Номер 3.61, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.61 Запишите выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.9) сначала сложением площадей прямоугольников, а затем вычитанием. Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.

$A = (a-c)b + c(b-d)$

$A = ab - cd$

$(a-c)b + c(b-d) = ab - cb + cb - cd = ab - cd$

Рис. 3.9

Вычисление площади сложением

Площадь фигуры можно найти, разделив ее на два прямоугольника и сложив их площади. Разделим фигуру горизонтальной линией, исходящей из внутреннего угла. В результате мы получим два прямоугольника:

• Нижний прямоугольник со сторонами $b$ и $(a-c)$. Его площадь $S_1 = b(a-c)$.
• Верхний прямоугольник со сторонами $(b-d)$ и $c$. Его площадь $S_2 = c(b-d)$.

Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = b(a-c) + c(b-d)$.

Ответ: $S = b(a-c) + c(b-d)$.

Вычисление площади вычитанием

Площадь фигуры также можно найти, если достроить ее до большого прямоугольника и вычесть из его площади площадь недостающего (вырезанного) прямоугольника.

• Площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_{большой} = ab$.
• Площадь вырезанного прямоугольника в правом верхнем углу со сторонами $c$ и $d$ равна $S_{вырезанный} = cd$.

Площадь искомой фигуры $S$ равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников: $S = S_{большой} - S_{вырезанный} = ab - cd$.

Ответ: $S = ab - cd$.

Преобразование первого выражения во второе

Чтобы показать, что оба выражения эквивалентны, преобразуем первое выражение (полученное сложением) с помощью алгебраических правил.

Исходное выражение: $S = b(a-c) + c(b-d)$.

Раскроем скобки, применив распределительный закон умножения ($x(y-z) = xy - xz$): $S = b \cdot a - b \cdot c + c \cdot b - c \cdot d$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($b \cdot c = c \cdot b$), слагаемые $-bc$ и $+bc$ являются противоположными и их сумма равна нулю (они взаимно уничтожаются): $S = ab - bc + bc - cd$

В результате получаем: $S = ab - cd$

Это выражение в точности совпадает с тем, что было получено методом вычитания.

Ответ: Преобразование выражения $S = b(a-c) + c(b-d)$ путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приводит к выражению $S = ab - cd$, что доказывает их эквивалентность.