Номер 3.62, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.62 a) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_{л}$ — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде);
• $v_{т}$ — скорость течения реки;
• $v_{по}$ — скорость лодки по течению реки;
• $v_{пр}$ — скорость лодки против течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость относительно берега (скорость по течению) равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{л} + v_{т}$

Когда лодка движется против течения, ее скорость относительно берега (скорость против течения) равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_{л} - v_{т}$

а) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Чтобы найти, на сколько скорость по течению больше скорости против течения, необходимо найти их разность $v_{по} - v_{пр}$. Подставим в это выражение формулы для скоростей:

$v_{по} - v_{пр} = (v_{л} + v_{т}) - (v_{л} - v_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_{по} - v_{пр} = v_{л} + v_{т} - v_{л} + v_{т} = (v_{л} - v_{л}) + (v_{т} + v_{т}) = 2v_{т}$

Таким образом, мы доказали, что скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.

Ответ: Разность скорости по течению и скорости против течения составляет $v_{по} - v_{пр} = 2v_{т}$, что и требовалось доказать.

б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости её движения против течения.

Нам необходимо доказать, что собственная скорость лодки $v_{л}$ равна полусумме ее скоростей по течению и против течения, то есть $v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$.

Для этого найдем сумму скоростей лодки по течению $v_{по}$ и против течения $v_{пр}$:

$v_{по} + v_{пр} = (v_{л} + v_{т}) + (v_{л} - v_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_{по} + v_{пр} = v_{л} + v_{т} + v_{л} - v_{т} = (v_{л} + v_{л}) + (v_{т} - v_{т}) = 2v_{л}$

Из полученного равенства $v_{по} + v_{пр} = 2v_{л}$ выразим собственную скорость лодки $v_{л}$:

$v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Собственная скорость лодки выражается через скорости по течению и против течения как $v_{л} = \frac{v_{по} + v_{пр}}{2}$, что и требовалось доказать.