.

$A = (a-c)b + c(b-d)$

$A = ab - cd$

$(a-c)b + c(b-d) = ab - cb + cb - cd = ab - cd$

Рис. 3.9

Вычисление площади сложением

Площадь фигуры можно найти, разделив ее на два прямоугольника и сложив их площади. Разделим фигуру горизонтальной линией, исходящей из внутреннего угла. В результате мы получим два прямоугольника:

• Нижний прямоугольник со сторонами $b$ и $(a-c)$. Его площадь $S_1 = b(a-c)$.
• Верхний прямоугольник со сторонами $(b-d)$ и $c$. Его площадь $S_2 = c(b-d)$.

Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = b(a-c) + c(b-d)$.

Ответ: $S = b(a-c) + c(b-d)$.

Вычисление площади вычитанием

Площадь фигуры также можно найти, если достроить ее до большого прямоугольника и вычесть из его площади площадь недостающего (вырезанного) прямоугольника.

• Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_{большой} = ab$.
• Площадь вырезанного прямоугольника в правом верхнем углу со сторонами $c$ и $d$ равна $S_{вырезанный} = cd$.

Площадь искомой фигуры $S$ равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников: $S = S_{большой} - S_{вырезанный} = ab - cd$.

Ответ: $S = ab - cd$.

Преобразование первого выражения во второе

Чтобы показать, что оба выражения эквивалентны, преобразуем первое выражение (полученное сложением) с помощью алгебраических правил.

Исходное выражение: $S = b(a-c) + c(b-d)$.

Раскроем скобки, применив распределительный закон умножения ($x(y-z) = xy - xz$): $S = b \cdot a - b \cdot c + c \cdot b - c \cdot d$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($b \cdot c = c \cdot b$), слагаемые $-bc$ и $+bc$ являются противоположными и их сумма равна нулю (они взаимно уничтожаются): $S = ab - bc + bc - cd$

В результате получаем: $S = ab - cd$

Это выражение в точности совпадает с тем, что было получено методом вычитания.

Ответ: Преобразование выражения $S = b(a-c) + c(b-d)$ путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приводит к выражению $S = ab - cd$, что доказывает их эквивалентность.

3.62 a) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{л}$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде);
• $v_{т}$ — скорость течения реки;
• $v_{по}$ — скорость лодки по течению реки;
• $v_{пр}$ — скорость лодки против течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость относительно берега (скорость по течению) равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{л} + v_{т}$

Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега (скорость против течения) равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_{л} - v_{т}$

а) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Чтобы найти, на сколько скорость по течению больше скорости против течения, необходимо найти их разность $v_{по} - v_{пр}$. Подставим в это выражение формулы для скоростей:

$v_{по} - v_{пр} = (v_{л} + v_{т}) - (v_{л} - v_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_{по} - v_{пр} = v_{л} + v_{т} - v_{л} + v_{т} = (v_{л} - v_{л}) + (v_{т} + v_{т}) = 2v_{т}$

Таким образом, мы доказали, что скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Ответ: Разность скорости по течению и скорости против течения составляет $v_{по} - v_{пр} = 2v_{т}$, что и требовалось доказать.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

Нам необходимо доказать, что собственная скорость лодки $v_{л}$ равна полусумме ее скоростей по течению и против течения, то есть $v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$.

Для этого найдем сумму скоростей лодки по течению $v_{по}$ и против течения $v_{пр}$:

$v_{по} + v_{пр} = (v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_{по} + v_{пр} = v_{л} + v_{т} + v_{л} - v_{т} = (v_{л} + v_{л}) + (v_{т} - v_{т}) = 2v_{л}$

Из полученного равенства $v_{по} + v_{пр} = 2v_{л}$ выразим собственную скорость лодки $v_{л}$:

$v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Собственная скорость лодки выражается через скорости по течению и против течения как $v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$, что и требовалось доказать.

3.63 Пусть сумма трёх последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел.

Пусть первое из трех последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда эти три числа можно записать как $n$, $n+1$ и $n+2$.

Согласно условию задачи, их сумма равна $N$. Составим математическое выражение для этой суммы: $N = n + (n+1) + (n+2)$

Упростим это выражение, сложив все члены: $N = 3n + 3$

Теперь определим три следующих последовательных натуральных числа. Они следуют за числом $n+2$, значит, это будут числа $n+3$, $n+4$ и $n+5$.

Найдем сумму этих трех следующих чисел. Обозначим эту новую сумму как $S_{след}$. $S_{след} = (n+3) + (n+4) + (n+5)$

Упростим выражение для новой суммы: $S_{след} = 3n + 12$

Нашей задачей является выразить $S_{след}$ через $N$. Для этого преобразуем выражение для $S_{след}$, выделив в нем выражение для $N$: $S_{след} = 3n + 3 + 9$

Поскольку мы знаем, что $3n + 3 = N$, мы можем заменить эту часть выражения на $N$: $S_{след} = N + 9$

Таким образом, сумма трех следующих последовательных натуральных чисел на 9 больше суммы предыдущих трех.

Ответ: $N+9$

3.64 Пусть сумма трёх последовательных чётных чисел равна A.

Найдите:

a) сумму трёх следующих чётных чисел;

б) сумму трёх следующих нечётных чисел.

Пусть три последовательных чётных числа можно представить в виде $2n$, $2n+2$ и $2n+4$, где $n$ — некоторое целое число.

По условию, их сумма равна A. Составим уравнение:

$A = 2n + (2n + 2) + (2n + 4)$

$A = 6n + 6$

Теперь, используя это соотношение, найдём требуемые суммы.

а) сумму трёх следующих чётных чисел;

Первые три чётных числа были $2n, 2n+2, 2n+4$. Следующие три последовательных чётных числа будут:

$(2n+4)+2 = 2n+6$

$(2n+6)+2 = 2n+8$

$(2n+8)+2 = 2n+10$

Найдём их сумму, назовём её $S_1$:

$S_1 = (2n + 6) + (2n + 8) + (2n + 10) = 6n + 24$

Чтобы выразить $S_1$ через $A$, преобразуем полученное выражение:

$S_1 = 6n + 24 = (6n + 6) + 18$

Поскольку мы знаем, что $A = 6n + 6$, мы можем заменить эту часть выражения на $A$:

$S_1 = A + 18$

Ответ: $A + 18$

б) сумму трёх следующих нечётных чисел.

Последнее из первоначальной тройки чётных чисел — это $2n+4$. Следующее за ним нечётное число — это $(2n+4)+1 = 2n+5$.

Таким образом, три следующих последовательных нечётных числа будут:

$2n+5$

$(2n+5)+2 = 2n+7$

$(2n+7)+2 = 2n+9$

Найдём их сумму, назовём её $S_2$:

$S_2 = (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 6n + 21$

Теперь выразим $S_2$ через $A$. Преобразуем выражение:

$S_2 = 6n + 21 = (6n + 6) + 15$

Заменяем $(6n + 6)$ на $A$:

$S_2 = A + 15$

Ответ: $A + 15$

3.65 Исследуем

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Совет. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;
Исследуем на примерах: $1+2=3$ (не делится на 2); $5+6=11$ (не делится на 2).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Их сумма равна $S_2 = n + (n+1) = 2n + 1$. Выражение $2n$ всегда является чётным числом и делится на 2. Сумма чётного числа и 1 всегда является нечётным числом, которое не делится на 2. Следовательно, сумма любых двух последовательных натуральных чисел не делится на 2.
Ответ: не делится.

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;
Исследуем на примерах: $1+2+3=6$ (делится на 3); $4+5+6=15$ (делится на 3).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны три последовательных натуральных числа $n$, $n+1$ и $n+2$. Их сумма равна $S_3 = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$. Так как один из множителей равен 3, то произведение всегда делится на 3. Следовательно, сумма любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
Ответ: делится.

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;
Исследуем на примерах: $1+2+3+4=10$ (не делится на 4); $3+4+5+6=18$ (не делится на 4).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны четыре последовательных натуральных числа $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Их сумма равна $S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$. Эту сумму можно представить как $4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2$. Первое слагаемое $4(n+1)$ делится на 4, а второе слагаемое 2 не делится на 4. Согласно свойству делимости суммы, если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число. Следовательно, сумма любых четырёх последовательных натуральных чисел не делится на 4.
Ответ: не делится.

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;
Исследуем на примерах: $1+2+3+4+5=15$ (делится на 5); $10+11+12+13+14=60$ (делится на 5).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны пять последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2, n+3$ и $n+4$. Их сумма равна $S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n+2)$. Так как один из множителей равен 5, то произведение всегда делится на 5. Следовательно, сумма любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.
Ответ: делится.

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.
Исследуем на примерах: $1+2+3+4+5+6=21$ (не делится на 6); $2+3+4+5+6+7=27$ (не делится на 6).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны шесть последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ и $n+5$. Их сумма равна $S_6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + 15$. Эту сумму можно представить как $6n + 12 + 3 = 6(n+2) + 3$. Первое слагаемое $6(n+2)$ делится на 6, а второе слагаемое 3 не делится на 6. Значит, вся сумма не делится на 6. Следовательно, сумма любых шести последовательных натуральных чисел не делится на 6.
Ответ: не делится.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Проанализировав результаты из пункта 1, мы видим, что сумма делится на число слагаемых, если это число нечётное (3, 5), и не делится, если это число чётное (2, 4, 6).
Сформулируем и докажем гипотезу в общем виде. Пусть нам дана сумма $k$ последовательных натуральных чисел, начиная с $n$:$S_k = n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k-1)$.
Это сумма членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_k = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$.
В нашем случае: $S_k = \frac{n + (n+k-1)}{2} \cdot k = \frac{2n+k-1}{2} \cdot k$.
Чтобы выяснить, делится ли $S_k$ на $k$, нужно проверить, является ли выражение $\frac{S_k}{k}$ целым числом.$\frac{S_k}{k} = \frac{2n+k-1}{2}$.
Это выражение будет целым числом, только если числитель $2n+k-1$ будет делиться на 2, то есть будет чётным числом.
Число $2n$ всегда чётное. Значит, чётность всей суммы $2n+k-1$ зависит от чётности выражения $k-1$.
1. Если $k$ — нечётное число, то $k-1$ — чётное число. Сумма двух чётных чисел ($2n$ и $k-1$) является чётным числом. Следовательно, числитель делится на 2, и вся сумма $S_k$ делится на $k$.
2. Если $k$ — чётное число, то $k-1$ — нечётное число. Сумма чётного ($2n$) и нечётного ($k-1$) чисел является нечётным числом. Следовательно, числитель не делится на 2, и вся сумма $S_k$ не делится на $k$.
Гипотеза: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится на их количество $k$ тогда и только тогда, когда число слагаемых $k$ является нечётным.
Ответ: Сумма последовательных натуральных чисел делится на число слагаемых в том и только в том случае, если число слагаемых нечётно.