Номер 3.92, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Ещё раз о законах алгебры (Узнайте больше). Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.92, страница 83.

Условие.

3.92 С помощью какого-либо «языка» дайте истолкование равенства

$x : (yz) = (x : y) : z.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для истолкования данного равенства $x : (yz) = (x : y) : z$ можно воспользоваться «языком» практических задач, например, из области торговли и расчетов.

Представим следующую ситуацию. Пусть:
$x$ — это общая сумма денег, уплаченная за покупку (например, в рублях);
$y$ — это количество одинаковых коробок с товаром, которые были куплены;
$z$ — это количество единиц товара в каждой коробке.

Теперь проанализируем обе части равенства в контексте этой ситуации.

Интерпретация левой части равенства: $x : (yz)$
Произведение $yz$ представляет собой общее количество единиц товара во всех купленных коробках. Например, если куплено $y=5$ коробок, и в каждой по $z=10$ ручек, то общее количество ручек равно $5 \cdot 10 = 50$. Выражение $x : (yz)$ означает деление общей стоимости всей покупки $x$ на общее количество единиц товара $yz$. В результате мы получаем стоимость одной единицы товара (цену одной ручки).

Интерпретация правой части равенства: $(x : y) : z$
Выражение в скобках, $x : y$, представляет собой деление общей стоимости покупки $x$ на количество коробок $y$. Результатом этого действия является стоимость одной коробки. Например, если за 5 коробок заплатили $x=1000$ рублей, то одна коробка стоит $1000 : 5 = 200$ рублей. Затем полученный результат (стоимость одной коробки) делится на $z$ — количество единиц товара в этой коробке. То есть, мы делим стоимость коробки на количество ручек в ней. Результатом этого второго деления также будет стоимость одной единицы товара (цена одной ручки).

Таким образом, равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ демонстрирует два эквивалентных способа расчета цены одной единицы товара. Можно сначала посчитать общее количество товара и разделить на него общую стоимость, а можно сначала найти цену одной упаковки (коробки) и разделить ее на количество товара в этой упаковке. Итоговый результат будет одинаковым, что и подтверждает справедливость равенства в предложенной интерпретации.

Пример:
Допустим, за $y=4$ упаковки печенья, в каждой из которых по $z=6$ пачек, заплатили $x=480$ рублей. Найдем цену одной пачки печенья.
Способ 1 (левая часть): Сначала найдем общее количество пачек: $4 \cdot 6 = 24$ пачки. Затем найдем цену одной пачки: $480 : 24 = 20$ рублей.
Способ 2 (правая часть): Сначала найдем цену одной упаковки: $480 : 4 = 120$ рублей. Затем найдем цену одной пачки в упаковке: $120 : 6 = 20$ рублей.
Как видим, $480 : (4 \cdot 6) = (480 : 4) : 6$, и оба выражения равны 20.

Ответ: Равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ можно истолковать на «языке» расчетов при покупке товаров. Если $x$ — общая стоимость покупки, $y$ — количество одинаковых упаковок, а $z$ — количество единиц товара в каждой упаковке, то левая часть равенства представляет собой вычисление цены одной единицы товара путем деления общей стоимости на общее количество товара ($yz$). Правая часть представляет собой вычисление цены одной единицы товара путем нахождения сначала цены одной упаковки ($x:y$), а затем деления этой цены на количество товара в упаковке ($z$). Равенство показывает, что оба способа расчета приводят к одному и тому же результату — цене одной единицы товара.