Номер 3.91, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Ещё раз о законах алгебры (Узнайте больше). Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.91, страница 83.

Условие.

3.91 Как можно истолковать на «языке объёмов» равенство $ (xy)z = x(yz) $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данное равенство $(xy)z = x(yz)$ является алгебраическим выражением ассоциативного (сочетательного) закона умножения. На «языке объёмов» его можно истолковать как вычисление объёма одного и того же тела — прямоугольного параллелепипеда — двумя различными способами.

Представим себе прямоугольный параллелепипед (похожий на кирпич или коробку), длины рёбер которого, выходящие из одной вершины, равны $x$, $y$ и $z$. Объём такого тела, как известно, равен произведению трёх его измерений.

1. Интерпретация левой части: $(xy)z$

Выражение в скобках, $xy$, можно рассматривать как площадь прямоугольника со сторонами $x$ и $y$. Геометрически это площадь основания нашего параллелепипеда. Обозначим её $S_{осн} = xy$.

Далее, мы умножаем эту площадь основания на третье измерение — высоту $z$. Таким образом, выражение $(xy)z$ представляет собой объём параллелепипеда, вычисленный по формуле «площадь основания умножить на высоту»: $V = S_{осн} \cdot z$.

2. Интерпретация правой части: $x(yz)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках, $yz$. Его можно рассматривать как площадь другого прямоугольника — со сторонами $y$ и $z$. Геометрически это площадь одной из боковых граней нашего параллелепипеда. Обозначим её $S_{бок} = yz$.

Далее, мы умножаем площадь этой боковой грани на оставшееся третье измерение — $x$. Таким образом, выражение $x(yz)$ представляет собой объём того же самого параллелепипеда, но вычисленный иным способом: мы берём площадь боковой грани и умножаем её на «глубину» (или длину) $x$.

Вывод

Поскольку оба выражения, $(xy)z$ и $x(yz)$, описывают объём одного и того же физического объекта — прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$, — то результат вычислений должен быть одинаковым. Равенство демонстрирует, что для нахождения объёма не имеет значения, какую грань выбрать в качестве основания и в какой последовательности перемножать длины рёбер.

Ответ: Равенство $(xy)z = x(yz)$ можно истолковать как тождество двух способов вычисления объёма одного и того же прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$. Левая часть $(xy)z$ — это вычисление объёма через умножение площади основания (со сторонами $x, y$) на высоту $z$. Правая часть $x(yz)$ — это вычисление объёма через умножение площади боковой грани (со сторонами $y, z$) на третье ребро $x$. Равенство справедливо, так как объём тела не зависит от способа его расчёта.