Номер 3.65, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.3. Раскрытие скобок. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.65, страница 76.

Условие.

3.65 Исследуем

1) Выясните, делится ли сумма:

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.

Совет. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

любых двух последовательных натуральных чисел на 2;
Исследуем на примерах: $1+2=3$ (не делится на 2); $5+6=11$ (не делится на 2).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Их сумма равна $S_2 = n + (n+1) = 2n + 1$. Выражение $2n$ всегда является чётным числом и делится на 2. Сумма чётного числа и 1 всегда является нечётным числом, которое не делится на 2. Следовательно, сумма любых двух последовательных натуральных чисел не делится на 2.
Ответ: не делится.

любых трёх последовательных натуральных чисел на 3;
Исследуем на примерах: $1+2+3=6$ (делится на 3); $4+5+6=15$ (делится на 3).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны три последовательных натуральных числа $n$, $n+1$ и $n+2$. Их сумма равна $S_3 = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$. Так как один из множителей равен 3, то произведение всегда делится на 3. Следовательно, сумма любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
Ответ: делится.

любых четырёх последовательных натуральных чисел на 4;
Исследуем на примерах: $1+2+3+4=10$ (не делится на 4); $3+4+5+6=18$ (не делится на 4).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны четыре последовательных натуральных числа $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Их сумма равна $S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$. Эту сумму можно представить как $4n + 4 + 2 = 4(n+1) + 2$. Первое слагаемое $4(n+1)$ делится на 4, а второе слагаемое 2 не делится на 4. Согласно свойству делимости суммы, если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число. Следовательно, сумма любых четырёх последовательных натуральных чисел не делится на 4.
Ответ: не делится.

любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;
Исследуем на примерах: $1+2+3+4+5=15$ (делится на 5); $10+11+12+13+14=60$ (делится на 5).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны пять последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2, n+3$ и $n+4$. Их сумма равна $S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n+2)$. Так как один из множителей равен 5, то произведение всегда делится на 5. Следовательно, сумма любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.
Ответ: делится.

любых шести последовательных натуральных чисел на 6.
Исследуем на примерах: $1+2+3+4+5+6=21$ (не делится на 6); $2+3+4+5+6+7=27$ (не делится на 6).
Обоснуем в общем виде. Пусть даны шесть последовательных натуральных чисел $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ и $n+5$. Их сумма равна $S_6 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) = 6n + 15$. Эту сумму можно представить как $6n + 12 + 3 = 6(n+2) + 3$. Первое слагаемое $6(n+2)$ делится на 6, а второе слагаемое 3 не делится на 6. Значит, вся сумма не делится на 6. Следовательно, сумма любых шести последовательных натуральных чисел не делится на 6.
Ответ: не делится.

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Проанализировав результаты из пункта 1, мы видим, что сумма делится на число слагаемых, если это число нечётное (3, 5), и не делится, если это число чётное (2, 4, 6).
Сформулируем и докажем гипотезу в общем виде. Пусть нам дана сумма $k$ последовательных натуральных чисел, начиная с $n$:$S_k = n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k-1)$.
Это сумма членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_k = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$.
В нашем случае: $S_k = \frac{n + (n+k-1)}{2} \cdot k = \frac{2n+k-1}{2} \cdot k$.
Чтобы выяснить, делится ли $S_k$ на $k$, нужно проверить, является ли выражение $\frac{S_k}{k}$ целым числом.$\frac{S_k}{k} = \frac{2n+k-1}{2}$.
Это выражение будет целым числом, только если числитель $2n+k-1$ будет делиться на 2, то есть будет чётным числом.
Число $2n$ всегда чётное. Значит, чётность всей суммы $2n+k-1$ зависит от чётности выражения $k-1$.
1. Если $k$ — нечётное число, то $k-1$ — чётное число. Сумма двух чётных чисел ($2n$ и $k-1$) является чётным числом. Следовательно, числитель делится на 2, и вся сумма $S_k$ делится на $k$.
2. Если $k$ — чётное число, то $k-1$ — нечётное число. Сумма чётного ($2n$) и нечётного ($k-1$) чисел является нечётным числом. Следовательно, числитель не делится на 2, и вся сумма $S_k$ не делится на $k$.
Гипотеза: Сумма $k$ последовательных натуральных чисел делится на их количество $k$ тогда и только тогда, когда число слагаемых $k$ является нечётным.
Ответ: Сумма последовательных натуральных чисел делится на число слагаемых в том и только в том случае, если число слагаемых нечётно.